盛骤-浙江大学-概率论与数理统计第四版-课后习题答案 (一)

盛骤一浙江大学-概率论与数理

统计第四版一课后习题答案

完全版

概率论与数理统计习题答案第四版盛骤（浙江大学）

浙大第四版（高等教育出版社）

第一章概率论的基本概念

1.M写出下列随机试验的样本空间

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充

以百分制记分）（M1）

J01AAnxlQOI，"表小班人数

[n"rT-n~J

（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品

的总件数。（M2）

5却0,11,12,.....,n,......}

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上

“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品

就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的

结果。

查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连黜

现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。

（L]⑶）

SgOO,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,

1011,1101,1110,1111,}

2」二]设4B,。为三事件，用4B,。的运

2

算关系表示下列事件。

(1)/发生，8与C不发生。

表示为：Aee或力―或/—(8U0

(2)A,8都发生，而。不发生。

表示为：AR.或。或AB-C

MDC7

(3)4B,「中至少有一个发生表示为：

A+B+C

(4)4B,0都发生，表示为：ABC

(5)4B,「都不发生，表示为：公吟或S-

(6)4B,。中不多于一个发生，即4B,。中

至少有两个同时不发生

相当于岫阮AC中至少有一个发生。故表示为：

KbtTVT；MXZ"

AB+BC+AC

(7)4B,。中不多于二个发生。

相当于：氏土.中至少有一个发生。故表示为：

K+B+U或限

(8)4B,U中至少有二个发生。

一相当于：AB,BC,中至少有一个发生。故表

示为：AB+BC+AC

64三］设48是两事件且。(/)=062(6=0.7.问

⑴在什么条件下户(力6取到最大值，最大值是多少？

(2)在什么条件下户(/向取到最小值，最小值是多少？

解：由"(/)二0.6,户(8)=07即知(否

则二。依互斥事件加法定理，R/U为=。(2)+户

(5)=0.6+0.7=13>1与户(/U8)W1矛盾).

从而由加法定理得

3

户(/约二户(2)+P(8)—P(/uB)(*)

(1)从知，当AB^A,即/ng

时取到最大值，最大值为

氏/即午1)=06,

(2)从(*)式知，当/U8=S时，//场取最小值，

最小值为

氏/均=0.6+07—1=0.3-

7［四］设/,B,「是三事件，且

，p(AQ_i.米&，O,c壬少句一

翠爱里㈱夏AB)心)=。丁

解：户(4B,。至少有一个发生)二户(/+8+0=只/)+

F\B)+RO-RAB)-F\BQ—F\AQ+RABQ=

2_10=5

"-"+8＞］在一标准英语字典中具有55个由二个不相

同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两

个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？

记/表”能排成上述单词”

V从26个任选两个来排列，排法有常种。每种

排法等可能。左

字典中的二个不同字母组成的单词：55个

・•・P⑷噜」

130

9.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四

个数全不相同的概率。(设后面4个数中的每一个数都

是等可能性地取自0,1,2……9)

4

记力表”后四个数全不同”

V后四个数的排法有18种，每种排法等可能。

后四个数全不同的排法有A4

10

••A4

P(A)=­=0.504

10.［六］在房间里有10人。分别佩代着从1号到

10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。

(1)求最小的号码为5的概率。

记“三人纪念章的最小号码为5”为事件/

•IU十I工心O八八俎：心吊点"闩10'J'T，H可

种选法等可能。⑴

又事件/相当于：有一人号码为5,其余2人号码

人J□□心Tf俎口口'JTT姒/闩lx,|5^|

口

***p(A)」喧)_1

(2)求最大的号码为5的概率。

记“三人中最大的号码为5”为事件B,同上10人

十'I工心>八,心/石/闩JOIJ'T，±±传TT匹/女中f日匕，人聿，|十

B相当于：有一人号璃为5,其余2人号码小于5,选

,五华1X产。甲

口

11.［4s］某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10

5

桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货

人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶

墨漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概

率是多少？

记所求事件为A.

在17桶中任取9桶的取法有C9种，且每种取法等可

台匕

目匕。17

取得4白3黑2红的取法有uc*

C4xC3xC2

1043

故P巾*1箭

17

12QJ在15卬个产品中有400个次品，1100个

正品，任意取200个。

(1)求恰有90个次品的概率。

记“恰有90个次品”为事件/

1工IDUUI)口口十‘|工耿乙ULT|，耿〈在,闩［500甲'7，

1200；

每种取法等可能。

乙UUT厂门口T己日咏T伙口口，WW立e400邛11叫4甲

〔90人110)

•••(WW)

P(A)=1_工___L

(翔

(2)至少有2个次品的概率。

记：A表“至少有2个次品”

为表“不含有次品”，用表“只含有一个次品”，同

-L，乙UV'|〃口口，|、匕以口口,秋〈衣/闩个欧甲、〒,乙UU'IJ口口匕

(2啊

6

'I久口口，耿(玄，闩400呼1100、|TT

I1A199；

•・・"B+B且8。,用互不相容。

01

*e•64OOY11OO)[,°麴)+卜III八--)

R(A)=1-R(A)=1-[P(BJ)+P(B)]=1-|if1500]n500)।

|I2006onn।

13.[/U从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中

至少有2月配成一双的概率是多少？

记A表“4只全中至少有两支配成一对”

则表'“4只次不甄对"'%，RU五/闩10\"，传"％M有

等可能：

十口量4牖犍对加耨聂申性取4双，再在4双

―------⑷

C0248

,P(A)=「21—-

10

P(A)=1-P(A)=1-=

15J+-J将三个球随机上的队4个杯子中去，问

杯子中珠的最大个数分别是1,,,的概率各为多少？

记外表“杯中球的最大个数为/'个”闫,2,3,

三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可

能

对4：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法

4X3X2辩。

(选排列：好比3个球在4个位置做排列)

7

4x3x26

P（A）=MT：而、、、

对4：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两

球。放法有侬4;押球中磔/个坏，因六伺c，

科将此网

个球放入一个杯中，选法有4理,最后将剩

余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。

P（A）二中小范

K'J/i3：必匆二坏白取八一竹中。刀乂吊玄丹4俾。（K

需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，

选法有4种）

P（A）=4二十

3中16

16.［十二］50个钾钉随机地取来用在10个部件，

其中有三个钾钉强度太弱，每个部件用3只钾钉，若将

三只强度太弱的钾钉都装在一个部件上，则这个部件强

度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

记力表“W个部件中有一个部件强度太弱”。

法一：用古典概率作：

把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去

钾完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但

10组钉钾完10个部件要分先后次序）

对£：钾法有Jc一种，每种装法等可能

xC3xC3AAxC3

SO474423

对4三个次钉必须钏在一个部件上。这种钾法有

8

种

3AAe3)x10

QxC3xC3AAxC3]x101

P(A)==0.00051

C3xC3xAAxC3

504723

法二：用古典概率作

把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一

列，顺次钉下去，直到把部件钾完。（钾钉要计先后次

序）

对E钾法有於种，每种钾法等可能

对4三支次钉必须钏在“1,2,3”位置上或“4,

5,6”位置上，…或“28,29,30”位置上。这种钾法

有227+…27+八八+八"7„种

347347347347

327

C,A\10xAxA1nnnnRi

P(A)=-----------------=_^.0.00051

Aso1960

50

17.[十三]已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(B|Au用。

解一：

注章

P(A)=1-494^=0.7,P(BJ=P(B)=0.6,A=AS=A(BuABuAB-T心、

(AB)(AB)=(|),暇自

"(/旬二夕(/)一夕(/J=0.7—0.5=02。

再由加法定理，

"(/UJ="(4)+"(J一P(/g)=0.7+。6—0.5=。8

T『(B|Au^=P[B(A®=p(AB)_Q2

—————cc—UN3

P(AuB)P(AuB)0.8

解二：P(AB}=P(A)P(E|A)由已知＞05=07•P(H|A)

P(B-|A)=2Z=1^P(B|A)=£故P(AB)=P(A)P(B|A)=1

1

定义P(BAuB㈤P(BA)

P(B|Au⑦I_____=0.25

P(Au6p(A)+P(5)-P(AB90.7+0.6-0.5

9

18［十四］

P(A)q,P(B|A)=g,P(A|B)=&求P(AuB)

角轧由P(AJ⑷定义"AB)_P(内P(BIA)4峋笔能有1_WP(B)=I

(।)TP(B)2P(B)6

由乘法公式，得P(AB)=P(A)P(B|内=Q

出刀IH玄公工1守P(ADB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1+1-11

T*612=1

19.［十五］掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为

7,求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。

解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P（A|B）,

即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。

掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（％y）（%

片1,2,3,4,5,6）并且满足％十六7,则样本空间为

s=｛（“切（1,6）,（6,1）,（2,5）,（5,2）,（3,4）,（4,3）｝

每种结果（％p）等可能。

A=｛掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。

故P（A）=2=1｝

~6T

方法一：（用公式p（A|B）=P（2

P（B）

S=｛U-123,456;片12345,6｝｝每种结果均

可能

A:“掷两颗骰子，x,y中有一个为“1"点”，B二

“掷两颗骰子，一+六7”。则叫一61「…，

（）一存=&P（AB）=至

2

故P(A|B)=

P(B)T=6=3

6

10

20J±TM据以往资料表明，某一3口之家，患某

种传染扁的确率

炳5P

得病但父亲耒

得扃的概率。

用牛：加小愕牛力/(&/Jq土思：出丁用7内，悭

病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P(JAB)

产(刀切二八/1尸八邙内尸U.bx(J3=U.3,产Ab)二、一产

(CM向=1—0.4=06

从而"(/维)=P(AB)-HJ46=0.3X0.6=0.18.

21」十句已知10只晶体管中有2只次品，在其

¥辟商,坦得次随机地取一只，作不放回抽样，求下列

(1)二只都是正品(记为事件A)

法一：用组合做在10只中任取两只来组合，每一

个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。

C228

P(A)=^=—=0.62

法二：用排动做在10只中任取两个来排列,每一

个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。

10

法三：用事件的运算和概率计算法则来作。

记A，4分别表第一、二次取得正品。

P(A)=P(AA)=P(A)P(A|A)4X1=1

(2)二只都是次品(记为事件B)

法一：响告1

10

11

法二：

P⑻唱』

10

法三：______211

P(B)=P(Vp=P(A)P(A；|A)=记*=而

(3)一只是正品，一只是次品(记为事件©

法一:16

P(C)=-45

法二:(UxCi)xA216

P(C)=822——------=——

A245

10

法三:

P(C)=P(AA-A与2A互斥

=P(A?眸|A尸啊P(AE=-母禧/

(4)第二次取出的是次品(记为事件。)

法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组

合作，

法二:…、AxA1

P(D)=—------=—

A25

10

法二:

P(D)=P(A1A'2+含冬洱AA与"AA互斥

=P(A)P(8|A/+P(QP(，E=34+寻4$

忘

最

数

巳

某人

电

话号

的

后

字

记

了

码

一

，

过

拨

他

的

接

的

不

三

电

通

塔而^^

22需

随

节

节

旅

噂

，

一

已

是

么

是

果

那

个

最

奇

的

？{

知

少

子

此

，

多

少

概

是

？

记〃表拨号不超过三次而能接通。

4表第/.次拨号能接通。

「注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号

码。

0H=A+AA+AAA三种情况互斥

...P（H）=P（AJ+3P^P（AIA）+P（GP（饵|GP（A|/nr）

11,911V39813

一而+历冶+历冶==而

如果已知最后一个数字是奇数（记为事件8）问题

变为在8已发生的条件下，求“再发生的概率。

P(H|B)=PAJB+/TAJB4-^0,JB)

=P(A|B)+P巴|B)P(AJB.+P(/T|B)P(勺BA^P(ApA7q

_1414313

=5+TX4+TX4X3=T

24」十九］设有甲、乙二袋，甲袋中装有"只白球

777只红球，Z袋中装有/V只白球股只红球，今从甲袋

中任取一球放入乙袋中，再从乙袋虫二》小if到

（即从乙袋中取到）口球也概率是米鳏少？谦疆整

19题⑴）

心A）,827r加衣ZA十位十耿付口坏，江邓TJX八

乙袋”

再记8表“再从乙袋中取得白球”。

•/8=48+48且2,4互斥

•・.p（一二p（国做出+P（4）户（司4）

=nN+1mN

X

n+mN+M+1n-mN+M+1

［十九］（2）第一只盒子装有5只.：，4」只...；..弟

二只盒子裹有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任

取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只

球，求取到白球的概率。

记G为“从第一盒子中取得2只名力求”。

C2为“从第一盒子中取得2只白球”。

C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只邙求"

。为“从第二盒子中取得白球”，显然G，G，G

两两互斥，由全概率公式，有

13

p(O”(G)p(明)+P(QP(%+户(0户(。

C25C27C1.C1653

=_S--|-4—T-54・一_

C211C211C21199

999

26」二十二I已知男人中有5%是色盲患者，女人

中有0."%是包有患者。佥从男女人数相等的人群中随

机地挑选一人，格好是色首患者，问此人是男性的概率

是多少？

解：/广｛男人｝,4二｛女人｝，B=｛色盲｝,显然/

4二s,Ay4二4

由已知条件知PS_1I、c

P(A12尸P(A)1°P(B|A)占025%

由贝叶斯公式，

P(AIB)--P(A)P(B|A)_土病,20

、।)-P(BrP(A)P(B|Ai)+P(A)P(B|A)丁F2r

1-------------------------------

1122^+・

2100210000

［二十二］一学生接连参加同一课程的两次考试。

第一次及格的概率为2若第一次及格则第二次及格的

概率也为只若第一次不及格则第二次及格的概率为作

(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他放

得该资格的概率。(2)若已知他第二次已经及格，求他

第一次及格的概率。

解：外二｛他第i次及格｝,i=1,2

己知"(j片P(4I4)=P，P(AIA)-I/

(1)8=｛室少有工淡及格产”)-4

7所/1以匕人-B=｛两次均不及格｝=A一A

•・P(B)=1-P(B4=1-P(4A.)1=-P(AJP(A,|AJ

12121

=1-[1-P(A)][1-P(A|A)]

1p21

=1-(1-P)(1--34.

)=P-P2

2；22

14

⑵"A）定义P（A供）（*）

12

P（A2）

由乘法公式，有户（44）二2（4）"4）二P2

由全概率公式,有p（A）=P（A）P（A|A）+P（AjP（AIAj

2121121

P

=p,p+（1_p）.-L

P2p

将以上两个结果代入（*）得ps1A）P22P

1/A|MJ—厂____=

12T2~P-P+1

~+T

28.［二十五］某人下午5:00下班，他所积累的资料

表明：

到家5:35-5:40-5:45-5:50-迟于

时间5:395:445:495:545:54

乘地

铁到

0.100250.450.150.05

家的

概率

乘汽

车到

0.300350200.100.05

家的

概率

某日他危一枚输币决定土地铁k是乘人车，结果他

是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。

15

解：设/=“碰铁”，8二“弱诈"，C="5:45-5:49

到家"由题意/8=6/U8=S

已知：户（2）=052（。4）=0.45,P（C/B）=Q2IP

⑶二。5

由贝叶斯公式有

P(C|A)P(A)

P(A|C)0.5x0.45_0.45_9一。®))?

P(C)P(C|A)FP(C-|B)「加F

29.［二十四］有两箱同种类型的零件。第一箱装5

只，其小10只一等品；第二箱30只，其中18只一等

品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，

每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到

的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等

品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解：设鸟表示“第i次取到一等品"i=1,2

.表示“第j箱产品"j=1,2，显然jU/VS

二小

iioj182（即也由全概率

（1）p（B）===04AyB8

12502305.

公式解）。

110911817

(2)

P(BJB^=断肛=250491230^.0,4857

（先用条件概率定义，再求夕（与约）时，由全

概率公式解）

32.1二十

六(2力如

图1,2,3,

16

4,5表小继

电器接点，

点闭合由

概率为p，

且设容维

电器的合

与声相声:

独立，求L

和R是通

路的概率。

记4表第/.个接点接通t

记/表从/到/?是构成通路前。5

丁A/3/5+/4/5+/4/3/2四种情况不互

斥

•••"（/）="（/02）+户（444）+户（/4力5）+户

（/血力厂口外刨国

+户（/出//5）+244/3&月W3

《儿汽）"（4A44）+

+P（AAA2P

（4444A）+"（力出A3AA）

（+（/出月儿汽）+"（/小月儿图一，

又由于4，4，力3，力4，4互相独立。

故"（/）二必+必+/+必一［0+0+0+0+Q+必］

+［#+/+q+闵_/=27+3p

5/x+20一

［二十六（1）］设有4个独立工作的元件1,2,3,

4o它们的可靠性分别为鸟，3，P才4,将它们按图

（1）的方式联接，求系统的可集性。

记4表示第，个

17

元件正常工作，/=1,

2,3,4,

力表示系统正常。

/如24+

质4两种情况不过

/."（/）二户（/024）+户（44）—"（耳儿月国（加法公

式）

二户（外）户（4）户（/J+户（4）户（国一户（从）P

⑷久国户（4）

二独

PAP2P^pyp-pyp2p^Av4a4

34.已H1袋中装有。只正品硬币，〃只次品硬

币，（次总硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，

将它投掷，次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正

品的概率为多少？

解：设“出现，次国徽面”二夕“任取一只是正

品”二/

由全概率公式，有

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=+——x1,

rrrm+n2m+n

m.1.

P(A)P(B/A)m2'm

P(A|Br)=

P(B)-rri~~Tn-m+n-2r

r

minv27min

（条件概率定义与乘法公式）

35.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击

中的概率分别为0.4,0.5,0.7o飞机被一人击中而被击

落的概率为02被两人击中而被击落的概率为06,若

18

三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。

解：高父表示飞机被/.人击中，2,3o

与，层分别表示甲、乙、丙击中飞机

，三种情况互斥。

H=BBB+BBB+BBB

1123123123三种情况互斥

H=BB8+BfB+5BB

2123123123

H=BBB

乂力［,22久,%理乂。

P(H1)=P(B，P(B")P(B1+P(B¥(B)P(BT3

+P(彳)P(町P(BJ=0.4x0.5x03+0.6

x0.5x0.3+0.6x0.5x0.7=0.36

P(H2)=P(B)P(B]P(BC+P(B)P(B1P(B)3

+P(B~)P(B)P(B)=0.4x0.5x03

+.4x0.5x0.7+0.6x0.5x0.7=0.41

"(4)=P(8I)P(82)P(83)=0.4X0.5X0.7=0.14

又因：A=HIA+H2A+H3A三种情况互斥

故由全概率公式，有

-(/)=RHQP(AHJ+P(H》P(AH》+P(HJP

(AHJ

=036x02+0.41x0.6+0.14x1=0.458

364十三］设由以往记录的数据分析。某船只运输

某种物品损坏2%（这一事件记为/1）,10%（事件

90%（事件&的概率分别为P（A）=0.8,P（4）=0.企,

24）=005,就从中随机地独立施政三件，发现这三件

都是女的（这一事件记为8）,试分别求户⑷同户（图切，

p（4|B）（这里设物品件数很多，取出嗡二件以后不必响

取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独

立地）

19

•/8表取得三件好物品。

B=AyB+A2B+A3B三种情况互斥

由全概率公式，有

，P(8)=巴AJPP(A)P(B/A/P(A)P

(W

=0.8x(0.98)3+0.15x(0.9)3+0.05x(0.1)3=0.8624

P(AB)P(A)P(B|A；0.8x(0.98)3

P(AJB)==0.8731

P(B)P(B)0.8624

P(A9BIP(A,)P(B|A)0.15x(0.9)3

P(A|B)==0.1268

2P(B)P(B)0.8624

P(A*)P(AJP(B|A)0.05x(0.1)3

P(A|B)==0.0001

3P(B)P(B)0.8624

37.|＞十四1将4B,。三个字母之一输入信道，

输出为廨字母的佛率为a,而输出为其它一字母的概率

都是0—a)/2。4悔字母串A4A4,BBBB,CCCCN

或及言脸曾玲徵肥锯能给跖网

是4444的概率是多少？(设信道传输每个字母的工作

是相互独立的c)

解：设。表示输出信号为/8C4,员、星、鸟分别

表示输入信号为AAAA,BBBB,CCCG则用、约、

4为一完备事件组,且P(B)=P,闫,2,3o

再设/发、/收分别表示发出、接收字母4其余

类推，依题意有

P[A\A)=P(B\B)=P(CIC)=a,

收发收发收发

P(AIB)=P{AIC)=P(B\A)=P[B\C)=P

收'发收।发收‘发收।发

(CM)=P(C\B上百

收।发收।发

又P(ABCA/AAAA)^P(。/用)二"(Z收14发)户(8收|/

)P(CM)0(/M)

发收।发收।发

同样可

于是由全概率公式，得

POX^PI邛PI^Z+PJ4一

二pa2(1-“)2)3

r!22

由Bayes公式，得

)P(D|B

P(AAAA/ABCAj^P(BJD)二叫p

P(D)

-2aP

2aP+(1-«j(P2+P)

［二十九］设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，

2只白球；扇二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白

球。独立地分别从两只盒子各取一只球。(1)求至少有

一只蓝球的概率，(2)求有一只蓝球一只白球的概率，

(3)已知室少有一只蓝球，乘有一只磕球一只白壬求的

概率。

解：记3、42、4分别表示是从第一只盒子中取到

一只蓝球、家球、白钝，B］、%、2分别表示是从第二

只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。

(1)记G｛至少有一只蓝球｝

C=4吗+—4—+—，5种情况互斥

由概率有限可加性，得

^==P(AB)+P(AB)+P(AB)+P(AB)+P(AB)

洞1右行1112132131

磐了P(_AJP(BP[AJP(B)+P{A}P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

——111—2132131

333422225

7,9+79+79+7-9+7'9=9

(2)记Og有一只蓝球，一只白球},而且知D=

21

两种情况互斥

P(D)=P(AB3+P(AB=P(Ai)P(B?+P(Ay(B)］

3432216

=79+7-9=63

l山P(D©—PW)」(D)—16

(©一诉厂。』(注意到CD=D)

［三十］4B,「三人在同一办公室工作，房间有

三部电话，据统计知，打给4B,0的电话的概率分

别为221O他们三人常因工作外出，4B,。三人外

由刑微室零力II力111,以二人啊仃9J怕2i强"，小

9

(1)无人圾希南概率；(2)被呼叫人在办公室

的概率；若某一时间断打进了3个电话，求(3)这3

个电话打给同一人的概率；(4)这3个电话打给不同人

的解；(5)这3个电话都打给8,而夕却都不在的概

率。

解：记G、G、G分别表示打给力，B,。的电话

。1、D,2分别表示AB,「外出

注意到G、G、G独立，且PQ=P(C)=P(C)=1

12535

i\)J弋冕人瞿电铛折三/以上尸产/

(勾

-Lxlxl=±

ILU='岁GC.

种情况互斥，由有限可加性与乘法公式一一+C2V+Q%

P(5=P(1q)2衰(QLF)+H(LLU[由于某人外出与]

=P(C)P(lTlC)+P(C)P(D-[C)+P(C)P(DTC)I否和来电话无关I

1112223331111

=|X^+2X3+|X3=B"卬3=[我I

(3)H为“这3个电话打给同一个人”

22

22222211117

P(H)=-xJXJ+-jxjxj=—

（4）R为“这3个电话打给不同的人”

R由六种互斥情况组成，每种情况为打给A,B,C

的三个电话，每种情况的概率为

2214

TXTX5=125

」yp（R）=6x424

125=125

（5）由于是知道每次打电话都给8,其概率是1,

所以每一次打给8电话而8不在的概率为1,且各次情

况相互独立彳

于是P（3个电话都打给B,B都不在的概率）

P3G

第二章随机变量及其分布

1.M一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、

5,在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最

大号码，写出随机变量X的分布律

解：X可以取值3,4,5,分布律为

P（X=3）=P（一球为3号,两球为1,2=

号）=C310

P（x=4）=P（一球为4号，再在123中任取两球）=1X*==

C310

5

P（X=5）=P（一球为5号，再在123,4中任取两生

球）=C310

也可列为下表

23

X3,4,5

户：136

而‘而'’而

3」三］设在15只同类型零件中有2只是次品，在

其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示

取出次品的只数，(1)求X白粉布律(2)画出分布律

的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0,1,

2个。

P(x=o)=fl=||

15

P八

八C1xC212

P(x=1)=_^—=-

15

।

P(X=2)=零工1J~~k4->x

再列为卞表

%：0,1,2

P：22121

，t"I

353535

4［四］进行重复独立实验，设每次成功的概率为

",失败的概率为‘二1一砥<.<1)

(1)将实验迸行到出现一次成功为止，以X表示

所需的试验次数，求X的分布律。(此时称X服从以p

为参数的几何分布。)

(2)将实验进行到出现，次成功为止，以Y表示

所需的试验次数，求p的分布律。at匕时称p服从以

为参数的巴斯卡分布。)

(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%,以X表

示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，

并计算X取偶数的概率。

解：⑴P(X=^qk-w匕\乙……

(2)七"/7g最启一次实龄刖r+n\次有/?次

失败，且最后一次成功｝

24

其中q=\-p,

段田注句然笈的表如小p).

131/(八二内二；IU4>J,k袒

尸6叼丙级尸Z*2k)二(055)23x

31

6」六］一大楼装有5人同类型的供水设备，调查

表明在任一时刻r每个设备使用的概率为Q1,问在同一

时刻

(1)恰有2个设备被使用的概率是多少？

(2)P弁喟PS4谈图展使用福概率是多少?

(3)里金脊百呼设雷梭便用的概率是多多呼

P(X<3)=0(09)5+CixO.1x(0.9)4+C2x(0.1)2X(0.9)3

(4)至少,有一不设密祓赞词懵概率是多少？

P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.59049=0.40951

［五］一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一

扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只

能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞

出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机

的。

(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X

的分布律。

(2)户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它

飞向任一窗子的尝试不多于一次。以匕表示这只聪明的

鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试

求勺分布律。

(3)求试飞次数x小于y的概率；求试飞次数Y

小于*的概率。

解：(1)X的可能取值为1,2,3,…，77,…

_"｛七弁="｛前71次飞向了另2扇窗子，第

"次飞了出去｝

25

一(2)1，/7=1，2,...

丁’？

(2)%的可能取值为1,2,3

P{P=