2024-2025学年高考数学一轮复习解题技巧方法第四章第2节几何法分析向量模的最值问题教师版

几何法分析向量模的最值问题学问与方法向量兼具代数、几何双重特征，在诸多平面对量的最值问题（数量积最值、模最值）中，分析已知条件并画出图形，找寻最值是一种重要的解题方法，本节主要针对用几何法分析向量模的最值问题.典型例题【例1】设平面对量a和b满意，a与b的夹角为60°，若，则的最大值为______.【解析】解法1：，，如图，将向量c和起点都放在点O，则向量c的终点C应在以A为圆心，2为半径的圆上，由图可知，的最大值为.解法2：，设，，则，因为，所以，而，所以问题可以看成求圆上的动点到原点距离的最大值，明显.【答案】【例2】已知a是单位向量，向量b满意，则的取值范围为_______.【解析】解法1：如图，将向量a和b的起点均放在点O，的终点落在以为直径的圆上，所以的取值范围为.解法2：设，设，则，所以，整理得：，而，所以问题可以看成求圆上动点到原点距离的取值范围，明显原点在该圆上，故的取值范围为.【答案】【例3】设，点C在线段上，且，则的最小值为_______.【解析】解法1：且，，设D为中点，如图，由图可知当时，取得最小值.解法2：且，，故当时，取得最小值.【答案】强化训练1.（★★★）已知a和b是单位向量，且，若向量c满意，则的取值范围为________.【解析】解法1：设，，，则，，而，所以问题可以看成求圆：上动点P到原点O距离的取值范围，因为，所以，故的取值范围为.解法2：由题意，，如图，设，，以T为圆心，1为半径画圆，则当点C在圆T上运动时，总有，由图可知的取值范围为.【答案】2.（★★★）已知，，要使最小，则实数x的值为________.【解析】解法1：，所以当时，最小.解法2：，设，，，则点C在直线上，且，如图，当时，达到最小值，也就最小，由题干所给数据易得为正三角形，所以当C为中点时，，此时，.【答案】3.（2011·大纲卷·★★★★）设向量a、b、c满意，，，则的最大值为（）A.2 B. C. D.1【解析】，，设，，，则，可能的情形有两种，若为图1，A、B、C三点均在以O为圆心，1为半径的圆上，其中C在优弧上，满意，明显此时恒有，若为图2，则的外接圆为圆D，向量c的终点C在优弧上运动，满意，易求得，当最大时，恰为圆D的直径，由正弦定理，，即此时，综上所述，的最大值为2.【答案】A4.（★★★）设a和b是相互垂直的两个单位向量，且，则的最大值为________.【解析】解法1：设，，，则，，，所以，可设，则，即的最大值为.解法2：如图，设，，，则当向量c的终点C在以为直径的圆上运动时，总能满意，故的最大值为.【答案】5.（★★★）平面对量a和b满意，，，且a与的夹角为120°，则的取值范围为________.【解析】如图，设，，当A点在优弧上运动时，满意a与的夹角为120°，所以，由正弦定理，，由图可知.【答案】6.（★★★）设a、b、c是平面对量，，且，若，则的最小值为________.【解析】解法1：因为，且，所以，故，从而，如图，设，，，，，则即为，所以点B可在以为直径的圆F上运动，从而问题转化为求圆F上的动点B与定点A的最