2025版新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理正弦定理第1课时余弦定理学案新人教A版必修第二册

第1课时余弦定理【学习目标】(1)了解向量法证明余弦定理的推导过程．(2)驾驭余弦定理及其推论，并能用其解决一些简洁的三角形度量问题．(3)能应用余弦定理推断三角形的形态．【问题探究】(1)在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c?(2)在(1)的探究成果中，若A＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？题型1已知两边及一角解三角形例1(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，求c.(2)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠B＝45°，求BC.学霸笔记：已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形，必需先推断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需依据题意进行检验，需满意大角对大边，两边之和大于第三边．跟踪训练1(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝5，cosC＝23，则bA．13B．C．3D．3(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝9，a＝2c，B＝π3，则△ABC题型2已知三边解三角形例2在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求△ABC的最小角．一题多变1本例条件不变，求△ABC最大角的余弦值．一题多变2本例条件改为“a∶b∶c＝6∶(3＋3)∶23”，求A，B，C.学霸笔记：已知三边求解三角形的方法(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角．其思路清楚，结果唯一．(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常依据边的关系干脆代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．跟踪训练2若△ABC三边长a，b，c满意等式3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，则cosC＝________．题型3利用余弦定理推断三角形的形态例3在△ABC中，若acosB＋acosC＝b＋c，试推断该三角形的形态．题后师说(1)利用三角形的边角关系推断三角形的形态时，须要从“统一”入手，即运用转化思想解决问题，一般有两条思路：(2)推断三角形的形态时，常用到以下结论：①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2；③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.跟踪训练3若在△ABC中，2a·cosB＝c，则三角形的形态肯定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形随堂练习1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，b＝2，c＝7，则C＝()A．120°B．90°C．60°D．45°2．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，A＝60°，a＝7，c＝2，那么b的大小是()A．3B．4C．5D．33．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若acosB＝bcosA，则△ABC为()A．等腰且直角三角形B．等腰或直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形4．在△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，若a2＋b2－ab＝c2，则C＝________．课堂小结1.余弦定理的推导．2．利用余弦定理解三角形中的两类问题．3．利用余弦定理推断三角形的形态．第1课时余弦定理问题探究提示：(1)如图，设CB＝a，CA＝b，AB＝c，那么c＝a－b①我们的探讨目标是用|a|，|b|和C表示|c|，联想到数量积的性质c·c＝|c|2，可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算．由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cosC.所以c2＝a2＋b2－2abcosC，同理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB.(2)a2＝b2＋c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例．例1解析：(1)由已知c＝a2+b2-(2)由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，得5＝2＋BC2－22·BCcos45°，解得BC＝3(负值舍去)．跟踪训练1解析：(1)由题意c2＝a2＋b2－2abcosC，即5＝4＋b2－4b×23，解得b＝3(b＝－1(2)已知b＝9，a＝2c，B＝π3，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，所以92＝4c2＋c2－2·2c·c·cosπ3，即c2＝27，c＝33，则a＝63，三角形周长为a＋b＋c＝9答案：(1)D(2)93＋9例2解析：因为a<c<b，所以最小角为A.所以由余弦定理得：cosA＝b2+c2-∵A∈(0，π)，∴A＝π6一题多变1解析：由例2知最大角为B.所以由余弦定理得：cosB＝a2+c2-一题多变2解析：∵a∶b∶c＝6∶(3＋3)∶23，可设a＝6x，b＝(3＋3)x，c＝23x(x>0)由余弦定理得：cosA＝b＝3+3x2∵A∈(0，π)，∴A＝π6cosC＝a2+b2-∵C∈(0，π)，∴C＝π4∴B＝π－π6-π跟踪训练2解析：因为3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，所以cosC＝a2+b答案：－1例3解析：由acosB＋acosC＝b＋c并结合余弦定理，得a·a2+c2-b22ac＋即a2+c2-整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形．跟踪训练3解析：由2a·cosB＝c以及余弦定理得2a·a2+c2-b2答案：B[随堂练习]1．解析：由余弦定理可得cosC＝a2+b2-c22ab＝1+4答案：A2．解析：因为A＝60°，a＝7，c＝2，所以有a2＝b2＋c2－2bcco