新教材2024-2025学年高中数学第一章数列2等差数列2.1等差数列的概念及其通项公式第1课时等差数列的概念及其通项公式分层作业北师大版选择性必修第二册

2.1等差数列的概念及其通项公式第1课时等差数列的概念及其通项公式A级必备学问基础练1.设{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37=()A.0 B.37 C.100 D.-372.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,立春当日日影长为9.5尺,春分当日日影长为6尺,则立夏当日日影长为()A.16.5尺 B.13尺 C.3.5尺 D.2.5尺3.若数列{an}满意3an+1=3an+1,则数列{an}()A.是公差为1的等差数列 B.是公差为13C.是公差为-134.已知等差数列1,-1,-3,-5,…,-89,则它的项数是 ()A.92 B.47 C.46 D.455.设数列{an}是公差为d的等差数列,若a2=4,a4=6,则d等于()A.4 B.3 C.2 D.16.[2024北京丰台第十二中学校考期中]在等差数列{an}中,若a1=5,a5=1,则a6=.

7.[2024浙江杭州四中校考期中]已知数列{an}的递推公式an+1=anan+1,且首项a1=1,则a8.[2024广东广州试验中学阶段练习]已知在数列{an}中,对随意的n∈N+,都有an+an+1=4n.(1)若{an}为等差数列,求{an}的通项公式;(2)若a1=3,求{an}的通项公式.B级关键实力提升练9.在等差数列{an}中,若a2+a3+a4=6,a6=4,则公差d=()A.1 B.2 C.13 D.10.在等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则b15等于()A.30 B.45 C.90 D.18611.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为()A.24 B.22 C.20 D.-812.图1是程阳永济桥,又名“程阳风雨桥”,因为行人过往能够躲避风雨而得名.已知程阳永济桥上的塔从上往下看,其边界构成的曲线可以看作正六边形结构,如图2所示,且各层的六边形的边长均为整数,从内往外依次成等差数列,若这四层六边形的周长之和为156,且图2中阴影部分的面积为3323,则最外层六边形的周长为(A.30 B.42 C.48 D.5413.(多选题)已知等差数列{an}的首项为-32,若{an}从第6项起出现正数,则公差d的值可能为(A.13 B.310 C.314.(多选题)在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k(k∈N+)个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.若b9是数列{an}的项,则k的值可能为()A.1 B.3 C.5 D.715.若a,x1,x2,x3,b与a,y1,y2,y3,y4,y5,b均为等差数列,则x3-x16.[2024安徽宣城高二统考期末]数列2an+1是等差数列,且a1=1,a4=-12,那么a17.数列{an}满意a1=4,an=4-4an-1(n≥2),设b(1)数列{bn}是等差数列吗?试证明;(2)求数列{an}的通项公式.C级学科素养创新练18.已知等差数列{an}满意a3=5,a4+a6=18.(1)求{an}的通项公式;(2)若对一切n∈N+,an≥λn恒成立,求λ的取值范围.

参考答案§2等差数列2.1等差数列的概念及其通项公式第1课时等差数列的概念及其通项公式1.C设cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差数列,则{cn}也是等差数列,且c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100,∴{cn}的公差d=c2-c1=0.∴c37=100,即a37+b37=100.故选C.2.D设日影长依次成等差数列{an},其公差为d.则a4=9.5,a7=6,∴6=9.5+3d,∴d=-76∴a10=a4+6d=9.5+6×-76=2故选D.3.B由3an+1=3an+1,得3an+1-3an=1,即an+1-an=13,所以数列{an}是公差为134.C设公差为d,d=-1-1=-2,∵-89为第n项,则-89=a1+(n-1)d=1+(n-1)·(-2),解得n=46.5.D∵a4-a2=a1+3d-(a1+d)=6-4=2.∴d=1.6.0∵在等差数列{an}中,由a1=5且a5=a1+4d=1,解得a∴a6=5+5×(-1)=0.7.1n因为an+1=anan+1,且a1=1,则a以此类推可知,对随意的n∈N+,an>0,在等式an+1=anan+1两边取倒数可得1a所以数列1an为等差数列,且其首项为11an=1+(n-1)×1=n,故对随意的n∈N+,an=8.解(1)由条件an+an+1=4n,可得a1+a2=4,a2+a3=8,因为{an}为等差数列,设公差为d,由上式可得a1+所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-1.(2)由条件an+an+1=4n,可得an+1+an+2=4(n+1),两式相减得an+2-an=4.因为a1=3,所以a2=1,数列{an}的奇数项是首项为3,公差为4的等差数列,a2k-1=a1+(k-1)d=4k-1,偶数项是首项为1,公差为4的等差数列,a2k=a2+(k-1)d=4k-3.综上,an=29.D等差数列{an}中,∵a2+a3+a4=6,a6=4,∴3a1+6d=6,a1+5d=4,解得d=23,故选D10.C设数列{an}的公差为d,则a解得a1=3,d=3,∴an=3+3(n-1)=3n,bn=a∴b15=6×15=90.11.A设公差为d,∵a1+3a8+a15=120,∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=120,∴5a8=120.∴a8=24.∴2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24.12.C设该图形中各层的六边形边长从内向外依次为a1,a2,a3,a4成等差数列,由题意得6(a1+a2+a3+a4)=156,即a1+a2+a3+a4=26,所以2a1+3d=13.因为阴影部分的面积S=6×34×(a22-所以2a1d+d2=11,联立得2解得a1故a4=a1+3d=8,所以最外层六边形的周长为48.13.ACan=-32+(n-1)d∵从第6项起先为正数,∴a6=-32+5d>0,a5=-32+4解得310<d≤3814.ABD由题意得a1=b1,a2=bk+2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,…,∴在等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列,且下标是以1为首项,k+1为公差的等差数列,则an=b1+(n-1)(k+1),∵b9是数列{an}的项,令1+(n-1)(k+1)=9,当n=2时,k=7,当n=3时,k=3,当n=5时,k=1,故k的值可能是1,3,7.15.32设等差数列a,x1,x2,x3,b的公差为m,等差数列a,y1,y2,y3,y4,y5,b的公差为n则有b=a+4m,且b=a+6n,∴4m=6n,即2m=3n,则x316.-10101011令bn=2an+1,因为a1=1,a所以b1=1,b4=4,则{bn}的公差为4-1所以bn=n,故an=2n-所以a2024=22022-1=11011-1=-17.解(1)数列{bn}是等差数列.证明如下:由已知可得,an+1=4-4an,则bn+1=所以bn+1-bn=an所以数列{bn}是等差数列.(2)由(1)知,数列{bn}是等差数列,首项b1=1a1-2所以bn=b