2025版新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算课时作业新人教B版选择性必修第一册

1．1.1空间向量及其运算1．给出下列命题：①将空间中全部的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a、b满意|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；④若空间向量m、n、p满意m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中随意两个单位向量必相等．其中假命题的个数是()A．1B．2C．3D．42．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，向量表达式eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))化简后的结果是()A．eq\o(BD1,\s\up6(→))B．eq\o(D1B,\s\up6(→))C．eq\o(B1D,\s\up6(→))D．eq\o(DB1,\s\up6(→))3．在平行六面体ABCD­EFGH中，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))－2yeq\o(BC,\s\up6(→))＋3zeq\o(DH,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝()A．eq\f(7,6)B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,6)D．eq\f(3,4)4．在正四面体P­ABC中，棱长为1，且D为棱AB的中点，则eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))的值为()A．－eq\f(1,4)B．eq\f(1,4)C．－eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)5．已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥a，则向量a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°6．如图，在三棱锥O­ABC中，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，若eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(NB,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,6)b－eq\f(2,3)cB．eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b＋eq\f(2,3)cC．eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b－eq\f(1,3)cD．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,6)b＋eq\f(1,3)c7．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝BB1＝1，∠ABB1＝∠ABC＝∠B1BC＝eq\f(π,3)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(BD1,\s\up6(→))，则|eq\o(B1E,\s\up6(→))|＝()A．25B．5C．14D．eq\r(14)8．四面体ABCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2，则∠BAC＝()A．30°B．45°C．60°D．90°9．(多选)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是()A．eq\o(PC,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))B．eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(PB,\s\up6(→))C．eq\o(PD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))D．eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))10．(多选)在四面体A­BCD中，各棱长均为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A．2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))B．2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))C．2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))D．2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))11．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(CM,\s\up6(→))＝________．12．在正四面体ABCD中，|AB|＝2，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝________．13．(多选)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列命题正确的是()A．(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2B．eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0C．eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为60°D．正方体的体积为|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|14．已知在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝1且∠DAB＝∠BAA1＝∠DAA1＝eq\f(π,3).(1)求B1D的长；(2)求eq\o(CD1,\s\up6(→))与eq\o(B1D,\s\up6(→))夹角的余弦值．1．1.1空间向量及其运算必备学问基础练1．答案：C解析：①假命题．将空间中全部的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；②假命题．依据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不肯定相同；③真命题．与的方向相同，模也相等，应有＝；④真命题．向量的相等满意递推规律；⑤假命题．空间中随意两个单位向量模均为1，但方向不肯定相同，故不肯定相等．故选C.2．答案：A解析：如图所示，∵＝，－＝－＝，＋＝，∴－＋＝．故选A.3．答案：C解析：由于＝＋＋＝＋＋，比照已知式子可得x＝1，－2y＝1，3z＝1，故x＝1，y＝－eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,3)，从而x＋y＋z＝eq\f(5,6).故选C.4．答案：D解析：如图，因为D为棱AB的中点，所以＝eq\f(1,2)(＋)，·＝eq\f(1,2)·(＋)＝eq\f(1,2)(·＋·)，因为几何体为正四面体，故与夹角为60°，同理与夹角为60°，·＝·＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)，故·＝eq\f(1,2)×(eq\f(1,2)＋eq\f(1,2))＝eq\f(1,2).故选D.5．答案：C解析：由已知条件得(a＋b)·a＝a2＋|b||a|cos〈a，b〉＝1＋2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，∴向量a与b的夹角为120°.故选C.6．答案：A解析：＝－＝eq\f(1,2)－eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)(－)－eq\f(2,3)(－)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)－eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,6)b－eq\f(2,3)c.故选A.关键实力综合练7．答案：B解析：＝＋＋＝＋＋2(＋＋)＝3＋＋2，所以||2＝(3＋＋2)2＝32||2＋||2＋22||2＋6·＋4·＋12·＝32＋12＋22＋6×1×1×eq\f(1,2)＋4×1×1×eq\f(1,2)＋12×1×1×eq\f(1,2)＝25，所以|B1E|＝5.故选B.8．答案：C解析：因为＝－，∠BAD＝90°，所以·＝0，所以·＝·(－)＝·－·＝－2，所以·＝2，又AB＝AC＝2，所以·＝||·||cos∠BAC＝2，所以cos∠BAC＝eq\f(1,2)，因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝60°.故选C.9．答案：BCD解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，故D正确；又因为AP⊥AD，AD⊥AB，AP∩AB＝A，AP，AB⊂平面ABP，所以AD⊥平面ABP，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0.故选BCD.10．答案：BD解析：依题意，四面体ABCD是正四面体，对于A，〈，〉＝60°，2·＝2a2cos120°＝－a2，A不是；对于B，〈，〉＝60°，2·＝2a2cos60°＝a2，B是；对于C，因E，F是AB，AD的中点，则2＝，而〈，〉＝120°，2·＝·＝a2cos120°＝－eq\f(1,2)a2，C不是；对于D，因F，G是AD，DC的中点，则2＝，2·＝2＝a2，D是．故选BD.11．答案：c＋eq\f(a,3)－eq\f(2b,3)解析：如图，连接C1M并延长，交A1B1于点D，∵在正三棱柱ABCA1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，＝a，＝b，＝c，∴＝＋＝c＋eq\f(2,3)＝c＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(＋)＝c＋eq\f(1,3)(－b＋－)＝c＋eq\f(1,3)(－b＋a－b)＝c＋eq\f(a,3)－eq\f(2b,3).12．答案：6解析：·＝(2＋)·＝2·＋·＝2×2×2coseq\f(π,3)＋2×2coseq\f(π,3)＝6.核心素养升级练13．答案：AB解析：如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝＝32，故A正确；·(－＝·＝(＋)·＝·＋·＝0，故B正确；与的夹角是与的夹角，△D1CA为正三角形，所以与的夹角为120°，故与的夹角为120°，故C错误；正方体的体积为||·||·||，故D错误．综上可知，AB正确．14．解析：(1)∵AB＝2，AA1＝3，AD＝1且∠DAB＝∠BAA1＝∠DAA1＝eq\f(π,3)，∴·＝2×1×coseq\f(π,3)＝1，·＝2×3×coseq\f(π,3)＝3，·＝1×3×