新教材2025版高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第1课时用空间向量研究距离问题学生用书新人教A版选择性必修第一册

第1课时用空间向量探讨距离问题[课标解读]1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想．教材要点要点空间距离的向量求法分类点到直线的距离点到平面的距离图形语言文字语言设u为直线l的单位方向向量，A∈l，P∉l，AP＝a，向量AP在直线l上的投影向量为AQ，则PQ＝AP2设已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，向量AQ是向量AP在平面上的投影向量，PQ＝________状元随笔AP·nn表示向量AP在法向量n→方向上的投影的大小，因此点P到平面α的距离也可以表示成AP基础自测1.思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．()(2)直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上随意一点到平面的距离．()(3)两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离．()(4)平面α外一点P到平面α的距离在平面α内任一点与点P的距离中最短．()2．已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为()A．322C．102D．3．已知向量n＝(1，0，－1)与直线l垂直，且l经过点A(2，3，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为()A．32B．C．2D．34．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到α的距离为()A．10B．3C．83D．5．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是________．题型1利用空间向量求点线距例1如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．方法归纳用向量法求点到直线的距离的一般步骤巩固训练1已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．题型2利用空间向量求点面距、线面距例2如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．方法归纳用向量法求点面距的一般步骤巩固训练2在三棱锥S­ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝23，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离．题型3利用空间向量求面面距例3如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．方法归纳求两个平行平面的距离，先在其中一个平面上找到一点，然后转化为该点到另一个平面的距离求解．留意：这个点要选取适当，以便利求解为主．巩固训练3如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离．易错辨析对距离公式记忆不够精确致误例4已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)，GE＝(4，－2，－2)，BE＝(0，－2，0)，GF＝(2，－4，－2)．设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)．由GE·n所以x＝－y，z＝－3y.取y＝1，则n＝(－1，1，－3)．所以点B到平面EFG的距离d＝BE·nn＝2易错警示易错缘由纠错心得忽视法向量的模，误认为d＝|BE·n|.利用距离公式求解时肯定牢记距离公式．第1课时用空间向量探讨距离问题新知初探·课前预习要点a[基础自测]1．(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：PA＝(－2，0，－1)，|PA|＝5，PA·则点P到直线l的距离d＝5-12答案：A3．解析：∵n＝(1，0，－1)与直线l垂直，∴n的单位向量n0＝22又∵l经过点A(2，3，1)，∴AP＝(2，0，1)，∴AP在n上的投影AP·n0＝(2，0，1)·22，0，-22＝2答案：B4．解析：∵α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，∴n0＝-2又点A(－1，3，0)在α内，∴AP＝(－1，－2，4)，∴点P到平面α的距离为|AP·n0|＝-1，-答案：D5．解析：由题意知：OA＝(2，1，1)，所以两平面间的距离为d＝OA·nn＝-答案：2题型探究·课堂解透例1解析：因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，所以直线A′C的方向向量A'又BC＝(0，2，0)，所以BC在A'C上的投影长为BC·所以点B到直线A′C的距离d＝BC2-BC·A巩固训练1解析：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量A1C1所以点B到直线A1C1的距离d＝BC12-B例2解析：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则D(0，0，0)，P(0，0，1)，E1，12，0，所以EF＝-12，12设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，则n·EF令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)为平面PEF的一个法向量，所以点D到平面PEF的距离为DE·nn＝2+1(2)连接AC，则AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，平面PEF的一个法向量为n＝(2，2，3)，AE＝0，所求距离为AE·nn＝1巩固训练2解析：取AC的中点O，连接OS，OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC.又BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO.又∵△ABC为正三角形，O为AC的中点，∴AO⊥BO.如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0，23，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，22)，M(1，3，0)，N(0，3，∴CM＝(3，3，0)，MN＝(－1，0，2)，MB＝(－1，3，0)．设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则CM·n=3x+则x＝2，y＝－6，∴n＝(2，－6，1)．∴点B到平面CMN的距离d＝n·MBn例3解析：以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A1B＝(0，1，－1)，A1设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1，1，1)，∴点D1到平面A1BD的距离d＝A1D1·n易证平面A1BD∥平面B1CD1，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33巩固训练3解析：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)，∴EF＝(2，2，