2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3概率5.3.3古典概型学案新人教B版必修第二册

PAGEPAGE25．3.3古典概型【课程标准】(1)结合详细实例，理解古典概型，能计算古典概型中简洁随机事务的概率．(2)通过实例，理解概率的性质，驾驭随机事务概率的运算法则．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点学问点一古典概型一般地，假如随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事务(即基本领件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．学问点二古典概型的计算公式试验的样本空间包含n个样本点，事务C包含有m个样本点，则事务C发生的概率为：P(C)＝________．学问点三古典概型中概率的性质假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事务A包含m个样本点，则：(1)由0≤m≤n与P(A)＝mn可知0≤P(A)≤(2)因为A中包含的样本点个数为n－m，所以P(A)＝n−mn＝1－mn＝1－P(A)，即P(A)＋P((3)若事务B包含有k个样本点，而且A与B互斥，则简洁知道A＋B包含m＋k个样本点，从而P(A＋B)＝m+kn＝mn＋kn＝P(A)＋P状元随笔(1)由古典概型的定义可得古典概型满意基本领件的有限性和等可能性这两个重要特征，所以求事务的概率就可以不用通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．(2)在古典概型中，每个基本领件发生的可能性都相等，称这些基本领件为等可能基本领件．基础自测1．下列问题中是古典概型的是()A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B．掷一个质地不匀称的骰子，求出现1点的概率C．在区间[1，4]上任取一个数，求这个数大于1.5的概率D．同时掷两个质地匀称的骰子，求向上的点数之和是5的概率2．若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为()A．15 B．C．35 D．3．同时抛掷2枚质地匀称的硬币，则“两枚硬币均为正面对上”的概率是()A．14 B．C．23 D．4．将一颗骰子先后抛掷两次，视察它们落地时朝上的面的点数，一共有______________个样本点．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1对古典概型的推断[经典例题]例1(1)向一个圆面内随机地投一个点，假如该点落在圆内随意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？(2)如图所示，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中).你认为这是古典概型吗？为什么？方法归纳推断一个试验是古典概型的依据推断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不行．跟踪训练1下列试验是古典概型的为________．依据古典概型的定义推断．①从6名同学中选出4人参与数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．题型2简洁古典概型概率的计算例2(1)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选择进行竞赛(规则：每匹马只能参与一局竞赛，三局两胜)，则齐王获胜的概率为()A．12B．56C．2状元随笔首先分析总的基本领件个数，再分析满意题意的事务的基本领件个数，最终依据古典概型求出概率即可．(2)将两颗骰子各投掷一次，则点数之和是8的概率为________，点数之和不小于10的概率为________．方法归纳求古典概型概率的步骤(1)推断是否为古典概型；(2)求样本空间包含的样本点个数n；(3)算出事务A中包含的样本点个数m；(4)算出事务A的概率，即P(A)＝mn跟踪训练2将一颗质地匀称的正方体骰子先后抛掷2次，视察向上的点数，则点数和为5的概率是________．题型3有放回与无放回问题的概率例3(1)从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，按先后依次随意取出两件产品，每次取出后不放回，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是()A．34 B．23 C．12(2)从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的概率为()A．14 B．38 C．12方法归纳在求解概率问题时，经常遇到这样的状况，即从一堆小球中抽取几个小球，依据小球的颜色求解概率．解决此类问题时，首先要分清抽取的方式，即“有放回”与“无放回”．“有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的．“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少1.这两种状况下基本领件总数是不同的．跟踪训练3(1)从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是()A．110B．15C．2(2)甲盒中有一个红球，两个白球，这三个球除了颜色外完全相同，有放回地连续抽取两次，每次从中随意抽取一个，取出的两个球中至少有一个白球的概率为()A．19B．13C．2题型4概率基本性质的应用[经典例题]例4为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？状元随笔“中奖”包括第一罐中奖但其次罐不中奖、第一罐不中奖但其次罐中奖、两罐都中奖三种状况．假如设A＝“中奖”，A1＝“第一罐中奖”，A2＝“其次罐中奖”，那么就可以通过事务的运算构建相应事务，并利用概率的性质解决问题．方法归纳(1)对于一个较困难的事务，一般将其分解为几个简洁的事务．当这些事务彼此互斥时，即可用概率加法公式．(2)运用事务的概率加法公式解题的步骤：①确定题中哪些事务彼此互斥；②将待求事务拆分为几个互斥事务之和；③先求各互斥事务分别发生的概率，再求和．跟踪训练4在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示：等候人数01234大于等于5概率0.050.140.350.300.100.06求：(1)等候人数不超过2的概率；(2)等候人数大于等于3的概率．状元随笔等候人数不超过2包括等候人数为0或1或2三种状况；等候人数大于等于3包括等候人数为3，4和大于等于5三种状况．5．3.3古典概型新知初探·自主学习m[基础自测]1．解析：A，B两项中的样本点的发生不是等可能的；C项中样本点的总数是无限的；D项中每个样本点的发生是等可能的，且样本点总数有限．答案：D2．解析：样本点总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个样本点，所以其概率为310答案：B3．解析：同时掷两枚质地匀称的硬币，基本领件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种，出现两枚正面朝上包含的基本领件只有1种：(正，正)，则两枚硬币均为正面对上的概率P＝14答案：A4．解析：两次掷出的点数列表如下：1234561(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)易知共有36个样本点．答案：36课堂探究·素养提升例1【解析】(1)试验的全部可能结果是圆面内的全部点．试验的全部可能结果数是无限的．因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，这个试验也不是古典概型．(2)试验的全部可能结果只有11个，但是命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的，这个试验也不是古典概型．跟踪训练1解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．答案：①②④例2【解析】(1)设齐王的上等马、中等马、下等马分别记为a1，a2，a3，田忌的上等马、中等马、下等马分别记为b1，b2，b3，齐王与田忌赛马，其状况有：(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，田忌获胜；(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，齐王获胜；(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜，共6种，其中齐王获胜的有5种，所以齐王获胜的概率为56(2)将两颗骰子各投掷一次，一共有6×6＝36种状况．其中点数之和为8的事务有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)共5种状况．故概率为536其中点数之和不小于10的状况有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共6种状况，故概率为636＝1【答案】(1)B(2)5跟踪训练2解析：总事务数为6×6＝36，满意条件的事务有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共4种，则点数和为5的概率为436＝1答案：1例3【解析】(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本领件有：(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)(括号左边表示第一次取出的产品，括号右边表示其次次取出的产品)，共6种；满意要求的的基本领件有：(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，共4种，所以目标事务的概率为：P＝46＝2(2)从写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本领件的个数为4×4＝16，抽得的第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的基本领件为(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的概率为616＝3【答案】(1)B(2)B跟踪训练3解析：(1)从1，2，3，4，5中抽取两个数基本领件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10种，所取的两个数均为偶数的有(2，4)，共1种，所以所取两数均为偶数的概率为P＝110(2)由题意可知，设抽到红球为事务A，抽到两个白球分别为事务B1，B2，则基本领件共有AA，AB1，AB2，B1A，B1B1，B1B2，B2A，B2B1，B2B2共9个，则取出的两个球中至少有一个白球由8个基本领件，所以由古典概型可知：P＝89答案：(1)A(2)D例4【解析】设事务A＝“中奖”，事务A1＝“第一罐中奖”，事务A2＝“其次罐中奖”，那么事务A1A2＝“两罐都中奖”，A1A2＝“第一罐中奖，其次罐不中奖”，A1A2＝“第一罐不中奖，其次罐中奖”，且A＝A1A2∪A因为A1A2，A1A2，A1A2两两互斥，所以依据互斥事务的概率加法公式，可得P(A)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＋P我们借助树状图(如图)来求相应事务的样本点数．可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)＝6×5＝30，且每个样本点都是等可能的．因为n(A1A2)＝2，n(A1A2)＝8，n(A1A2)＝8，所以P(A)＝230+8上述解法须要分若干种状况计算概率．留意到事务A的对立事务是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于A1A2＝“两罐都不中奖”，而n(A1A2)＝4×3＝12，所以P(因此P(A)＝