新教材2024-2025学年高中数学第4章计数原理4.3组合第2课时组合在实际问题中的应用分层作业湘教版选择性必修第一册

第2课时组合在实际问题中的应用A级必备学问基础练1.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A,B,C三个班中,要求每个班至少分到一人,则甲被分到A班的分法种数为()A.6 B.12 C.24 D.362.某校在重阳节当日支配6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动,要求每所敬老院至少支配2人,则不同的安排方案数是()A.35 B.40 C.50 D.703.将5名北京冬奥会志愿者安排到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只安排到1个项目,每个项目至少安排1名志愿者,则不同的安排方案共有()A.60种 B.120种 C.240种 D.480种4.将甲、乙等5名交警安排到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,其中一个路口3人,且甲、乙在同一路口的安排方案共有()A.18种 B.24种 C.36种 D.72种5.某省示范性中学支配6名高级老师到甲、乙、丙三所中学进行支教,每所学校至少支配1人,则不同的安排方案有()A.150种 B.180种 C.270种 D.540种6.(2024全国乙,理7)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种 B.60种 C.120种 D.240种7.从6个人中选4个人去值班,每人值班一天,第一天支配1个人,其次天支配1个人,第三天支配2个人,则共有种支配状况.

8.双十一活动期间,某商场支配将5张广告宣扬页粘贴在商场的3个不同的入口,其中有2张是电器广告的宣扬页,要求这2张电器广告的宣扬页必需粘贴在不同入口,且每个入口至少粘贴1张宣扬页,则不同的粘贴方法有种.

9.从6名短跑运动员中选4人参与4×100米接力赛,假如甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法?B级关键实力提升练10.把16个相同的小球放到三个编号为1,2,3的盒子中,且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数,则不同的放法有()A.18种 B.28种 C.36种 D.42种11.从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点,可得到四面体的个数为()A.C84-12 B.CC.C84-6 D.C12.现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班,其中一、二班每班至少3个名额,三、四、五班每班至少2个名额,则名额安排方式共有()A.15种 B.35种 C.70种 D.125种13.(多选题)某师范高校5名毕业生到某山区的乡村小学工作.将这5名毕业生安排到该山区的A,B,C三所小学,每所学校至少安排1人.()A.若甲不去A小学,则共有100种安排方法B.若甲、乙去同一所小学,则共有36种安排方法C.若有一所小学安排了3人,则共有90种安排方法D.共有120种安排方法14.(2024全国甲,理9)有五名志愿者参与社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参与服务,则恰有1人连续参与两天服务的选择种数为()A.120 B.60 C.40 D.3015.现有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中随意取出4只,4只鞋子恰有两双的种数为,4只鞋子有2只成双,另2只不成双的种数为.

16.已知从1,3,5,7,9中任取两个数,从0,2,4,6,8中任取两个数,组成没有重复数字且不含有数字0的四位数的个数为,没有重复数字的四位偶数的个数为.

17.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,则不同的取法种数为.(用数字作答)

18.将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中.(1)若每盒至多一球,则有多少种放法?(2)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?(3)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法?C级学科素养创新练19.方程x1+x2+x3+x4=12的正整数解共有()A.165组 B.120组 C.38组 D.35组

第2课时组合在实际问题中的应用1.B(方法1)依据题意分2步进行分析:第一步,将甲、乙、丙、丁4名同学分为3组,有C42=6种分组方法;其次步,将甲所在的组分到A班,剩下2组支配到B,C班,有A22=2种状况.则由分步乘法计数原理可知共有6×2=(方法2)依题意,若A班只有1名同学,则这名同学肯定是甲,然后将乙、丙、丁3人分到B,C两个班,则有C32A22=6种不同的分法;若A班有2名同学,则问题转化为乙、丙、丁3位同学分到A,B,C三个班中,共有A332.C6名学生分成两组,每组不少于两人的分组,一组2人另一组4人,或每组3人,所以不同的安排方案数为C62A3.C依据题意,有一个项目中安排2名志愿者,其余各项目中安排1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有C52种选法;然后连同其余三人,看成四个元素,四个项目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有A44种,依据分步乘法计数原理,完成这件事共有C54.A5名交警安排到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,其中一个路口3人,所以不同路口的执勤人数为3,1,1.又甲、乙在同一路口,先选一个人和甲乙组成一组有C31种选法,剩余两人为两组,然后支配到3个路口共有C31C5.D将6人分成3组,可以是1,1,4,也可以是1,2,3,也可以是2,2,2,第一类,若分成1,1,4,有C64C21C11A22A33=90种支配方法;其次类,若分成1,2,3,有C616.C(方法1干脆法)甲在6种课外读物中任选2种,有C62种选法,乙在甲选的2种课外读物中挑一种有C21种选法,乙在甲选2种课外读物后剩下的4种中选一种有C41种选法,则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法共有C6(方法2间接法)甲、乙两位同学各自选读2种课外读物共有C62C62种选法,甲、乙所选都不同有C62C42种选法,甲、乙所选都相同有C627.180依据题意,可知共有C64C8.114依据题意,分2步进行分析:第1步,将5张宣扬页分为3组,其中2张电器广告的宣扬页不能在同一组,若分为1-1-3的三组,有C53若分为1-2-2的三组,有C52C32A2第2步,将分好的三组分别粘贴在不同入口,有A33=依据分步乘法计数原理,则有19×6=114种不同的粘贴方法.9.解把所选取的运动员的状况分为三类:第1类,甲、乙两人均不参赛,不同的参赛方法有A44第2类,甲、乙两人有且只有1人参赛,不同的参赛方法有C2第3类,甲、乙两人都参赛,不同的参赛方法有C42(A由分类加法计数原理知,全部的参赛方法共有24+144+84=252种.10.C依据题意,16个相同的小球放到三个编号为1,2,3的盒子中,且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数,先在1号盒子里放1个球,在2号盒子里放2个球,在3号盒子里放3个球,则原问题可以转化为将剩下的10个小球,放入3个盒子,每个盒子至少放1个的问题,将剩下的10个球排成一排,有9个空位,在9个空位中任选2个,插入挡板,有C92=11.A从正方体的8个顶点中选取4个顶点有C84种,正方体表面四点共面不能构成四面体有6种状况,正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有6种状况,所以可得到的四面体的个数为C84-6-6=12.B依据题意,先将15个名额安排给一班、二班每班2个,三、四、五班每班1个,还剩下8个名额,将剩下的8个名额进行排列,产生7个“空档”,在7个“空档”中任选4个,则有C74=13.AB对于A,5名毕业生安排到三所小学可以分成3,1,1或2,2,1两种状况,若A小学支配1人,则有C41(若A小学支配2人,则有C42C31A22=36种安排方法,若A小学支配3人,则有C43对于B,若甲、乙同去一所小学,则将甲、乙捆绑,共有C42对于C,若有一所小学安排了3人,先将5人分成3,1,1三组,再将三组人安排到三所小学,所以有C53对于D,这5名毕业生安排到该山区的A,B,C三所小学,每所学校至少安排1人,共有(C53C2114.B(方法1干脆法)在5名志愿者中任选2人参与星期六的社区服务,有C52种状况;星期天时,先在星期六选中的2人中任选1人,有C21由分步乘法计数原理知,共有C52·(方法2间接法)由题意知总的选择种数为C52·C52=100种,其中2人都连续两天参与服务有C52=10种状况,没有人连续两天参与服务有C52·15.451440从10双中任选2双有C102=45种取法.先选取一双有C101种选法,再从9双中任取两双有C92种选法,每双鞋只取一只各有2种取法,依据分步乘法计数原理可知选取的种数为N=C16.14401120从1,3,5,7,9中任取两个数,从2,4,6,8中任取两个数,组成C52·C42·A4当0在末位时,共有C52C41A33当末位为2,4,6,8(且0不在首位),共有4C52C41则可以组成240+880=1120个没有重复数字的四位偶数.17.56满意要求的点的取法可分为三类:第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4C5其次类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2C4第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4C21因此,满意题意的不同取法共有4C53+2C43+418.解(1)依据题意,若每盒至多一球,即每个盒子放入一个小球,有A44=(2)依据题意,分2步进行分析:第一步,将4个小球分为3组,其中1组2个小球,另外2组各有1个小球,有C42C21C依据分步乘法计数原理,共有6×24=144种不同的放法.(3)依据题意,分2步进行分析:第一步,先选出1个小球,放到对应序号的盒子里,有C41=恰好有一个球的编号与盒子的编号相同的放法有4×2=8种.1