新高考数学二轮复习 题型归纳演练专题3-6 利用导函数研究方程的根（函数的零点）原卷版

专题3-6利用导函数研究方程的根（函数的零点）目录TOC\o"1-1"\h\u 1题型一：判断（证明）函数零点个数 1题型二：利用函数极值（最值）研究函数的零点 9题型三：已知函数的零点个数求参数的取值范围(或值) 15题型四：利用数形结合法（等价为两个函数图象交点）研究函数的零点（方程的根） 22题型五：以函数零点为背景的含双参不等式的证明 32题型六：导数解决函数隐零点问题 44 50题型一：判断（证明）函数零点个数【典例分析】例题1．（2022·河南·驻马店开发区高级中学高三阶段练习（文））已知函数SKIPIF1<0图象的对称中心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的零点个数为（

）A．2 B．1 C．4 D．3例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，讨论函数SKIPIF1<0的零点的个数.例题3．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)当SKIPIF1<0时，判断SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有几个零点，并证明.【提分秘籍】1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式等函数零点的个数(或方程根的个数)问题的一般思路:(1)可转化为用导数研究其函数的图象与SKIPIF1<0轴(或直线SKIPIF1<0)在该区间上的交点问题;(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象;(3)结合图象求解.2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤:第一步,利用导数证明该函数在该区间上单调性，第二步,证明端点的导数值异号.【变式演练】1．（2022·湖南·高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点个数为_________．2．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：函数SKIPIF1<0有唯一的零点，并求出此零点；(2)求曲线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0的切线方程．3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；(2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由.4．（2022·全国·成都七中高三开学考试（文））设函数SKIPIF1<0​为常数).(1)讨论SKIPIF1<0​的单调性；(2)讨论函数SKIPIF1<0​的零点个数.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的极值点个数；(2)求函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内的零点个数.题型二：利用函数极值（最值）研究函数的零点【典例分析】例题1．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时取得极值，且在点SKIPIF1<0处的切线的斜率为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的解析式；(2)若函数SKIPIF1<0有三个零点，求实数SKIPIF1<0的取值范围.例题2．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有一个零点，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值与最小值的和．【提分秘籍】借助导数研究函数的单调性与极值后,通过极值（最值）的正负,函数的单调性判断函数图象的走势,从而判断零点的个数.【变式演练】1．（2022·重庆八中高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值；(2)若函数SKIPIF1<0有三个零点，求实数a的取值范围．2．（2022·广东·高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0处都取得极值.(1)求实数a，b的值；(2)若函数SKIPIF1<0有三个不同的零点，求c的范围.3．（2022·全国·模拟预测（文））设函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)若函数SKIPIF1<0有且仅有3个零点，求SKIPIF1<0的取值范围．题型三：已知函数的零点个数求参数的取值范围(或值)【典例分析】例题1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若关于SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0恰有4个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））已知关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有4个不等实数根，则SKIPIF1<0的取值范围是______．例题3．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的图像在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个零点，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【提分秘籍】转化为用导数研究其函数的图象与SKIPIF1<0轴(或直线SKIPIF1<0)在该区间上的交点问题;【变式演练】1．（2022·北京通州·高三期中）已知函数SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有两个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，若f（x）在（0，+∞）内有零点，则a的取值范围为___________.3．（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数SKIPIF1<0有且只有一个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是___________.4．（2022·天津·高三期中）已知函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线斜率为4，且在SKIPIF1<0处取得极值.(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)若函数SKIPIF1<0恰有两个零点，求实数m的取值范围.题型四：利用数形结合法（等价为两个函数图象交点）研究函数的零点（方程的根）【典例分析】例题1．（2022·河北石家庄·高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)若方程SKIPIF1<0有三个不同的根，求SKIPIF1<0的取值范围．例题2．（2022·重庆市永川北山中学校模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的极值；(2)若SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴有两个交点，求SKIPIF1<0的取值范围.例题3．（2022·山东·宁阳县第四中学高二阶段练习）给定函数SKIPIF1<0.(1)判断函数SKIPIF1<0的单调性，并求出SKIPIF1<0的极值；(2)画出函数SKIPIF1<0的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）；(3)求出方程SKIPIF1<0的解的个数.【提分秘籍】转化为用导数研究其函数的图象与SKIPIF1<0轴(或直线SKIPIF1<0)在该区间上的交点问题;【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个零点，求SKIPIF1<0的取值范围．2．（2022·辽宁·高二期中）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)若方程SKIPIF1<0有两个根，求a的取值范围．3．（2022·广东·珠海市第二中学高二期中）已知函数SKIPIF1<0(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)设SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0有三个不同的解，求a的取值范围.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间和极值；(2)若函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0仅有一个公共点，求实数SKIPIF1<0的取值范围.题型五：以函数零点为背景的含双参不等式的证明【典例分析】例题1．（2022·河南·一模（文））已知函数SKIPIF1<0．（1）讨论函数SKIPIF1<0的单调性；（2）若函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0有两个不同的零点(其中SKIPIF1<0为自然对数的底数).（1）当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0；（2）求实数SKIPIF1<0的取值范围；（3）若函数SKIPIF1<0的两个零点为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.例题3．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））设函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)若SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围，并证明：SKIPIF1<0．【提分秘籍】破解含双变量不等式的证明的关键一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量所满足的关系式,并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式;二是巧构造函数,借助导数,判断函数的单调性,从而求其最值;三是回归双变量的不等式的证明,把所求的最值应用到双变量不等式,即可证得结果.【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若对任意实数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0均有零点，求实数SKIPIF1<0的最大值；(3)若函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的最小值；(2)求证：函数SKIPIF1<0存在两个零点（记为SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．（1）讨论函数SKIPIF1<0的单调性;（2）若SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数，若函数SKIPIF1<0有两个不同的零点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0（a为常数）．且SKIPIF1<0有两个不同的极值点SKIPIF1<0（1）求实数a的取值范围；（2）求证：SKIPIF1<0题型六：导数解决函数隐零点问题【典例分析】例题1．（2022·全国·高二单元测试）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的单调区间；（2）讨论SKIPIF1<0零点的个数；（3）当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.例题2．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知函数SKIPIF1<0.（1）当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0处的切线方程；（2）当SKIPIF1<0时，判断SKIPIF1<0的零点个数并说明理由；（3）若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围.【提分秘籍】函数隐零点在很多时候无法直接求出来，基本解决思路是：虚设零点，整体代换，数值估算，等价转化，分离参数，反客为主。【变式演练】1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数SKIPIF1<0．（Ⅰ）求函数SKIPIF1<0的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线SKIPIF1<0存在斜率为SKIPIF1<0的切线，且切点的纵坐标SKIPIF1<0．2．（2022·北京·北师大二附中高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；（2）当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值和最小值；（3）当SKIPIF1<0时，若方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有唯一解，求SKIPIF1<0的取值范围.一、单选题1．（2022·上海市杨浦高级中学高三开学考试）已知点P是曲线SKIPIF1<0上任意一点，记直线OP（O为坐标系原点）的斜率为k，则使得SKIPIF1<0的点P的个数为（

）.A．0 B．仅有1个 C．仅有2个 D．至少有3个2．（2022·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有三个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·上海·曹杨二中高二期末）已知函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，对于下列结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；则（

）A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对4．（2022·山东德州·高三期中）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的图像与SKIPIF1<0轴有4个不同的交点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·天津·高三期中）已知定义在R上的函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0恰有2个零点，则实数m的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·云南·昆明市第三中学高三阶段练习）过点SKIPIF1<0有SKIPIF1<0条直线与函数SKIPIF1<0的图象相切，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·湖北·高三阶段练习）直线SKIPIF1<0与两条曲线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标依次是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则下列关系式正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·山西·晋城一中教育集团南岭爱物学校高三阶段练习）已知当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的图像与函数SKIPIF1<0的图像有且只有两个交点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0有唯一零点，则实数SKIPIF1<0的值可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．110．（2022·湖南·益阳市箴言中学高二开学考试）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有唯一零点，则SKIPIF1<0的可能取值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIP