新高考数学二轮复习 题型归纳演练专题3-9 利用导函数研究极值点偏移问题原卷版

专题3-9利用导函数研究极值点偏移问题目录TOC\o"1-1"\h\u专题3-9利用导函数研究极值点偏移问题 1 1题型一：对称化构造 1题型二：比值代换法 13题型三：对数均值不等式法 22 29题型一：对称化构造【典例分析】例题1．（2022·江苏南通·高三期中）已知SKIPIF1<0，其极小值为-4.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不相等的实数根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.例题2．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数SKIPIF1<0(1)求函数SKIPIF1<0单调区间；(2)设函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的两个零点，①求SKIPIF1<0的取值范围；②求证：SKIPIF1<0．【提分秘籍】主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为SKIPIF1<0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点SKIPIF1<0．(2)构造函数，即对结论SKIPIF1<0型，构造函数SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(3)对结论SKIPIF1<0型，构造函数SKIPIF1<0，通过研究SKIPIF1<0的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论SKIPIF1<0的单调性．(5)比较大小，即判断函数SKIPIF1<0在某段区间上的正负，并得出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系．(6)转化，即利用函数SKIPIF1<0的单调性，将SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系转化为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的关系，进而得到所证或所求．【变式演练】1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知函数SKIPIF1<0(1)若对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)设SKIPIF1<0是两个不相等的实数，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<02．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的极值.(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.3．（2022·河北·开滦第二中学高二期末）设函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0有极值时，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（2）当SKIPIF1<0时，若在SKIPIF1<0定义域内存在两实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．4．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）.(1)若函数SKIPIF1<0的最小值为2，求SKIPIF1<0的值；(2)在（1）的条件下，若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个不同的实数根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.题型二：比值代换法【典例分析】例题1．（2022·全国·高二期末）已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论SKIPIF1<0的单调性.(2)若函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)设函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)求证：SKIPIF1<0；(3)设函数SKIPIF1<0的两个零点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【提分秘籍】比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用SKIPIF1<0表示)表示两个极值点，即SKIPIF1<0，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于SKIPIF1<0的函数问题求解．【变式演练】1．（2022·四川成都·高三期中（文））已知函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求a的取值范围；（2）求证：SKIPIF1<0.2．（2022·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调区间；（2）若SKIPIF1<0存在三个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求k的取值范围，并证明：SKIPIF1<0.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数，(1)求函数SKIPIF1<0的极值；(2)当SKIPIF1<0时，若方程SKIPIF1<0有两个不等实根SKIPIF1<0．（ⅰ）证明：SKIPIF1<0；（ⅱ）证明：SKIPIF1<0．题型三：对数均值不等式法【典例分析】例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数）.(1)讨论SKIPIF1<0单调性；(2)设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两个极值点，证明：SKIPIF1<0.例题2．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，求实数SKIPIF1<0的取值范围．(2)若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两个不相等的实数根，证明：SKIPIF1<0．【提分秘籍】两个正数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的对数平均定义：SKIPIF1<0对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：SKIPIF1<0（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立．【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（SKIPIF1<0）的大小；（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2，试证明x1x2＞e2．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0存在两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的取值范围；（2）证明：SKIPIF1<0.一、单选题1．（2022·吉林长春·模拟预测）已知a，b满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，对于正实数a，若关于t的方程SKIPIF1<0恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2021·河南·郑州外国语中学高三阶段练习（理））关于函数SKIPIF1<0，下列说法错误的是（

）A．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点B．函数SKIPIF1<0有且只有SKIPIF1<0个零点C．存在正实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立D．对任意两个正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<04．（2021·江西·鹰潭一中高三阶段练习（文））关于函数SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值点B．函数SKIPIF1<0有2个零点C．存在正整数k，使得SKIPIF1<0恒成立D．对任意两个正实数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0二、多选题5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知函数SKIPIF1<0则下列结论正确的有（

）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极值点B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有2个零点D．若SKIPIF1<0是关于x的方程SKIPIF1<0的2个不等实数根，则SKIPIF1<06．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的零点只有SKIPIF1<0个C．若函数SKIPIF1<0有两个不同的零点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，若不等式SKIPIF1<0恒成立，则正数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<07．（2022·全国·高二专题练习）已知函数SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0有两个不相等的实根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，x，y均为正数，则SKIPIF1<0三、解答题8．（2022·湖南·长沙市同升湖高级中学有限公司高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0.(2)若函数SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的单调区间(2)若SKIPIF1<0的极值点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.10．（2022·江苏常州·高三期中）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0在x＝0处的切线与SKIPIF1<0在x＝1处的切线相同，求实数a的值；(2)令SKIPIF1<0