新高考数学二轮复习 题型归纳演练专题8-1 立体几何中外接球内切球问题原卷版

专题8-1立体几何中外接球内切球问题目录TOC\o"1-1"\h\u专题8-1立体几何中外接球内切球问题 1 1题型一：外接球公式法 1题型二：外接球补型法 4题型三：外接球单面定球心法 10题型四：外接球双面定球心法 18题型五：内切球问题 25 34一、单选题 34二、多选题 41三、填空题 45题型一：外接球公式法【典例分析】例题1．（2023·陕西西安·高三期末（理））长方体的三个相邻面的面积分别是8，8，16，则该长方体外接球的体积为（

）A．24π B．32π C．36π D．48π例题2．（2022·广东珠海·高一期末）一个棱长为2的正方体，其外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））若体积为12的长方体的每个顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，且此长方体的高为2，则球SKIPIF1<0的表面积的最小值为___________.【提分秘籍】①长方体外接球：在长方体SKIPIF1<0中，设一个顶点出发的三条边长分别为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则长方体外接球半径SKIPIF1<0②正方体外接球：在正方体SKIPIF1<0中，设边长为SKIPIF1<0，则正方体外接球半径SKIPIF1<0【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（文））已知长方体SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的余弦值为__________．3．（2022·贵州·高二学业考试）已知长方体的三条棱长分别为1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该长方体外接球的表面积为___．（结果用含SKIPIF1<0的式子表示）题型二：外接球补型法【典例分析】例题1．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）在四面体SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该四面体外接球半径为__________．例题2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题3．（2022·广东韶关·一模）已知三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥的外接球的半径为___________；若SKIPIF1<0､SKIPIF1<0分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段SKIPIF1<0的长度的最大值为___________.【提分秘籍】①墙角型：由一个顶点出发的三条棱两两互相垂直，可补形为长方体或正方体，再利用公式法求解外接球问题；②对棱相等型：如果一个多面体的对棱都相等，可以补形为长方体，或正方体，再利用公式法求解外接球问题；【变式演练】1．（2022·天津市第二耀华中学高三阶段练习）已知正方形SKIPIF1<0的边长为2，点SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别沿SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0三点重合于点SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·四川省乐山沫若中学高二期中（理））已知三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则三棱锥的外接球的体积为___________.4．（2022·湖北·高二期中）四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝5，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为_____．题型三：外接球单面定球心法【典例分析】例题1．（2022·福建·高三阶段练习）在正三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中心，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该正三棱锥的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·四川·泸州市龙马高中高二阶段练习（文））在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球SKIPIF1<0的体积为______．例题3．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则该几何体的外接球的体积为_________【提分秘籍】①第一步：选定一个底面（如图底面三角形SKIPIF1<0），求出三角形SKIPIF1<0外接圆圆心SKIPIF1<0如图：若SKIPIF1<0为直角三角形，则外接圆圆心SKIPIF1<0在斜边的中点上；若SKIPIF1<0为正三角形，则外接圆圆心SKIPIF1<0在重心位置；若SKIPIF1<0为普通三角形，则利用正弦定理SKIPIF1<0,确定出SKIPIF1<0的位置②第二步：过点SKIPIF1<0作出平面SKIPIF1<0的垂线，如图为SKIPIF1<0，则球心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上；③计算：在SKIPIF1<0中，利用勾股定理求出外接球半径SKIPIF1<0【变式演练】1．（2022·贵州·高三阶段练习（理））设三棱锥SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当三棱锥体积最大时，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则它的外接球的表面积为______.3．（2022·江苏·常州市第一中学高三阶段练习）已知空间四边形SKIPIF1<0的各边长及对角线SKIPIF1<0的长度均为6，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，点M在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0外接球的半径为______；过点M作四边形SKIPIF1<0外接球的截面.则截面面积最大值与最小值之比为______.4．（2022·山西运城·高三期中）已知正四棱锥SKIPIF1<0的底面是边长为2的正方形，其内切球的体积为SKIPIF1<0，则该正四棱锥的高为___________，外接球的表面积为___________.题型四：外接球双面定球心法【典例分析】例题1．（2022·山西大附中高三阶段练习）已知菱形SKIPIF1<0的各边长为SKIPIF1<0．如图所示，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置，连接SKIPIF1<0，得到三棱锥SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在三棱锥SKIPIF1<0的外接球上运动，且始终保持SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹的周长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·四川省叙永第一中学校高二期中（理））在三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.【提分秘籍】①第一步：选定一个底面（如图底面三角形SKIPIF1<0），求出三角形SKIPIF1<0外接圆圆心SKIPIF1<0如图：若SKIPIF1<0为直角三角形，则外接圆圆心SKIPIF1<0在斜边的中点上；若SKIPIF1<0为正三角形，则外接圆圆心SKIPIF1<0在重心位置；若SKIPIF1<0为普通三角形，则利用正弦定理SKIPIF1<0,确定出SKIPIF1<0的位置②第二步：过点SKIPIF1<0作出平面SKIPIF1<0的垂线；③第三步：重复上述两步，再做一条垂线；④第四步：两条垂线的交点为球心SKIPIF1<0【变式演练】1．（2022·福建省连城县第一中学高三阶段练习）已知菱形SKIPIF1<0的各边长为SKIPIF1<0.如图所示，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置，连接SKIPIF1<0，得到三棱锥SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在三棱锥SKIPIF1<0的外接球上运动，且始终保持SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹的周长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）已知四边形SKIPIF1<0是边长为3的菱形且一个内角为SKIPIF1<0，把等边SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0体积最大时，其外接球半径为______．3．（2022·福建·高二期中）已知菱形SKIPIF1<0的各边长为SKIPIF1<0，如图所示，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置，连接SKIPIF1<0，得到三棱锥SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0则三棱锥SKIPIF1<0的体积为___________，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在三棱锥SKIPIF1<0的外接球上运动，且始终保持SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹的周长为___________.题型五：内切球问题【典例分析】例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱锥SKIPIF1<0中，侧面与底面所成角的正切值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一期末）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为SKIPIF1<0，则该圆锥的表面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题3．（2022·河南·高二阶段练习）已知正四面体SKIPIF1<0的棱长为12，球SKIPIF1<0内切于正四面体SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0上关于球心SKIPIF1<0对称的两个点，则SKIPIF1<0的最大值为___________.【提分秘籍】①等体积法：将空间几何体拆分为以内切球球心SKIPIF1<0为顶点的多个几何体，再利用等体积法求出内切球半径SKIPIF1<0，主要用于多面体内切球问题；例如：在四棱锥SKIPIF1<0中，内切球为球SKIPIF1<0，求球半径SKIPIF1<0.方法如下：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，可求出SKIPIF1<0.②独立截面法：主要用于旋转体中，通过独立截面（过球心的截面），在截面中求出内切球的半径.【变式演练】1．（2022·浙江台州·模拟预测）在四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边长为1的等边三角形，底面SKIPIF1<0为矩形.若四棱锥SKIPIF1<0存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如图，已知圆锥顶点为SKIPIF1<0，其轴截面SKIPIF1<0是边长为6的为正三角形，SKIPIF1<0为底面的圆心，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0的一条直径，球SKIPIF1<0内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），点SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0与圆锥侧面的交线上一动点，则（

）A．圆锥的表面积是SKIPIF1<0 B．球SKIPIF1<0的体积是SKIPIF1<0C．四棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<03．（2023·江西江西·高三阶段练习（理））如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为SKIPIF1<0，则模型中九个球的体积和为__________.4．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且分别与正方体内切，求两球半径之和.一、单选题1．（2022·重庆市永川北山中学校高三期中）在三棱锥SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积是（

）A．100π B．50π C．144π D．72π2．（2022·全国·高三专题练习）金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体.若某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·江苏扬州·高三期中）古希腊数学家阿基米德的墓碑，上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的内切球体积与圆柱体积比为定值，则该定值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知球SKIPIF1<0是棱长为1的正方体SKIPIF1<0的内切球，则平面SKIPIF1<0截球SKIPIF1<0的截面面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·全国·高三专题练习）已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为SKIPIF1<0，则此圆台的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·全国·高三专题练习）1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占SKIPIF1<0正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得SKIPIF1<0与小球相切．若SKIPIF1<0，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·广东广州·高三阶段练习）在正四棱台SKIPIF1<0中，上､下底面边长分别为SKIPIF1<0，侧棱长为SKIPIF1<0，则该正四棱台的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·天津和平·二模）已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为SKIPIF1<0，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0二、多选题9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知圆锥SKIPIF1<0的底面半径SKIPIF1<0，侧面积为SKIPIF1<0，内切球的球心为SKIPIF1<0，外接球的球心为SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．外接球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0B．设内切球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，外接球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．过点SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0截圆锥OP的截面面积的最大值为2D．设母线SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，从SKIPIF1<0点沿圆锥表面到SKIPIF1<0的最近路线长为SKIPIF1<010．（2022·福建