新高考数学二轮复习对点题型第16讲椭圆（学生版）

第16讲椭圆真题展示2022新高考一卷第16题已知椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的上顶点为SKIPIF1<0，两个焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．过SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长是13．考查目标直线、椭圆及相关几何量的计算是中学数学的必备知识.试题巧妙地将直线与椭圆的位置关系及有关度量的计算结合在一起，设计的问题既体现了基础性又具有挑战性.试题对考生的化归与转化、逻辑推理等方面的能力提出了较高的要求，有效地考查了考生的理性思维、数学探索等方面的数学学科素养，考查了考生的运算求解、逻辑思维等方面的关键能力.试题亮点试题对解析几何知识综合应用的考查做了很好的设计.从试题的简单情景中应用椭圆的定义去分析问题、解决问题，可以体现考生思维的灵活性.试题具有较好的创新性与开放性，有诸多亮点.试题的题设条件简洁，问题深入，既体现了数学之美，又体现了逻辑推理的重要性.考生在判断出△AF，F，为正三角形后进一步选择解题路径，这对考生准确灵活运用所学知识解决问题的能力、运用数形结合以及化归与转化等数学思想方法提出了较高要求．试题有效考查了考生的运算求解能力、逻辑思维能力和创新能力，以及理性思维、数学应用、数学探索等数学科素养.试题具有较好的开放性，给不同思维层次的考生提供了发挥的空间.考生可以采用不同的解题路径和方法.比如，考生可以利用对称性解决。知识要点整理知识点一椭圆的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．2．焦点：两个定点F1，F2.3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝(常数)且2a|F1F2|.知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2＝a2－c2知识点三椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)知识点四直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．直线与椭圆解的个数Δ的取值两个不同的公共点两解Δ>0一个公共点一解Δ＝0没有公共点无解Δ<0三年真题一、单选题1．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（

）A．3 B．6 C．8 D．12二、多选题2．已知曲线SKIPIF1<0.（

）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为SKIPIF1<0C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为SKIPIF1<0D．若m=0，n>0，则C是两条直线三、填空题3．已知SKIPIF1<0，B是圆SKIPIF1<0（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为___________.4．已知椭圆SKIPIF1<0，C的上顶点为A，两个焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．过SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直线与C交于D，E两点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长是________________．四、解答题5．已知椭圆C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程：（2）点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为垂足．证明：存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值．6．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的左、右顶点．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．7．已知椭圆C1：SKIPIF1<0(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=SKIPIF1<0|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．8．已知椭圆C1：SKIPIF1<0(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=SKIPIF1<0|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.三年模拟1．已知椭圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，P是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在第一象限的交点，当SKIPIF1<0时，双曲线SKIPIF1<0的离心率等于______.2．如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0的半径分别为4和2，球心距离SKIPIF1<0，截面分别与球SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.3．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左右焦点，A为SKIPIF1<0的上顶点，直线l经过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0交于B，C两点；若l垂直平分线段SKIPIF1<0，则△ABC的周长是___________.4．如图所示，平面直角坐标系SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的上､下顶点，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0不在椭圆SKIPIF1<0上，则椭圆SKIPIF1<0的焦距为___________.5．已知椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P在椭圆上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的延长线交椭圆于点Q，若椭圆的离心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0___________.6．己知椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0和上顶点B，若斜率为SKIPIF1<0的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为___________.7．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且SKIPIF1<0的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为__________．8．已知椭圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有共同的焦点SKIPIF1<0，它们的离心率分别为SKIPIF1<0是它们的一个公共点.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________.9．已知SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左，右焦点，直线SKIPIF1<0与椭圆C的一个交点为M，若SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为______.10．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上且在以SKIPIF1<0为直径的圆上．线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的长轴长为_____．11．已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为F，经过点F的直线l的倾斜角为SKIPIF1<0，且直线l交该椭圆于A，B两点，若SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率为______________.13．已知椭圆SKIPIF1<0左､右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0且倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0点，点SKIPIF1<0在椭圆上，且SKIPIF1<0.则椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0__________.15．已知椭圆SKIPIF1<0的上、下顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是椭圆C上异于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的点，直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，写出一个满足SKIPIF1<0的椭圆C的方程是________________．16．如图，己知是椭圆SKIPIF1<0的焦点，M，N为椭圆上两点，满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的余弦值为___________.17．若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆C：SKIPIF1<0的两个焦点，过SKIPIF1<0的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是______．（填序号）①椭圆C的离心率为SKIPIF1<0；

②存在点A使得SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；

④SKIPIF1<0面积的最大值为12．18．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为SKIPIF1<0，点M的运动轨迹为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0上的点P向SKIPIF1<0作切线，则切线长的最大值为______．19．已知椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的上顶点，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的另一个交点为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.20．用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．已知某圆锥的轴截面是正三角形，平面SKIPIF1<0与该圆锥的底而所成的锐二面角为SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0截该圆锥所得椭圆的离心率为_________．21．已知F是椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的右焦点，A为椭圆SKIPIF1<0的下顶点，双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）与椭圆SKIPIF1<0共焦点，若直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线平行，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的离心率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______．22．已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆SKI