新高考数学二轮复习 题型归纳演练专题10-2 概率统计（解答题）原卷版

专题10-2概率统计（解答题）目录TOC\o"1-1"\h\u专题10-2概率统计（解答题） 1 1题型一：回归直线方程 1题型二：非线性回归 8题型三：独立性检验 18题型四：超几何分布 25题型五：二项分布 35题型六：正态分布 45题型七：概率综合 55题型八：概率统计与数列 61题型九：概率统计与导数 70题型一：回归直线方程【典例分析】例题1．（2022春·全国·高三校联考阶段练习）已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度SKIPIF1<0（℃）与绿豆新品种发芽数SKIPIF1<0（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：(1)由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数.参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.参考公式：相关系数SKIPIF1<0，回归直线方程SKIPIF1<0中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例题2．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）随着人民生活水平的日益提高，汽车普遍进入千家万户，尤其在近几年，新能源汽车涌入市场，越来越受到人们喜爱．某新能源汽车销售企业在2017年至2021年的销售量SKIPIF1<0（单位：万辆）数据如下表：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代号SKIPIF1<012345销售量SKIPIF1<0（万辆）75849398100(1)请用相关系数判断SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的线性相关程度（参考：若SKIPIF1<0，则线性相关程度一般，若SKIPIF1<0，则线性相关程度较高，计算SKIPIF1<0时精确到小数点后两位）；(2)求出SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的线性回归方程，并预计2022年该新能源汽车企业的销售量为多少万辆？参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0附：相关系数SKIPIF1<0，回归直线方程的斜率SKIPIF1<0，截距SKIPIF1<0【提分秘籍】回归直线方程过样本点的中心SKIPIF1<0，是回归直线方程最常用的一个特征；我们将SKIPIF1<0称为SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的SKIPIF1<0，叫做SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小二乘估计,其中SKIPIF1<0称为回归系数，它实际上也就是经验回归直线的斜率，SKIPIF1<0为截距.其中SKIPIF1<0【变式演练】1．（2022·青海西宁·湟川中学校考一模）某电子产品生产商经理从众多平板电脑中随机抽取6台，检测它们充满电后的工作时长（单位：分钟），相关数据如下表所示．平板电脑序号123456工作时长/分220180210220200230(1)从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台，设抽出的2台平板电脑充满电后工作时长小于210分钟的台数为SKIPIF1<0，求随机变量SKIPIF1<0的分布列及数学期望；(2)下表是一台平板电脑的使用次数与当次充满电后工作时长的相关数据．求该平板电脑工作时长SKIPIF1<0与使用次数SKIPIF1<0之间的回归直线方程，并估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长．使用次数SKIPIF1<0/次20406080100120140工作时长SKIPIF1<0/分210206202196191188186附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．2．（2022春·河南·高三信阳高中校联考期末）随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧便携､工作效率高､环保､可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用.在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大.某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对2017~2021年的研发人数作了相关统计，如下图：2017~2021年公司的研发人数情况（年份代码1~5分别对应2017~2021年）(1)根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数SKIPIF1<0与年份代码SKIPIF1<0的相关系数SKIPIF1<0，并由此判断其相关性的强弱；(2)试求出SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数.（结果取整数）参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.参考公式：相关系数SKIPIF1<0.线性回归方程的斜率SKIPIF1<0，截距SKIPIF1<0.附：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0相关性弱一般强题型二：非线性回归【典例分析】例题1．（2022·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考三模）为了构筑“绿色长城”，我国开展广泛的全民义务植树活动，有力推动了生态状况的改善.森林植被状况的改善，不仅美化了家园，减轻了水土流失和风沙对农田的危害，而且还有效提高了森林生态系统的储碳能力.某地区统计了2011年到2020年十年中每年人工植树成活数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，3，…，10）（单位：千棵），用年份代码SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，3，…，10）表示2011年，2012年，2013年，…，2020年，得到下面的散点图：对数据进行回归分析发现，有两个不同的回归模型可以选择，模型一：SKIPIF1<0，模型二；SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是自然对数的底数.(1)根据散点图，判断所给哪个模型更适宜作为每年人工植树成活数SKIPIF1<0与年份代码SKIPIF1<0相关关系的回归分析模型（给出判断即可，不必说明理由）；(2)根据（1）中选定的模型，求出SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程；(3)利用（2）中所求回归方程，预测从哪一年开始每年人工植树成活棵数能够超过5万棵？附：对于一组数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其回归直线SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，3，…，10），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例题2．（2022·安徽·安徽省含山中学校联考三模）2020年新冠肺炎疫情突如其来，在党中央的号召下，应对疫情，我国采取特殊的就业政策、经济政策很好地稳住了经济社会发展大局．在全世界范围内，我国疫情控制效果最好，经济复苏最快．某汽车销售公司2021年经济收入在短期内逐月攀升，该公司在第1月份至6月份的销售收入SKIPIF1<0（单位：百万元）关于月份SKIPIF1<0的数据如表：时间（月份）123456收入（百万元）6.68.616.121.633.041.0根据以上数据绘制散点图，如图所示．(1)根据散点图判断，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为常数）哪一个适宜作为该公司销售收入SKIPIF1<0关于月份SKIPIF1<0的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的结果及表中数据，求出SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程，并预测该公司8月份的销售收入．（结果近似到小数点后第二位）参考数据：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03.5021.152.8517.50125.356.73其中设SKIPIF1<0参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据SKIPIF1<0，其回归直线SKIPIF1<0的解率和截距的最小二乘法估计公式分别为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【提分秘籍】非线性回归最重要的方法就是通过换元，将非线性问题，转化为线性问题求解；换元后注意代入数据不要出错。【变式演练】1．（2022春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额SKIPIF1<0（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x，和年销售额SKIPIF1<0，的数据（SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，12），该团队建立了两个函数模型：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0均为常数，e为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图，令SKIPIF1<0，计算得如下数据：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0206677020014SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0460SKIPIF1<03125000SKIPIF1<021500(1)设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的相关系数为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的相关系数为SKIPIF1<0，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额SKIPIF1<0需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量SKIPIF1<0是多少亿元？附：①相关系数SKIPIF1<0，回归直线SKIPIF1<0中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②参考数据：SKIPIF1<0.2．（2022春·福建三明·高三三明一中校考期中）近年来，美国方面滥用国家力量，不择手段打压中国高科技企业，随着贸易战的不断升级，中国某科技公司为了不让外国“卡脖子”，决定在企业预算中减少宣传广告预算，增加对技术研究和人才培养的投入，下表是的连续7年研发投入x和公司年利润y的观测数据，根据绘制的散点图决定用回归模型：SKIPIF1<0来进行拟合.表I研发投入SKIPIF1<0（亿元）20222527293135年利润SKIPIF1<0（亿元）711212465114325表II（注：表中SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0189567SKIPIF1<016278106SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03040SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)请借助表II中的数据，求出回归模型的方程；（精确到0.01）(2)试求研发投入为20亿元时年利润的残差.参考数据：SKIPIF1<0，附：回归方程中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，残差SKIPIF1<03．（2022·全国·高三专题练习）某生物研究所为研究某种昆虫的产卵数SKIPIF1<0和温度SKIPIF1<0的关系，经过一段时间观察，收集到如下数据：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0产卵数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0以该种昆虫的产卵数SKIPIF1<0和温度SKIPIF1<0为变量，作出如图所示的散点图，现分别用模型①SKIPIF1<0与模型②SKIPIF1<0进行分析．(1)请利用模型②SKIPIF1<0建立两个变量之间的函数关系式（系数保留两位小数）；(2)已知模型①的回归直线方程为SKIPIF1<0，模型②的样本相关系数SKIPIF1<0，请根据相关系数判断哪个模型的拟合效果更好；(3)该种昆虫的防治以喷洒杀虫剂为主，其防治成本SKIPIF1<0与温度SKIPIF1<0和产卵数SKIPIF1<0的关系为SKIPIF1<0，用（2）中得出的拟合效果最好的模型计算，当温度SKIPIF1<0（SKIPIF1<0取整数）为何值时，昆虫的防治成本的预估值最小？附：对于一组数据SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、…、SKIPIF1<0，其回归直线SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估计分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，样本相关系数SKIPIF1<0．参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．题型三：独立性检验【典例分析】例题1．（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）近年来中年人的亚健康问题日趋严重，引起了政府部门和社会各界的高度关切.一研究机构为了解亚健康与锻炼时间的关系，对某地区的中年人随机调查了SKIPIF1<0人，得到如下数据：平均每天锻炼时间不足半小时半小时到SKIPIF1<0小时（含半小时）SKIPIF1<0小时及以上亚健康SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0无亚健康SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)从这些中年人中任选SKIPIF1<0人，记SKIPIF1<0“该中年人亚健康”，SKIPIF1<0“该中年人平均每天锻炼时间不足半小时”，分别求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(2)完成下面的列联表，根据小概率值SKIPIF1<0的独立性检验，能否认为亚健康与锻炼时间有关联？平均每天锻炼时间不足SKIPIF1<0小时SKIPIF1<0小时及以上合计亚健康无亚健康合计附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例题2．（2022春·江苏徐州·高三期末）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，在该批棉花中随机抽取了容量为120的样本，测量每个样本棉花的纤维长度（单位：mm，纤维长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间SKIPIF1<0内，将其按组距为2分组，制作成如图所示的频率分布直方图，其中纤维长度不小于28mm的棉花为优质棉.(1)求频率分布直方图中SKIPIF1<0的值；(2)已知抽取的容量为120的样本棉花产自于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两个试验区，部分数据如下2×2列联表：SKIPIF1<0试验区SKIPIF1<0试验区合计优质棉10非优质棉30合计120将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质棉与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两个试验区有关系；注：①独立性检验的临界值表：SKIPIF1<00.150.100.050.0250.0100.0050.001SKIPIF1<02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.【变式演练】1．（2022·陕西汉中·统考一模）某企业为响应国家在《“十四五”工业绿色发展规划》中提出的“推动绿色发展，促进人与自然和谐共生”的号召，推进产业结构高端化转型，决定开始投入生产某新能源配件.该企业初步用甲､乙两种工艺进行试产，为了解两种工艺生产新能源配件的质量情况，从两种工艺生产的产品中分别随机抽取了SKIPIF1<0件进行质量检测，得到下图所示的频率分布直方图，规定质量等级包含合格和优等两个等级，综合得分在SKIPIF1<0的是合格品，得分在SKIPIF1<0的是优等品.(1)从这100件甲工艺所生产的新能源配件中按质量等级分层抽样抽取5件，再从这5件中随机抽取2件做进一步研究，求恰有1件质量等级为优等品的概率；(2)根据频率分布直方图完成下面的SKIPIF1<0列联表，并判断是否有SKIPIF1<0的把握认为新能源配件的质量等级与生产工艺有关？该企业计划大规模生产这种新能源配件，若你是该企业的决策者，你会如何安排生产，为什么？合格品优等品合计甲生产工艺乙生产工艺总计附：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为SKIPIF1<0，统计得到以下2×2列联表，经过计算可得SKIPIF1<0.男生女生合计了解SKIPIF1<0不了解SKIPIF1<0合计SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；(2)为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取6人，再从这6人中抽取2人进行面对面交流，“至少抽到一名男生”的概率；附表：SKIPIF1<00.100.050.0250.0100.001SKIPIF1<02.7063.8415.0246.63510.828附：SKIPIF1<0题型四：超几何分布【典例分析】例题1．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型.为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到35及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图.其中质量指数值分组区间是：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关；甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等质量非优等合计(2)在摘取的用乙种有机肥料的西红柿中，从“质量优等”中随机选取2个，记区间SKIPIF1<0中含有的个数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列及数学期望.附：SKIPIF1<0.SKIPIF1<00.1000.0500.0100.0050.001SKIPIF1<02.7063.8416.6357.87910.828例题2．（2022春·江苏镇江·高三校考开学考试）为了研究高三年级学生的性别与体重是否超过55kg的关联性，某机构调查了某中学所有高三年级的学生，整理得到如下列联表．性别体重合计超过55kg不超过kg男180120300女90110200合计270230500参考公式和数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)依据小概率值SKIPIF1<0的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联？(2)按性别采用分层随机抽样的方式在该中学高三年级体重超过55kg的学生中抽取9人，再从这9人中任意选取3人，记选中的女生数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列与期望．【提分秘籍】一般地，假设一批产品共有SKIPIF1<0件，其中有SKIPIF1<0件次品，从SKIPIF1<0件产品中随机抽取SKIPIF1<0件(不放回)，用SKIPIF1<0表示抽取的SKIPIF1<0件产品中的次品数，则SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．如果随机变量SKIPIF1<0的分布列具有上式的形式，那么称随机变量SKIPIF1<0服从超几何分布．【变式演练】1．（2022春·江苏苏州·高三苏州中学校联考阶段练习）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有SKIPIF1<0个字脱落．(1)若SKIPIF1<0，用随机变量SKIPIF1<0表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量SKIPIF1<0的分布列及期望；(2)若SKIPIF1<0，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率．2．（2022春·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班SKIPIF1<0名女同学，SKIPIF1<0名男同学中随机抽取一个容量为SKIPIF1<0的样本进行分析．(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）(2)如果随机抽取的SKIPIF1<0名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：学生序号i1234567数学成绩SKIPIF1<060657075858790物理成绩SKIPIF1<070778085908693（i）若规定SKIPIF1<0分以上（包括SKIPIF1<0分）为优秀，从这SKIPIF1<0名同学中抽取SKIPIF1<0名同学，记SKIPIF1<0名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和数学期望；（结果用最简分数表示）（ii）根据上表数据，求物理成绩SKIPIF1<0关于数学成绩SKIPIF1<0的线性回归方程（系数精确到SKIPIF1<0）；若班上某位同学的数学成绩为SKIPIF1<0分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：线性回归方程SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<076838125263．（2022春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）已知某校高三进行第一次摸底考试，从全校选考地理的高三学生中，随机抽取100名学生的地理成绩制成如图所示的频率分布直方图，满分为100分，其中80分及以上为优秀，其他为一般．已知成绩优秀的学生中男生有10名，成绩一般的学生中男生有40名，得到如下的SKIPIF1<0列联表．性别考试成绩合计优秀一般男生1040女生合计(1)根据上述数据，完成上面SKIPIF1<0列联表，并依据小概率值SKIPIF1<0的独立性检验，分析“考试成绩优秀”与“性别”是否有关?(2)从考试成绩在SKIPIF1<0中，利用分层随机抽样抽取7名学生进行学习方法经验介绍，从抽取的学生中，再确定3名学生做学习经验的介绍，则抽取的3名学生中，考试成绩在SKIPIF1<0的学生数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列与数学期望．参考公式：SKIPIF1<0，（其中SKIPIF1<0）SKIPIF1<00.100.050.0100.001SKIPIF1<02.7063.8416.63510.828题型五：二项分布【典例分析】例题1．（2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）2022年，某省启动高考综合改革，改革后，不再分文理科，改为采用是“SKIPIF1<0”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目，某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中SKIPIF1<0组合：物理、化学、生物，SKIPIF1<0组合：历史、政治、地理，SKIPIF1<0组合：物理、化学、地理.根据选课数据得到，选择SKIPIF1<0组合的概率为SKIPIF1<0，选择SKIPIF1<0组合的概率为SKIPIF1<0，选择SKIPIF1<0组合的概率为SKIPIF1<0，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的.(1)求这三位同学恰好有两位同学选择相同组合的概率.(2)记SKIPIF1<0表示这三人中选择含地理的组合的人数，求SKIPIF1<0的分布列及数学期望.例题2．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考期中）伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善.据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一，某市一健身连锁机构对去年的参与了该连锁机构健身的会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有SKIPIF1<0是“年轻人”.(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100人的样本，根据上图的数据，补全下方SKIPIF1<0列联表，并判断依据小概率值SKIPIF1<0的独立性检验，能否认为是否为“健身达人”与年龄有关；类别年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计100临界值表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)将（1）中的频率作为概率，连锁机构随机选取会员进行回访，抽取3人回访.①若选到的3人中2人为“年轻人”，1人为“非年轻人”,再从这3人中随机选取的1人，了解到该会员是“健身达人”，求该人为非年轻人的概率；②设3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和期望值.【提分秘籍】一般地，在SKIPIF1<0重伯努利试验中，设每次试验中事件SKIPIF1<0发生的概率为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，用SKIPIF1<0表示事件SKIPIF1<0发生的次数，则SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.如果随机变量SKIPIF1<0的分布列具有上式的形式，则称随机变量SKIPIF1<0服从二项分布，记作SKIPIF1<0．【变式演练】1．（2022·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）随着人脸识别技术的发展，“刷脸支付”成为了一种便捷的支付方式，但是这种支付方式也带来了一些安全性问题．为了调查不同年龄层的人对“刷脸支付”所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示．年龄SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0频数30751056030持支持态度2466904218(1)完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9％的把握认为年龄与所持态度具有相关性；年龄在50周岁以上（含50周岁）年龄在50周岁以下总计持支持态度不持支持态度总计(2)以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁以上（含50周岁）的人中随机抽取4人，记X为4人中持支持态度的人数，求X的分布列以及数学期望；(3)已知某地区“万嘉”连锁超市在安装了“刷脸支付”仪器后，使用“刷脸支付”的人数y与第x天之间的关系统计如下表所示，且数据的散点图呈现出很强的线性相关的特征，请根据表中的数据用最小二乘法求y与x的回归直线方程SKIPIF1<0．i1234567第SKIPIF1<0天24812222638使用人数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<00.0500.0100.001k3.8416.63510.828参考公式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．2．（2022春·湖南湘潭·高三湘潭一中校考期中）SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月SKIPIF1<0日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区SKIPIF1<0位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.(1)估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）(2)估计奶茶爱好者年龄位于区间SKIPIF1<0的概率；(3)以频率替代概率进行计算，若从该地区所有奶茶爱好者中任选SKIPIF1<0人，求SKIPIF1<0人中年龄在SKIPIF1<0岁以下的人数SKIPIF1<0的分布列和期望.3．（2022春·甘肃兰州·高三兰州西北中学校考期中）为丰富学生的校园生活，提升学生的实践能力和综合素质能力，培养学生的兴趣爱好，某校计划借课后托管服务平台开设书法兴趣班．为了解学生对这个兴趣班的喜欢情况，该校随机抽取了本校100名学生，调查他们对这个兴趣班的喜欢情况，得到数据如下：喜爱不喜爱合计男402060女301040合计7030100以调查得到的男、女学生喜欢书法兴趣班的频率代替概率．(1)从该校随机抽取1名男学生和1名女学生，求这2名学生中恰有1人喜欢书法兴趣班的概率；(2)从该校随机抽取4名女学生，记X为喜欢书法兴趣班的女生人数，求X的分布列与期望．题型六：正态分布【典例分析】例题1．（2022·全国·高三专题练习）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康，经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了SKIPIF1<0年SKIPIF1<0位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计SKIPIF1<0位农民的年平均收入SKIPIF1<0（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入SKIPIF1<0服从正态分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0近似为年平均收入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0近似为样本方差SKIPIF1<0，经计算得SKIPIF1<0，利用该正态分布，求：①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有SKIPIF1<0的农民的年收入不低于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了SKIPIF1<0位农民.若每位农民的年收入互相独立，这SKIPIF1<0位农民中的年收入不少于SKIPIF1<0千元的人数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.附参考数据：①SKIPIF1<0，②若随机变量SKIPIF1<0服从正态分布SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例题2．（2022·全国·高三专题练习）某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和实用的强大功能深得用户喜爱.为回馈市场并扩大用户量，该APP在2022年以竞价形式做出优惠活动，活动规则如下：①每月1到15日，大家可通过官网提交自己的报价（报价低于原价），但在报价时间截止之前无法得知其他人的报价和当月参与活动的总人数；②当月竞价时间截止后的第二天，系统将根据当期优惠名额，按出价从高到低的顺序给相应人员分配优惠名额，获得优惠名额的人的最低出价即为该APP在当月的下载优惠价，出价不低于优惠价的人将获得数额为原价减去优惠价的优惠券，并可在当月下载该APP时使用.小明拟参加2022年7月份的优惠活动，为了预测最低成交价，他根据网站的公告统计了今年2到6月参与活动的人数，如下表所示：时间SKIPIF1<0（月）23456参与活动的人数SKIPIF1<0（万人）0.50.611.41.7(1)若可用线性回归模型拟合参与活动的人数SKIPIF1<0（单位：万人）与时间t（单位：月）之间的关系，请用最小二乘法求SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程SKIPIF1<0，并预测今年7月参与活动的人数；(2)某自媒体对200位拟参加今年7月份活动的人进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：报价SKIPIF1<0（单位：元）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0频数206060302010①求这200人的报价X（单位：元）的平均值SKIPIF1<0和方差SKIPIF1<0（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）；②假设所有参与活动的人的报价X（单位：元）可视为服从正态分布SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可分别由①中所求的样本平均数SKIPIF1<0及SKIPIF1<0估计，若2022年7月计划发放优惠名额数量为3173，请你合理预测该SKIPIF1<0在当月的下载优惠价，并说明理由.参考公式及数据：①回归方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③若随机变量X服从正态分布SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【提分秘籍】正态变量的取值范围是SKIPIF1<0，但在一次试验中，SKIPIF1<0的值几乎总是落在区间SKIPIF1<0内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布SKIPIF1<0的随机变量SKIPIF1<0只取SKIPIF1<0中的值，这在统计学中称为SKIPIF1<0原则.【变式演练】1．（2022春·广东·高三统考阶段练习）某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，把他们的得分（满分100分）分成以下7组：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，统计得各组的频率之比为1∶6：8：10：9：4：2．同一组数据用该区间中点值代替．(1)求这1000名幸运者成绩的第75百分位数和平均值SKIPIF1<0（结果保留整数）﹔(2)若此次知识竞赛得分SKIPIF1<0，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分不超过93分的可获得2次抽奖机会，超过93分的有3次抽奖机会，试估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望．参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．2．（2022·全国·高三专题练习）我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为SKIPIF1<0（单位：nm）.(1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个.现从这7个零件中随机抽取3个.记SKIPIF1<0表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求SKIPIF1<0的分布列及数学期望SKIPIF1<0；(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为SKIPIF1<0，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数SKIPIF1<0超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及SKIPIF1<0的方差；(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径SKIPIF1<0，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率.参考数据：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.3．（2022·全国·高三专题练习）盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：SKIPIF1<0）进行测定，认为密度不小于SKIPIF1<0的种子为优种，小于SKIPIF1<0的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.(1)若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(2)在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为SKIPIF1<0，求随机变量SKIPIF1<0的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）；(3)若该品种种子的密度SKIPIF1<0，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.题型七：概率综合【典例分析】例题1．（2022·全国·高三专题练习）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．该平台首次实现了“有组织，有管理，有指导，有服务”的学习，极大地满足了广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP．某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取1000人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．(1)估计该市市民每周利用“学习强国”时长在区间SKIPIF1<0内的概率；(2)估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长；(3)若宣传部为了解市民每周利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从SKIPIF1<0和SKIPIF1<0组中抽取7人了解情况，从这7人中随机选取2人参加座谈会，求所选取的2人来自不同的组的概率．例题2．（2022·全国·高三专题练习）《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，根据宪法制定的法律.某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛.竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响.若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，则在第一轮竞赛中，求该组获“优秀小组”的概率；(2)当SKIPIF1<0时，求该组在每轮竞赛中获得“优秀小组”的概率的最大值.【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局.(1)求甲获胜的概率.(2)现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜.请问：这个规则公平吗，为什么？2．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）设随机变量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．某工厂对一批零件进行抽样检测，根据经验可知每个零件是次品的概率均为SKIPIF1<0．(1)若从这批零件中抽取2个进行检测，求其中次品数SKIPIF1<0的分布列及数学期望；(2)现对这批零件抽取100个进行检测，若其中次品数多于3个，则这批零件为不合格产品．估算这批零件为不合格产品的概率（精确到SKIPIF1<0．3．（2022春·湖北·高三校联考阶段练习）某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.题型八：概率统计与数列【典例分析】例题1．（2022·全国·高三专题练习）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．（1）当进行完3轮游戏时，总分为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的期望；（2）若累计得分为SKIPIF1<0的概率为SKIPIF1<0，（初始得分为0分，SKIPIF1<0）．①证明数列SKIPIF1<0，（i＝1，2，…，19）是等比数列；②求活动参与者得到纪念品的概率．例题2．（2022·全国·高三专题练习）为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得SKIPIF1<0分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为SKIPIF1<0，乙每次踢球命中的概率为SKIPIF1<0，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲的得分为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的数学期望；（2）若经过SKIPIF1<0轮踢球，用SKIPIF1<0表示经过第SKIPIF1<0轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．①求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②规定SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，请根据①中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，并求出数列SKIPIF1<0的通项公式．【提分秘籍】借助数列的地推关系式，求出概率或统计量之间的关系，这是高考的重要考点，递推关系作为重要的工具，为解决概率统计中的问题提供了便利.【变式演练】1．（2022·全国·模拟预测）某学校开展投篮活动，活动规则是：每名选手投篮SKIPIF1<0次（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），每次投篮，若投进，则下一次站在三分线处投篮；若没有投进，则下一次站在两分线处投篮．规定每名选手第一次站在两分线处投篮．站在两分线处投进得2分，否则得0分；站在三分线处投进得3分，否则得0分．已知小明站在两分线处投篮投进的概率为0.7，站在三分线处投篮投进的概率为0.5，且每次投篮相互独立．(1)记小明前2次投篮累计得分为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和数学期望；(2)记第SKIPIF1<0次投篮时，小明站在三分线处投篮的概率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，…，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的表达式．2．（2022·江苏连云港·江苏省赣榆高级中学校考模拟预测）某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）次抽奖，每次中奖的概率为SKIPIF1<0，不中奖的概率为SKIPIF1<0，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个；方案①：若中奖则得30分，否则得0分；方案②：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分．第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束．(1)如果SKIPIF1<0，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由；(2)记顾客甲第i次获得的分数为SKIPIF1<0，并且选择方案②．请直接写出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的递推关系式，并求SKIPIF1<0的值．（精确到0.1，参考数据：SKIPIF1<0．）3．（2022·全国·高三专题练习）安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐