新高考数学二轮复习 小题综合练专题07 球体（解析版）

专题07球体小题综合一、单选题1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）表面积为SKIPIF1<0的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出圆锥内切球的半径，设圆锥顶点为SKIPIF1<0，底面圆周上一点为SKIPIF1<0，底面圆心为SKIPIF1<0，内切球球心为SKIPIF1<0，内切球切母线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，底面半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，再换元利用基本不等式求出函数的最小值得解.【详解】设圆锥的内切球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设圆锥顶点为SKIPIF1<0，底面圆周上一点为SKIPIF1<0，底面圆心为SKIPIF1<0，内切球球心为SKIPIF1<0，轴截面如下图示，内切球切母线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，底面半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故该圆锥的表面积SKIPIF1<0为，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（当且仅当SKIPIF1<0时等号成立）所以该圆锥的表面积的最小值为SKIPIF1<0.故选：B

2．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在半径为SKIPIF1<0的实心球SKIPIF1<0中挖掉一个圆柱，再将该圆柱重新熔成一个球SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由已知求出球的半径，设圆柱的底面半径为SKIPIF1<0，则高为SKIPIF1<0，写出圆柱的体积，利用基本不等式求最值，即可得到满足条件的SKIPIF1<0值,结合球的体积以及表面积公式即可求解.【详解】由球的半径为SKIPIF1<0，如图，设圆柱的底面半径为SKIPIF1<0，则高为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，上式取等号,此时圆柱的体积为SKIPIF1<0，（或者令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，故当SKIPIF1<0取最大值4，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最大值4）要使熔成一个球SKIPIF1<0的表面积最大，则半径最大，则体积最大即可,因此熔成的球SKIPIF1<0的体积也是SKIPIF1<0，故球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0,所以球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0故选：D．3．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0折起，当四面体SKIPIF1<0体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】当平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，四面体SKIPIF1<0的高最大，并利用导函数讨论体积的最大值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解.【详解】不妨设菱形的边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，外接球半径为SKIPIF1<0，内切球半径为SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，此时四面体SKIPIF1<0的高最大为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0单调递减，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0最大，最大体积为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，以四面体的顶点构造长方体，长宽高为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以外接球的表面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以内切球的表面积为SKIPIF1<0，所以内切球和外接球表面积之比为SKIPIF1<0，故选:C.4．（2023·浙江·统考一模）已知体积为SKIPIF1<0的四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，其外接球半径的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】将四面体ABCD补形为长方体SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，确定四面体ABCD的外接球的球心及半径，结合数量积的性质求外接球半径的最小值.【详解】将四面体补成长方体SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0为四面体SKIPIF1<0的外接球的球心，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为四面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时取到最值．故选：B.5．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）马剑馒头在我市很有名，吃起来松软有韧劲，特别受欢迎.某马剑镇馒头商家为了将马剑馒头销往全国，学习了“小罐茶”的销售经验，决定走少而精的售卖方式，争取让马剑馒头走上高端路线，定制了如图所示由底面圆半径为SKIPIF1<0的圆柱体和球冠（球的一部分，球心与圆柱底面圆心重合）组成的单独包装盒（包装盒总高度为5cm），请你帮忙计算包装盒的表面积（

）（单位：平方厘米，球冠的表面积公式为SKIPIF1<0，其中R为球冠对应球体的半径，h为球冠的高）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】求出球冠的高，可得圆柱的高，根据圆柱的侧面积公式以及底面圆面积以及球冠的面积公式即可求得答案.【详解】如图，由题意知包装盒总高度为SKIPIF1<0，即球冠所在球的半径为SKIPIF1<0，圆柱底面圆的半径为SKIPIF1<0，设球冠的高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故圆柱高为SKIPIF1<0，故包装盒的表面积为SKIPIF1<0，故选：D6．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，外接球面积为9π，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则直线AB，AP所成角的最小正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】直线AB，AP所成角的最小正弦值即AP与平面SKIPIF1<0所成角的最小正弦值，由外接球面积公式可求出外接球的半径，再由三棱锥SKIPIF1<0的体积公式可求出三棱锥SKIPIF1<0的高，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，求解即可.【详解】直线AB，AP所成角的最小正弦值即AP与平面SKIPIF1<0所成角的最小正弦值，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为外接球面积为9π，设外接球的半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0是球心，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的投影，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：A.7．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术･商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑，”阳马，是底面为长方形或正方形，有一条侧棱垂直底面的四棱锥.在SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0为正方形的阳马中，若SKIPIF1<0，则（

）A．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0B．异面直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0C．四棱锥SKIPIF1<0的体积为1D．直线SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0【答案】B【分析】把阳马补形成正方体，求出异面直线夹角判断A；求出线面距离判断B；求出四棱锥体积判断C；求出线面角的余弦判断D作答.【详解】由SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为正方形，而SKIPIF1<0，则阳马可补形成正方体SKIPIF1<0，如图，

对于A，由SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，A错误；对于B，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而异面直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的距离等于直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的距离，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，B正确；对于C，四棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0，C错误；对于D，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的角，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，D错误.故选：B8．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为两个全等的等腰梯形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则此刍甍体积的最大值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】在SKIPIF1<0上取两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，将刍甍分为两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，进而表示体积为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用导数分析单调性，进而求解最大值即可求解.【详解】在SKIPIF1<0上取两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0和SKIPIF1<0体积相同，取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0中心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，

根据题意可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，则等腰梯形SKIPIF1<0的高为SKIPIF1<0，所以刍甍的体积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.9．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为SKIPIF1<0，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的表面积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】作出表面积最大时的剖面图，分析出此时圆与上底，两腰相切，建立合适直角坐标系，设圆心坐标为SKIPIF1<0，利用圆心到腰所在直线等于半径列出方程，解出即可.【详解】表面积最大时，沿上下底面直径所在平面作出剖面图如图所示，显然此时圆SKIPIF1<0与等腰梯形SKIPIF1<0的上底以及两腰相切，则建立如图所示直角坐标系，由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0所在直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，表面积最大时球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离等于半径SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故选：SKIPIF1<0.10．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图1，直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折（如图2），记四面体SKIPIF1<0的外接球为球SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为球心）.SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0上一动点，当直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角最大时，四面体SKIPIF1<0体积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】首先得到球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中点，然后当SKIPIF1<0与球SKIPIF1<0相切时直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的最大，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂足为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时四面体SKIPIF1<0体积取得最大值，即可求出答案.【详解】由题意可知，SKIPIF1<0均为等腰直角三角形，所以四面体SKIPIF1<0的外接球的球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0上的动点，若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的最大，则SKIPIF1<0与球SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0最大，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆上运动.所以当SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时四面体SKIPIF1<0的体积取得最大值.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D.11．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知直角梯形SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上.将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折成锐二面角SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0均在球SKIPIF1<0的表面上，当直线SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0时，球SKIPIF1<0的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由题设知SKIPIF1<0共圆，并确定外接圆圆心SKIPIF1<0位置，由已知求得SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，进而有面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，确定△SKIPIF1<0的形状，找到外接圆圆心，利用几何关系求外接球半径，进而求表面积.【详解】由题设知：SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0均在球SKIPIF1<0的表面上，则SKIPIF1<0共圆，由直角梯形SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在绕SKIPIF1<0旋转过程中SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折成锐二面角SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，综上，△SKIPIF1<0、△SKIPIF1<0都是以SKIPIF1<0为斜边的直角三角形，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易知：△SKIPIF1<0为等边三角形，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，同时△SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外接圆圆心，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，且△SKIPIF1<0为等边三角形，球心SKIPIF1<0是过SKIPIF1<0并垂直于面SKIPIF1<0的直线与过△SKIPIF1<0外接圆圆心垂直于面SKIPIF1<0的直线交点，若球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以球的表面积SKIPIF1<0.故选：D【点睛】关键点点睛：确定SKIPIF1<0共圆、面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0为关键，利用几何关系求外接球半径.12．（2023·浙江杭州·统考一模）空间中四个点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球体积最大为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先求SKIPIF1<0的外接圆的半径，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在一直线上时，三棱锥SKIPIF1<0的外接球体积最大，求解即可．【详解】设SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的外接圆的圆心，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是正三角形，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心SKIPIF1<0在过SKIPIF1<0且与平面SKIPIF1<0垂直的直线SKIPIF1<0上，由题意可得SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆，当球心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离最大时，三棱锥SKIPIF1<0的外接球体积最大，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0SKIPIF1<0延长线上时，三棱锥SKIPIF1<0的外接球体积最大，设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0的外接球体积最大为SKIPIF1<0.故选：C．13．（2023·浙江金华·模拟预测）三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先将三棱锥SKIPIF1<0画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，由题目条件分析出点P的轨迹方程，再有三棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，找到球心SKIPIF1<0满足的条件，再求出其最值，从而找到半径的最小值，解决问题.【详解】如图，将三棱锥SKIPIF1<0画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，可知P点在面SKIPIF1<0上，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为直角三角形，故SKIPIF1<0，即P点轨迹为以D为圆心，半径为4，在SKIPIF1<0上的圆，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0

—①，因为SKIPIF1<0为等腰直角三角形，所以三棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，设点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0—②，联立①②得：SKIPIF1<0，设过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的直线斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由直线与圆相切，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C14．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图，平面四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正三角形，以AC为折痕将SKIPIF1<0折起，使D点达到P点位置，且二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，当三棱锥SKIPIF1<0的体积取得最大值，且最大值为SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的补角，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，根据二面角SKIPIF1<0的余弦值可求得SKIPIF1<0，再根据三棱锥SKIPIF1<0的体积取得最大值结合基本不等式求出SKIPIF1<0，再利用勾股定理求出三棱锥SKIPIF1<0外接球的半径，根据球的体积公式即可得解.【详解】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的补角，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得当SKIPIF1<0取得最大值时，三棱锥SKIPIF1<0的体积取得最大值，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取等号，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的半径SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0外接球的体积为SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.15．（2023·浙江·统考二模）已知等腰直角SKIPIF1<0的斜边SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0上的动点，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.若点SKIPIF1<0均在球SKIPIF1<0的球面上，则球SKIPIF1<0表面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由题设SKIPIF1<0共圆（SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0重合），进而确定SKIPIF1<0，找到△SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0外接圆圆心，由棱锥外接球、面面垂直的性质确定球心位置，设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求外接球半径最小值，即可得结果.【详解】由点SKIPIF1<0均在球SKIPIF1<0的球面上，且SKIPIF1<0共圆（SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0重合），所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0重合），又SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0为斜边，即有SKIPIF1<0，如上图，△SKIPIF1<0、△SKIPIF1<0、△SKIPIF1<0都为直角三角形，且SKIPIF1<0，由平面图到立体图知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0翻折后，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0分别为△SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0外接圆圆心，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，它们交于SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0外接球球心，如下图示，再过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为矩形，综上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0半径SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故球SKIPIF1<0表面积的最小值为SKIPIF1<0.故选：D16．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，若将SKIPIF1<0沿着直线SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0，使得四面体SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定SKIPIF1<0为等边三角形，利用正弦定理可确定SKIPIF1<0外接圆半径，由此可知SKIPIF1<0外接圆圆心SKIPIF1<0即为四面体SKIPIF1<0外接球球心，由球的性质可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0可求得点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离，由此可求得线面角的正弦值.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为等边三角形，设SKIPIF1<0的外接圆圆心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的外接圆圆心为SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0外接圆半径为SKIPIF1<0，又四面体SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为四面体SKIPIF1<0外接球的球心，由球的性质可知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为边长为SKIPIF1<0的等边三角形，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】关键点点睛；本题考查几何体的外接球、线面角问题的求解；本题求解线面角的关键是能够确定外接球球心的位置，结合球的性质，利用体积桥的方式构造方程求得点到面的距离，进而得到线面角的正弦值.17．（2023·浙江·校联考二模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有鳖臑SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，过A作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记四面体SKIPIF1<0，四棱锥SKIPIF1<0，鳖臑SKIPIF1<0的外接球体积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，V，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】记四面体SKIPIF1<0，四棱锥SKIPIF1<0，鳖臑SKIPIF1<0的外接球半径分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，先证明SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，再构造函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，再利用导函数分析函数的单调性，进而即可求得其值域．【详解】记四面体SKIPIF1<0，四棱锥SKIPIF1<0，鳖臑SKIPIF1<0的外接球半径分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0