新高考数学二轮复习06选填题之三角函数（解析版）

高中数学二轮复习讲义——选填题部分第6讲三角函数单独考查三角变换的题目较少，往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，应用三角恒等变换进行化简，综合性比较强，但难度不大．也可能与三角函数等其他知识相结合．三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下．题型一、三角恒等变换考点1.同角之间的关系、诱导公式1．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若它的终边经过点P（2，1），则tan(2α+πA．﹣7 B．−17 C．1【解答】解：根据题意，tanα=1∴tan2α=2tanα∴tan(2α+π故选：A．2．已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝−12【解答】解：sinα+cosβ＝1，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β＝1，①，cosα+sinβ＝0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β＝0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin（α+β）＝1，∴2sin（α+β）＝﹣1．∴sin（α+β）=−1故答案为：−13．若tanα=34，则cos2α+2sin2A．6425 B．4825 C．1 【解答】解：∵tanα=3∴cos2α+2sin2α=cos故选：A．4．已知θ是第四象限角，且sin（θ+π4）=35，则tan（θ−π【解答】解：∵θ是第四象限角，∴−π2+2kπ＜θ＜2kπ又sin（θ+π4）∴cos（θ+π4）∴cos（π4−θ）＝sin（θ+π4）=35，sin（π则tan（θ−π4）＝﹣tan（π4故答案为：−4考点2.两角和与差角公式、二倍角公式、辅助角公式1．已知向量a→=（1，sinα），b→=（2，cosα），且a→∥b【解答】解：∵a→∥b→，∴2sinα﹣cosα＝0，即cosα＝2sin则sinα+2cosαcosα−3sinα2．已知sinx﹣siny=−23，cosx﹣cosy=23且x，y为锐角，则tan（x﹣y）＝【解答】解：∵sinx﹣siny=−23，cosx﹣cosy两式平方相加得：cos（x﹣y）=5∵x、y为锐角，sinx﹣siny＜0，∴x＜y，∴sin（x﹣y）=−1∴tan（x﹣y）=sin(x−y)故答案为：−23．已知sinθ+sin（θ+π3）＝1，则sin（θA．12 B．33 C．23【解答】解：∵sinθ+sin（θ+π∴sinθ+12sinθ+3即32sinθ+32得3（12cosθ+32即3sin（θ+π得sin（θ+π6故选：B．4．已知α∈（π2，π），并且sinα+2cosα=25，则tan（A．−1731 B．−3117 C．−【解答】解：由sinα+2cosα=25，得sin2α+4sinαcosα+4cos2α所以（1﹣cos2α）+4sinαcosα+4（1﹣sin2α）=4整理得cos2α﹣4sinαcosα+4sin2α=121所以（cosα﹣2sinα）2=121因为α∈（π2，π），所以sinα＞0所以cosα﹣2sinα=−115，又sinα+2cosα则sinα+2cosαcosα−2sinα=−2解得tanα=−24所以tan（α+π4）故选：A．5．若α，β∈(0，π2)，cos(α−β2)=3A．−32 B．−12 C．【解答】解：由α，β∈(0，π则α−β2∈(−又cos(α−β2)=所以α−β2解得α=β=π3，所以cos（α+β）故选：B．6．已知tan（α﹣β）=12，tanβ=−17，且α，β∈（0，πA．π4 B．πC．−3π4 【解答】∵tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ=即tanα=∵α，β∈（0，π）且tanπ4=1，tan∴α∈（0，π4），β∈（3π4，即2α﹣β∈（﹣π，−π∴tan（2α﹣β）=tanα+tan(α−β)即2α﹣β=−故选：C．7．已知α∈(0，π2)，2sin2α﹣cos2A．15 B．55 C．35【解答】解：因为2sin2α﹣cos2α＝1，所以4sinαcosα﹣2cos2α+1＝1，即2sinαcosα＝cos2α，因为α∈(0，π2可得sinα=12cos所以sin2α+cos2α=14cos2α+cos2α＝1，可得cos2α=45故选：D．8．若α∈（0，π），且sinα﹣2cosα＝2，则tanα2A．3 B．2 C．12 D．【解答】解：∵sinα﹣2cosα＝2，∴sinα＝2+2cosα，则2sinα又α∈（0，π），∴cosα2≠0，则tan故选：B．考点3.三角恒等变换综合1．若sinβ＝3sin（2α﹣β），则2tan（α﹣β）+tanα的值为0．【解答】解：∵sinβ＝3sin（2α﹣β），∴sin[α﹣（α﹣β）]＝3sin[（α﹣β）+α]，∴sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）＝3sin（α﹣β）cosα+3cos（α﹣β）sinα，∴﹣2sinαcos（α﹣β）＝4cosαsin（α﹣β），即tanα＝﹣2tan（α﹣β），∴2tan（α﹣β）+tanα＝0，故答案为：0．2．已知2+5cos2α＝cosα，cos（{2α+β}）=45，α∈（0，π2），β∈（3π2，2A．−45 B．44125 C．−【解答】解：因为2+5cos2α＝2+5（2cos2α﹣1）＝cosα，整理可得：10cos2α﹣cosα﹣3＝0，解得cosα=35，或又因为α∈(0，所以cosα=35，可得sinα∴π4＜α可得cos2α＝2cos2α﹣1=−725，sin2α＝2sinαcosα因为cos(2α+β)=45所以2α+β∈（2π，2π+2π故sin（2α+β）=3所以cosβ＝cos[（2α+β）﹣2α]＝cos（2α+β）cos2α+sin（2α+β）sin2α=45×（−故选：B．3．若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：SKIPIF1<0,即：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取SKIPIF1<0，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取βSKIPIF1<0，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：C.4．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D.5．已SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0平方得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选:D.6．已知角SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.故选：C.题型二、三角函数的图像考点1.伸缩变换1．要得到函数y＝3sin（2x+π3）的图象，只需要将函数y＝3cos2A．向右平行移动π12个单位B．向左平行移动π12个单位C．向右平行移动π6个单位D．向左平行移动π6【解答】解：函数y＝3sin（2x+π3）＝3cos[π2−（2x+π3）]＝3cos（π6−2故把函数y＝3cos2x的图象向右平行移动π12个单位，可得函数y＝3sin（2x+故选：A．2．已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin（2x+2πA．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线CD．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线【解答】解：曲线C2：y＝sin（2x+2π3）＝cos（2x把C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y＝cos2x再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，可以得到曲线C2：y＝cos（2x+π6）＝sin（2故选：D．3．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f（x）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（π4）=2，则f（A．﹣2 B．−2 C．2 【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，∵f（x）的最小正周期为π，∴2πω=π，得则f（x）＝Asin2x，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．则g（x）＝Asinx，若g（π4）=2，则g（π4）＝Asinπ4=则f（x）＝Asin2x，则f（3π8）＝2sin（2×3π8=2sin故选：C．4．函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移π2个单位后，与函数y＝sin（2x+π3）的图象重合，则φ＝【解答】解：函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移π2y＝cos[2（x−π2）+φ]＝cos（2x+φ﹣而函数y＝sin（2x+π3）由函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移π2个单位后，与函数y＝sin（2x+2x+φ﹣π=2x+π3−π符合﹣π≤φ＜π．故答案为5π65．若y＝|3sin（ωx+π12）+2|的图象向右平移π6个单位后与自身重合，且y＝tanωx的一个对称中心为（π48，0），则【解答】解：∵y＝|3sin（ωx+π12）+2|的图象向右平移∴π6=k•2πω，k则ω＝12k，k∈N，①∵y＝tanx的对称中心为（kπ2∴y＝tanωx（ω∈N*）的对称中心是（kπ2ω又（π48，0）是函数y＝tanωx（ω∈N*∴kπ2ω=π48（∴ω＝24k，k∈N，②由①②知，ω的最小正值为24．故答案是：24．6．将函数f（x）＝3sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝6的x1，x2，有|x1﹣x2|min=πA．5π12 B．π3 C．π4【解答】解：由于函数f（x）＝3sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g（x）＝3sin（2x﹣2所以|f（x1）﹣g（x2）|＝3|sin2x1﹣sin（2x2﹣2φ）|＝6，由于﹣1≤sin2x1≤1，﹣1≤sin（2x2﹣2φ）≤1．所以sin2x1和sin（2x2﹣2φ）的值中，一个为1，一个为﹣1．不妨设sin2x1＝1，sin（2x2﹣2ϕ）＝﹣1，则2x1=2k1π+π2，2x2﹣2φ=2k所以2x1﹣2x2+2φ＝2（k1﹣k2）π+π（k1﹣k2∈Z），得到：|x由于0＜φ＜π2，所以故当k1﹣k2＝0时，|x1−x故选：B．考点2.求解析式1．图是函数y＝Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将yA．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12B．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12D．向左平移π6【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y＝sin（2x+φ）．代入（−π6，0）可得φ的一个值为故图象中函数的一个表达式是y＝sin（2x+π即y＝sin2（x+π所以只需将y＝sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1故选：A．2．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，若f(α)=3A．−34 B．−18 C．【解答】解：由题设图象知，A＝2，周期T＝4（7π6−2π∴ω=2π∵点（2π3∴2sin（2π3+φ）＝2，即sin（2π又∵−π2＜∴从而2π3+φ=π2故函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x−π由f(α)=32，可得f（α）＝2sin（α−π6）=32那么sin(2α+π6)=cos（π2−2α−π6）＝cos（2α−π3）＝1故选：B．3．已知函数f(x)=Asin(π3x+ϕ)，x∈R，A＞0，0＜ϕ＜π2．y＝f（x）的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，PR垂直x轴于点R，R的坐标为（1，0），若∠A．12 B．32 C．34【解答】解：由题意得，函数f（x）的最小正周期T=2π由R的坐标为（1，0），点P的坐标为（1，A），设点Q的坐标为（4，﹣A），过点Q做x轴的垂线，设垂足为M，则RM＝3，∵∠PRQ=2π3，∴∠MRQ∴|MQ|＝A＝3×tanπ6由题意得，T=2π∵P（1，A）在函数f（x）＝Asin（π3x+Φ∴sin（π3+又∵0＜Φ＜π∴Φ=π∴f（x）=3sin（π3x+π6），f（0）故选：B．4．已知函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g（x）＝Acos（ωx+φ）（x∈A．函数g（x）的图象关于点（π4，0B．函数g（x）在[−π8C．函数g（x）的图象关于直线x=π8D．函数h（x）＝cos2x的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g（x【解答】解：根据函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π最小正周期为T＝2×（3π8−π8）=π又ω•π8+φ=π2+kπ，k∈Z，φ=π4∴φ=π4，∴f（0）＝Atanπ∴函数g（x）＝cos（2x+πx=π4时，g（π4）＝cos（πg（x）的图象不关于点（π4，0）对称，x∈[−π8，3π8]时，2x+πg（x）在[−π8，x=π8时，g（π8g（x）的图象不关于直线x=π8对称，h（x）＝cos2x的图象上所有点向左平移π4得h（x+π4）＝cos2（x+π4不是函数g（x）的图象，D错误．故选：B．题型三、三角函数的最值、取值范围1．函数f（x）=15sin（x+π3）+cos（A．65 B．1 C．35 【解答】解：函数f（x）=15sin（x+π3）+cos（x−π6）=15sin（x+π3）+cos（﹣x=65sin（x+π故选：A．2．已知函数f（x）＝2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是−33【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cosx+2cos2x＝2cosx+2（2cos2x﹣1）＝2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）＝0可解得cosx=12或cosx＝可得此时x=π3，π或∴y＝2sinx+sin2x的最小值只能在点x=π3，π或5π3计算可得f（π3）=332，f（π）＝0，f（5π3∴函数的最小值为−3故答案为：−33．已知函数f（x）＝2sin2（π4+x）−3cos2x，x∈[π4，π2]．若不等式|f（x）﹣m|＜2在x∈[π4，π2【解答】解：已知函数f(x)=2∵x∈[π4，π∴sin(2x−π∴f(x)min=2×12+1=2，f∵不等式|f（x）﹣m|＜2在x∈[π4，π2]上恒成立，∴﹣2＜f（x即f（x）﹣2＜m＜f（x）+2在x∈[π因为f（x）在[π∴1＜m＜4．4．已知函数SKIPIF1<0，下列说法错误的是（

）A．SKIPIF1<0是偶函数 B．SKIPIF1<0是周期为π的函数C．SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减 D．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0【详解】对选项A，SKIPIF1<0，定义域为R，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为偶函数，故A正确.对选项B，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，故B正确.对选项C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，故C正确.对选项D，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0是周期为π的函数，所以SKIPIF1<0，故D错误.故选：D题型四、三角函数的性质考点1.三角函数的单调性1．函数y=sin(−2x+π3)的单调递减区间为[kπ−π12，kπ+5π【解答】解：由于函数y=sin(−2x+π3)=−sin（2x−π3），本题即求函数令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈z，可得k故函数y=sin(−2x+π3)的单调递减区间为[kπ−π12故答案为[kπ−π12，kπ+5π12]，2．已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx+π4）在区间（π2，πA．[12，54] B．【解答】解：法一：令：ω=2⇒(ωx+π4)∈[ω=1⇒(ωx+π4)∈[3π4法二：ω(π−π2得：π2故选：A．3．已知函数f（x）＝4sinωx2•cosωx2（ω＞0）在区间[−π2，A．（0，1] B．（0，34] C．[12，34【解答】解：函数f（x）＝4sinωx2•cosωx2=2sinωx则f（x）在[−π2ω，又f（x）在[−π2，则[−π2ω，π2ω]⊇[−得不等式组−π又ω＞0，∴解得0＜ω≤3又函数f（x）在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知ωx＝2kπ+π2，k∈即函数在x=2kπω+π∴ω≥1综上所述，可得ω∈[12，3故选：C．考点2.三角函数的奇偶性1．已知f（x）＝sin（x+φ）+cos（x+φ）为奇函数，则φ的一个取值是（）A．π2 B．−π2 C．π【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）＝0，即f（0）＝sinφ+cosφ＝0，得sinφ＝﹣cosφ，即tanφ＝﹣1，即φ=−π4+kπ，k则当k＝0时，φ=−π故选：D．2．已知f（x）＝3sin2x+acos2x，其中a为常数．f（x）的图象关于直线x=π6对称，则f（A．[−35π，−16π] B．[−712π，−13π] C．[−16【解答】解：由题意知：y＝3sin2x+acos2x=9+a2sin（2x当x=π6时函数y＝3sin2x+acos2x取到最值±将x=π6代入可得：3sin（2×π6）+acos（2×π解得：a=3故f（x）＝3sin2x+3cos2x＝23sin（2x+由于[−712π，−13π]∈[−5π6，−π故选：B．3．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为π2【解答】解：∵f（x）＝sinωx+cosωx=2sin（ωx+∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπ−π2≤ωx+π4≤2kπ+π2，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[∴可得：﹣ω≥2kπ−3π4ω①，ω≤2kπ+π∴解得：0＜ω2≤3π4−2kπ且0＜ω2≤2kπ+π4解得：−18＜k＜38∴可解得：k＝0，又∵由ωx+π4=kπ+π2，可解得函数f（x）的对称轴为：x=∴由函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ω对称，可得：ω2=π4，可解得：ω故答案为：π2考点3.三角函数的周期性与对称性1．已知函数f（x）＝sin（ωx+π4）（ω＞0）在（π12，π3）上有最大值，但没有最小值，则ω【解答】解：要求函数f（x）＝sin（ωx+π4）（ω＞0）在（π12所以π3−π12＜T且存在k∈Z，使得−π2+2kπ＜ω•π12+π4＜π2+因为0＜ω＜8，所以π2所以−18＜k＜所以−π2＜ω•π12由−π2＜ω•π12+由π2＜ω•π3+π所以34＜故答案为（342．已知函数f（x）＝2sin（ωx+π4）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则A．[19π4，27π4） B．[9π2，13π2） C．[17π4，25π4）【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+π4）（∵x∈[0，1]上，∴ωx+π4∈[π4图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴9π2解得：17π4故选：C．3．设函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f（π2）＝f（2π3）＝﹣f（π6），则f（x【解答】解：由f（π2）＝f（2π3），可知函数f（x）的一条对称轴为x则x=π2离最近对称轴距离为又f（π2）＝﹣f（π6），则f（x）有对称中心（由于f（x）在区间[π6，π则π2−π6≤12T⇒T≥故答案为：π．4．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，x=−π4为y＝f（x）图象的对称轴，x=π4为f（x）的零点，且fA．13 B．12 C．9 D．5【解答】解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，x=−π4为y＝f（x）图象的对称轴，x=f（x）在区间(π12，π6)上单调，∴周期T≥2×（π6−π∵x=−π4为y＝f（x）图象的对称轴，x=π4为f（x）的零点，∴2n+14•2πω=π2，当ω＝11时，由题意可得π4×11+φ＝kπ，φ=π4，函数为y＝f（x在区间(π12，π6)上，11x+π4∈（7π6，25π12），当ω＝9时，由题意可得π4×9+φ＝kπ，φ=−π4，函数为y＝f（x在区间(π12，π6)上，9x−π4∈（π2则ω的最大值为9，故选：C．5．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f（x）的零点：且f（x）≤|f（π4）|恒成立，f（xA．11 B．13 C．15 D．17【解答】解：由题意知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤πx=π4为y＝f（x）图象的对称轴，x=−π4为∴2n−14•2πω=π2，n∈N*，∴ω＝2nf（x）在区间（−π12，∴周期T≥（π24+π12）=π8，即∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω＝15，当ω＝15时，由题意可得−π4×15+φ＝kπ，φ=−π4，函数为y＝f（在区间（−π12，π24）上，15x−π4∈此时f（x）在15x−π4=−π则ω的最大值为15，故选：C．6．已知ω＞0，函数f（x）＝acos2ωx﹣4cosωx+3a，若对任意给定的a∈[﹣1，1]，总存在x1，x2∈[0，π2]（x1≠x2），使得f（x1）＝f（x2）＝0，则ωA．2 B．4 C．5 D．6【解答】解：由f（x）＝acos2ωx﹣4cosωx+3a＝2acos2ωx﹣4cosωx+2a．令cosωx＝t，a∈[﹣1，1]，令f（x）＝0，可得：2a=4tt2+1∴t∈[﹣1，1]即cosωx∈[﹣1，1]上有两个解．那么x1，x2∈[0，π2]（x1≠x2∴π∴ω≥6故选：D．题型五、三角函数的零点1．已知函数f（x）=3sinωxcosωx+cos2ωx−12，（ω＞0，x∈R），若函数f（x）在区间（πA．（0，512] B．（0，512]∪[5C．（0，58] D．（0，56]∪[【解答】解：函数f（x）=3sinωcosωx+cos2ωx−函数f（x）在区间（π2所以：f(π即：sin(πω+π所以：①sin(πω+π解得：ω∈(0，5②sin(πω+π解得：ω∈[56综上所述：ω∈（0，512]∪[5故选：B．2．已知函数f（x）＝2sin（ωx−π6）sin（ωx+π3）（ω＞0），若函数g（x）＝f（x）+3A．[2，113） B．（2，113） C．[73，10【解答】解：f（x）＝2sin（ωx−π6）sin（ωx+π3）＝2sin（ωx−π＝﹣2cos（ωx+π3）sin（ωx+π3）＝﹣sin（2由g（x）＝f（x）+32=0得f（x即﹣sin（2ωx+2π3）得sin（2ωx+2π3）∵0≤x≤π∴0≤2ωx≤πω，则2π3≤2ωx+2π∵sin2π3∴要使sin（2ωx+2π3）=32，在0∴2π3+2π≤ωπ+2π得2π≤ωπ＜11π3，即2≤ω即ω的取值范围是[2，113故选：A．3．函数f（x）＝2sin（2x+π3），g（x）＝mcos（2x−π6）﹣2m+3＞0，m＞0，对任意x1∈[0，π4]，存在x2∈[0，π4]，使得g（x1）＝f（x2）成立，则实数【解答】解：由题意：f（x）＝2sin（2x+π当x2∈[0，π4则有：2x2+π3∈[π3当2x2+π3）=π2时，函数当2x2+π3）=5π6时，函数所以：对于x2∈[0，π4]，f（x函数g（x）＝mcos（2x−π6）﹣2m+3，当x1∈[0，π4则有：2x1−π6∈[−π当2x1−π6=π3时，函数g（当2x1−π6=0时，函数g（x）取得最大值为：所以：对于x1∈[0，π4]，g（x）的值域为[−32m+3，任意x1∈[0，π4]，存在x2∈[0，π4]，使得g（x1）＝f（x2）成立，则有：[−32m+3，﹣即：−解得：1≤m≤故答案为[4．设函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0恰有三个极值点、两个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：依题意可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要使函数在区间SKIPIF1<0恰有三个极值点、两个零点，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象如下所示：

则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：C．一、单选题1．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：B．2．函数SKIPIF1<0的图像可能是（

）A． B．

C．

D．

【答案】A【详解】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为奇函数，函数图像关于原点对称，故排除C，D，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0，故此时SKIPIF1<0，故排除B．故选：A．3．在平面直角坐标系中，角SKIPIF1<0的顶点为坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为角SKIPIF1<0的终边经过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B4．设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题意SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C5．函数SKIPIF1<0的最小正周期是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0，将函数图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，所以最小正周期为SKIPIF1<0.故选：C.6．将函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度，得到偶函数SKIPIF1<0的图象，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】将SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度，得到SKIPIF1<0的图象，因为SKIPIF1<0为偶函数，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故选：A7．将函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度后得到函数SKIPIF1<0的图象，若直线SKIPIF1<0是SKIPIF1<0图象的一条对称轴，则SKIPIF1<0的值可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0是SKIPIF1<0图象的一条对称轴，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，对比选项可知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．故选：B．8．已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的值域是SKIPIF1<0，则a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的值域是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：A9．已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在最值，且在SKIPIF1<0上单调，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在最值，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<02，因此SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故选：C．10．如图，直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以相邻两对称轴间的距离SKIPIF1<0，即周期SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，排除BD，当SKIPIF1<0时，代入SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，满足题意，代入SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，不符合题意，故A正确C错误.故选：A11．将函数SKIPIF1<0的图像向左平移SKIPIF1<0个单位长度后得到函数SKIPIF1<0的图像，再将SKIPIF1<0的图像上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）倍，得到函数SKIPIF1<0的图像，且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恰有两个极值点、两个零点，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】法一：由题意，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有两个极值点和两个零点．结合图像知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．法二：验证排除法.由题意可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，根据四个选项的特点，只有选项C中不含SKIPIF1<0，所以只需要验证SKIPIF1<0时的情况，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，结合图像知此范围内由两个零点，一个极小值点，不符合题意，所以SKIPIF1<0，故选C.法三：由题可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0.故选：C．12．已知函数SKIPIF1<0，则下列说法中正确的是（

）A．若函数SKIPIF1<0的最小正周期为π，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不单调B．若函数SKIPIF1<0的最小正周期为π，则直线SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象的一条对称轴C．若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有3个极值点，则SKIPIF1<0D．若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调，则SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0．对于A，若SKIPIF1<0的最小正周期为π，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，故A错误；对于B，由于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0图象的对称轴，故B错误；对于C，令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有3个极值点，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取极值，则有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故C正确；对于D，令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故D错误．故选：C.13．将函数SKIPIF1<0图象上所有点的横坐标缩小为原来的SKIPIF1<0，再向右平移SKIPIF1<0个单位长度，得到函数SKIPIF1<0的图象，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】将函数SKIPIF1<0图象上所有点的横坐标缩小为原来的SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0的图象，再向右平移SKIPIF1<0个单位长度，得到SKIPIF1<0的图象．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则关于t的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不等的实数根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B14．已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的最小正周期是SKIPIF1<0，于是函数SKIPIF1<0的最小正周期是SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得最小值，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故选：C二、多选题15．已知函数SKIPIF1<0的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称B．函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称C．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0D．将函数SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位，所得函数为SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】由图可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又函数图象最低点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，所以只能SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由A选项分析可知SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，从而函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，故A选项正确；但SKIPIF1<0，从而函数SKIPIF1<0的图象不关于SKIPIF1<0对称，故B选项错误；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，故C选项正确；若将函数SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位，则得到的新的函数解析式为SKIPIF1<0，故D选项正确.故选：ACD.16．函数SKIPIF1<0的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度后得到的新函数是偶函数C．SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度后得到的新函数是奇函数D．若方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有6个根，则SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】对于A项：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的单调递增区间内，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故A项正确．对于B、C项：SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度后得到SKIPIF1<0SKIPIF1<0，为奇函数，故B项错误，C项正确．对于D项：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，该方程在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0个根，从小到大依次设为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若存在第SKIPIF1<0个根，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故D项正确.故选：ACD.17．已知函数SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0为偶函数B．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个单调递增区间C．SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】因为SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，关于原点对称，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是偶函数，故A正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是函数的递增区间，故B不正确；SKIPIF1<0，故C正确；因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故D正确.故选：ACD.18．已知函数SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0轴对称B．SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0中心对称C．SKIPIF1<0的所有零点为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为周期的函数【答案】AC【详解】对于A：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0轴对称，故A正确；对于B：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图象不关于点SKIPIF1<0中心对称，B错误.对于C：因为SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的所有零点为SKIPIF1<0，故C正确；对于D：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的周期，故D错误；故选：AC.19．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，它们的最小正周期均为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一个零点为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的最大值为2B．SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称C．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上均单调递增D．将SKIPIF1<0图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度可以得到SKIPIF1<0的图象【答案】BCD【详解】因为SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的一个零点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故A错误；又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，B正确；对于SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，对于SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0