重庆市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案及解析

重庆一中高2027届高一上期月考数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.命题.“”的否定是（）A. B. C. D.3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.4.使得“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.5.若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.或 C. D.或6.函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知均为正实数，且，则下列选项错误的是（）A.最大值为B.最小值为C.的最大值为D.的最小值为8.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A. B. C. D.二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知；则下列不等式一定成立的有（）A.若且，则B.若，则C.若，则D.10.下列说法正确的是（）A.若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件B.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是C.若不等式解集为，则不等式的解集为D.“”为假命题的充要条件为11.已知函数的定义域为，且满足当时，，当时，恒有，且为非零常数，则下列说法正确的有（）AB.当时，反比例函数与在上的图象有且仅有6个交点C.当时，在区间上单调递减D.当时，在上的值域为三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知集合，则集合有__________个子集.13.已知集合，若且，则实数的取值范围是__________.14.若正实数，满足，则的最小值为__________.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）若，求的值；（2）若，求实数的取值范围.16.已知函数的定义域为，集合.（1）求；（2）集合，若，求实数的取值范围.17.已知二次函数的图象过原点，且对任意，恒有.（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）记函数，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.18.教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若，求的最小值；（2）若，求的最大值，并求取得最大值时的的值；（3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明.19.已知定义在上的函数同时满足下列四个条件：①；②对任意，恒有；③对任意，恒有；④对任意，恒有.（1）求的值；（2）判断在上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意，恒有，求实数的取值范围.

重庆一中高2027届高一上期月考数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算法则运算即可.【详解】因为，，所以.故选：.2.命题.“”的否定是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用特称命题的否定形式回答即可.【详解】根据特称命题的否定形式可知命题.“”的否定是“”.故选：B3.已知函数定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可.【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为，则对于函数，需满足，解得，即函数的定义域为.故选：D.4.使得“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对于全称量词命题，我们需要先求出使得该命题为真时的取值范围，然后再根据充分不必要条件的定义来判断选项.【详解】令，.对于二次函数，其对称轴为.因，所以函数在上单调递增.那么在上的最大值为.因为为真命题，即在上恒成立，所以.是的充分而不必要条件，即值，.当时，一定满足，所以是的充分不必要条件.而时，不能保证一定满足，时，也不能保证一定满足.故选：C.5.若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.或 C. D.或【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式和常值代换法求得的最小值，依题得到不等式，解之即得.【详解】因，由，当且仅当时取等号，即当时，取得最小值6.因不等式恒成立，故，即，解得.故选：C.6.函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，得到在定义域上为单调递减函数，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数因为函数任意且，都有，所以函数在定义域上为单调递减函数，则满足，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.7.已知均为正实数，且，则下列选项错误的是（）A.的最大值为B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式可判断AC的正误，利用“1”的代换可判断B的正误，利用换元法结合常数代换可判断D的正误.【详解】选项A：时取等，得的最大值为，故A对；选项B：，当且仅当时取等，故的最小值为，故B错选项C：时取等，故的最大值为，故C对；选项D：换元，令，则，故，当且仅当取等号，故的最小值为，故D正确；故选：B.8.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将集合的子集两两配对：使且，从而有集合与集合的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有个，即可求解.【详解】由题知，将集合的子集两两配对：使且，则符合条件的集合对有个，又由题设定义有集合与集合的交替和之和为4，所以交替和的总和为.故选：A.二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知；则下列不等式一定成立的有（）A.若且，则B.若，则C.若，则D.【答案】BD【解析】【分析】利用特殊值验证AC是错误的，利用作差法判断B的真假，利用配方法证明D是正确的.【详解】对A：令，，则且，但不成立，故A错误；对B：当时，，所以成立，故B正确；对C：令，，，，则，但不成立，故C错误；对D：因为，所以成立，故D正确.故选：BD10.下列说法正确的是（）A.若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件B.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是C.若不等式的解集为，则不等式的解集为D.“”为假命题的充要条件为【答案】ACD【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断A，分类讨论求出k的范围判断B，根据数轴穿根法及不等式的解集求出及解不等式判断C，由命题的否定转化为不等式恒成立，看作关于的不等式恒成立即可判断D.【详解】对A，若是的必要不充分条件，是的充要条件，则，但是不能推出，所以，但是不能推出，所以是的充分不必要条件，故A正确；对B，当时，原不等式为，恒成立满足题意，当时，由题意需满足，解得，综上，实数的取值范围是，故B错误；对C，由不等式的解集为，结合数轴穿根法知，，且，所以不等式可化为，解得，故C正确；对D，由题意知为真命题，则在时恒成立，令，只需，则，解得，故D正确.故选：ACD11.已知函数的定义域为，且满足当时，，当时，恒有，且为非零常数，则下列说法正确的有（）A.B.当时，反比例函数与在上的图象有且仅有6个交点C.当时，在区间上单调递减D.当时，在上的值域为【答案】ABD【解析】【分析】根据所给函数解析式直接求解判断A，根据的性质及图象判断B，归纳出在上的解析式判断C，根据规律，归纳值域特点判断D.【详解】选项A：，，则，所以选项A正确；选项B：由知，时，，由于，但，作fx结合图象可知上有个交点，在上无交点，故选项B正确；选项C：时，，故在上单增，故C错误；选项D：因为，所以当时，值域为；当时，值域为；当时，值域为；当时，值域为；当时，值域为，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：根据所给函数解析式，可知函数类似周期特点，图象形状类似，振幅有规律变化，据此可归纳函数性质是解题的关键所在.三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，则集合有__________个子集.【答案】【解析】【分析】求出集合，列举出集合的子集即可.【详解】因，故集合的子集有共4个.故答案为：4.13.已知集合，若且，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据集合的包含关系，讨论和两种情况，求集合，再比较端点值，即可求解.【详解】因为，所以，因为，且：当时，，符合题意；当时，，则，综上，.故答案为：14.若正实数，满足，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性可知，代入可得，根据基本不等式可得最值.【详解】由题可知，因为在上单调递增，所以在上单增，所以上式可表示为，则，即，因此，当且仅当即，时等号成立，故答案为：.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）若，求的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据分段函数定义分类列方程求解；（2）根据分段函数定义分类列不等式求解．【小问1详解】由可得：1∘x【小问2详解】由可得：1∘2综上可得.16.已知函数的定义域为，集合.（1）求；（2）集合，若，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据条件，先求出集合，再利用集合的运算，即可求解；（2）由（1）可得，再根据条件，分和两种情况讨论，即可求解.【小问1详解】由,即，得到或，所以或，又由，得到或，即或，所以或，所以或.【小问2详解】因为或，所以，①当，即时，此时，所以满足题意，②当，即时，由题有，解得，综上，实数的取值范围是.17.已知二次函数的图象过原点，且对任意，恒有.（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）记函数，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）令即可求出.（2）根据条件，先设出二次函数的解析式，再根据恒成立，可求待定系数.（3）问题转化成在区间的最小值不小于在上的最小值求参数的取值范围.【小问1详解】在不等式，令.【小问2详解】因为为二次函数且图象过原点，所以可设，由，于是，由题：恒成立⇔a>0检验知此时满足，故.【小问3详解】函数，开口向上，对称轴，所以在区间上单调递增，因此，时，，即，而在上单调递减，所以时，因为对任意，均存在，使得，等价于18.教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若，求的最小值；（2）若，求的最大值，并求取得最大值时的的值；（3）对任意，判断与大小关系并加以严格证明.【答案】（1）（2）最大值为，（3），证明见解析【解析】【分析】（1）根据三阶基本不等式的内容直接可得解；（2）由，结合四阶基本不等式可得最值；（3）猜测，成立，验证不等式成立；结合推广公式证明结论成立.【小问1详解】因为，所以由三阶基本不等式可得：，当且仅当即时取等号，因此的最小值为；【小问2详解】当时，由四阶基本不等式可得：，当且仅当即时取等号，因此的最大值为；【小问3详解】大小关系为，，证明如下：由条件可知：时，，当时，左边，右边，左边右边，不等式成立；当，时，由阶基本不等式，可知：不等式左边而，因此上式的不等号取不到等号，于是，综上，原不等式得证.19.已知定义在上的函数同时满足下列四个条件：①；②对任意，恒有；③对任意，恒有；④对任意，恒有.（1）求的值；（2）判断在上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意，恒有，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）在上单调递减，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）令可得，再由，即可得出答案；（2）由单调性的定义证明即可；（3）由单调性和奇偶性列出不等式，再结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】在中令；（或令).