概率与统计的综合问题（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

第10部分第8节《概率与统计的综合问题》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升基础摸查【题型展示】题型一频率分布直方图例1为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).训练1某乡镇加大投资建设美丽乡村，大力发展乡村旅游产业，显著提高了农民收入.为了提升旅游质量，打造特色旅游品牌，镇政府聘请有关专家和环保部门工作人员50人，对A，B两个特色旅游村进行评价(满分100分)，并得到A村评价分数(单位：分)的频数分布表和B村评价分数的频率分布直方图，如下：A村评价分数的频数分布表分数[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)人数25810分数[80，85)[85，90)[90，95)[95，100]人数14641B村评价分数的频率分布直方图有关专家与环保部门工作人员对旅游村的评价分数的规定如下：分数[60，75)[75，90)[90，100]等级Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级等级越高旅游资源开发越好，如Ⅱ级好于Ⅰ级.(1)估计A村评价分数的众数，并求a的值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)从参与评价的50人中随机抽取1人，估计该人对A村评价分数等级比B村评价分数等级高的频率；(3)以评价分数为依据，比较A，B两村旅游产业发展质量情况.题型二成对数据的统计分析角度1独立性检验例2为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0，50)[150，475]合计[0，75)641680[75，115]101020合计7426100依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析该市一天中空气中PM2.5浓度是否和SO2浓度有关？角度2回归方程及其应用例3下表是国际数据公司(IDC)研究的全球近6年每年数字媒体阅读产生的数据量(单位：ZB)及相关统计量的值：年份201520162017201820192020序号x123456年数据量y7917223443eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(z,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(zi－eq\o(z,\s\up6(－)))eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(zi－eq\o(z,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(zi－eq\o(z,\s\up6(－)))3.522218141249表中zi＝lnyi，eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))zi.(1)根据上表数据信息判断，方程y＝c1·ec2x(e是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y关于年份序号x的回归方程类型，试求此回归方程；(2)根据(1)中的回归方程，预计2024年的全世界数字媒体阅读产生的数据量是2021年的多少倍？并说明理由.(参考数据：e≈2.718，eq\r(e)≈1.648，结果精确到0.1)参考公式：回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中，斜率最小二乘法公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up14(n),\s\do5(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).训练2某创新公司在第1个月至第7个月的5G经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如下表：时间(月份)1234567收入(百万元)611213466101196根据以上数据绘制散点图：(1)根据散点图判断，y＝ax＋b与y＝c·dx(a，b，c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)并根据你的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程；(2)请你预测该公司8月份的5G经济收入.参考数据：eq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))yieq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))vieq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))xiyieq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))xivi100.45100.5446210.78271150.122.823.47其中设v＝lgy，vi＝lgyi.参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(xi，vi)(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(β,\s\up6(^))x＋eq\o(α,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xivi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(v,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).题型三概率与统计角度1概率与统计的综合问题例4某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]六组，并作出频率分布直方图(如图)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，试根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断“课外体育达标”与性别是否有关？课外体育不达标课外体育达标合计男60女110合计(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.角度2离散型随机变量及其分布列例5某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2023年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.(1)求P(ξ＝3)；(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望.角度3正态分布的综合问题例6(2022·保定模拟)某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份其中5天的日销售量y(单位：千克)与该地当日最低气温x(单位：℃)的数据，如下表：x258911y1210887(1)求出y与x的回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)判断y与x之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6℃，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；(3)设该地1月份的日最低气温X～N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似为样本方差s2，求P(3.8≤X≤13.4).附：①回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).②eq\r(10)≈3.2，eq\r(3.2)≈1.8.若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.训练3某城市A公司外卖配送员底薪是每月1800元，设一人每月配送的单数为X，若X∈[1，300]，每单提成3元，若X∈(300，600]，每单提成4元，若X∈(600，＋∞)，每单提成4.5元.B公司外卖配送员底薪是每月2100元，设一人每月配送单数为Y，若Y∈[1，400]，每单提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每单提成4元.小王想在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在2022年4月份(30天)的送餐量数据，如下表：表1A公司外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x/单131416171820天数2612622表2B公司外卖配送员乙送餐量统计日送餐量y/单111314151618天数4512351(1)设A公司外卖配送员月工资(单位：元)为f(X)，B公司外卖配送员月工资(单位：元)为g(Y)，当X＝Y且X，Y∈(300，600]时，比较f(X)与g(Y)的大小关系；(2)将甲、乙4月份的日送餐量的频率视为对应公司的外卖配送员日送餐量的概率.①计算外卖配送员甲和乙的日送餐量的数学期望E(x)和E(y)；②请利用所学的统计学知识为小王做出选择，并说明理由.基础夯实1．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在中国北京开幕，简称“北京冬奥会”．某媒体通过网络随机采访了某市100名关注“北京冬奥会”的市民，并将其年龄数据绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三个年龄段的人数依次成等差数列，求a，b的值；(2)该媒体将年龄在[30,50)内的人群定义为高关注人群，其他年龄段的人群定义为次高关注人群，为了进一步了解其关注项目．现按“关注度的高低”采用比例分配的分层随机抽样的方式从参与采访的100位关注者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行电视访谈，求此3人中来自高关注人群的人数X的分布列与均值．2．随着生活水平的不断提高，人们越来越注重养生．科学健身有利于降低脂肪含量，健身器材成为人们的新宠．某小区物业决定选购一款健身器材，物业管理员从该品牌的销售网站了解到此款健身器材近五个月的实际销量如表所示：月份7月8月9月10月11月月份编号t12345销量y(万台)0.50.611.41.7(1)求出销量y关于月份编号t的经验回归方程，并预测12月份该品牌此款健身器材的销量；(2)该品牌销售商为了促销，采取“摸球定价格”的优惠方式，其规则为：盒子内装有编号为1,2,3的三个完全相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同编号的享受七折优惠，三次仅有两次摸到相同编号的享受八折优惠，其余均九折优惠．已知此款健身器材一台标价为10000元，设物业公司购买此款健身器材的价格为X，求X的分布列与均值．3．某市某部门为了了解全市中学生的视力情况，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了该市120名中学生，已知该市中学生男女人数比例为7∶5，他们的视力情况统计结果如表所示：性别视力情况合计近视不近视男生30女生40合计120(1)请把表格补充完整，并根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断近视是否与性别有关；(2)如果用这120名中学生中男生和女生近视的频率分别代替该市中学生中男生和女生近视的概率，且每名同学是否近视相互独立．现从该市中学生中任选4人，设随机变量X表示4人中近视的人数，求X的分布列及均值．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.01xα2.7063.8416.6354．2022年3月，“两会”在北京召开，会议吸引了全球的目光，对我国以后的社会经济发展有深刻的历史意义，某媒体为调查本市市民对“两会”的了解情况，进行了一次“两会”知识问卷调查(每位市民只能参加一次)，随机抽取年龄在15～75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，其分组区间为[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75]，把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．(1)若“青少年人”中有15人在关注“两会”，根据已知条件完成下面的2×2列联表，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断关注“两会”是否与年龄有关；(2)由(1)中结果，采用比例分配的分层随机抽样的方法从“青少年人”关注“两会”和不关注“两会”的人中抽取6人，再从这6人中选3人进行专访，设这3人中关注“两会”的人数为X，求X的分布列和均值.年龄是否关注合计关注不关注青少年人15中老年人合计5050100附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.050.010.001xα3.8416.63510.8285.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.6.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额(元)支付方式(0，1000](1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和均值；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.7.某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测某项质量指标值，该项质量指标值落在[20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.设备改造前样本的频率分布直方图如图所示.下表是设备改造后样本的频数分布表：质量指标值[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)[40，45]频数2184814162(1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标值的平均数(同一组数据用该组数据所在区间的中点值表示)；(2)设备改造后，企业将不合格品全部销毁，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元.根据上表中的数据，用该样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望.8.某土特产超市为预估2023年元旦期间游客购买土特产的情况，于2022年元旦期间90位游客的购买情况进行统计，得到如下人数分布表.购买金额/元[0，15)[15，30)[30，45)[45，60)[60，75)[75，90]人数101520152010(1)根据以上数据完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与性别有关.不少于60元少于60元总计男40女18总计(2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖的概率为p(每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率)，中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X(元)的分布列并求其数学期望.附参考公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.附表：α0.1500.1000.0500.0100.005xα2.0722.7063.8416.6357.879优化提升9.水污染现状与工业废水排放密切相关.某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p(0<p<1).经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进入B系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测.多个污水样本检测时，既可以逐个化验，又可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标，混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水可直接排放.现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验.若化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若p＝eq\f(2\r(2),3)，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；(2)①若p＝eq\f(2\r(2),3)，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优”？②若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围.10.某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y＝c·xb(b，c为大于0的常数).按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(0.302，0.388)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸x(mm)384858687888质量y(g)16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比eq\f(y,x)0.4420.3920.3570.3290.3080.290(1)现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率；(2)根据测得的数据作了初步处理，得相关统计量的值为下表：eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(lnxi·lnyi)eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(lnxi)eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(lnyi)eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(lnxi)275.324.618.3101.4根据所给统计量，求y关于x的非线性经验回归方程.附：对于样本(vi，ui)(i＝1，2，…，6)，其经验回归直线eq\o(u,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))·v＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up14(n),\s\do5(i＝1))（vi－\o(v,\s\up6(－))）（ui－\o(u,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（vi－\o(v,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))viui－n\a\vs4\al(\o(v,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(u,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))veq\o\al(2,i)－n\o(v,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(u,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(v,\s\up6(－)).11．某学校共有3000名学生，其中男生1800人，为了解该校学生在校的月消费情况，采取比例分配的分层随机抽样的方式抽取100名学生进行调查，先统计他们某月的消费金额，然后按“男生、女生”分成两组，再分别将两组学生的月消费金额(单位：元)分成5组：[300,400)，[400,500)，[500,600)，[600,700)，[700,800]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)样本中将月消费金额不低于600元的学生称为“高消费群”．请你根据已知条件完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析该校学生属于“高消费群”是否与性别有关；性别是否属于“高消费群”合计属于不属于男生女生合计附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋dα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(2)以样本估计总体，将调查所得到的频率视为概率，现从该学校中每次随机抽取1名学生，共抽取4次，且每次抽取的结果是相互独立的，记被抽取的4名学生中属于“高消费群”的人数为X，求X的均值E(X)和方差D(X)．12．某公司为了提升一款产品的市场竞争力和市场占有率，对该款产品进行了科技创新和市场开发，经过一段时间的运营后，统计得到x，y之间的五组数据如表所示：x12345y911142620其中，x(单位：百万元)是科技创新和市场开发的总投入，y(单位：百万元)是科技创新和市场开发后的收益．(1)求样本相关系数r的大小(精确到0.01)，并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度；(2)该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研100名男、女性消费者后，得到数据如表所示：性别满意程度合计满意不满意男性451055女性252045合计7030100根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断消费者满意程度是否与性别有关；(3)对(2)中调研的45名女性消费者，按照其满意程度进行比例分配的分层随机抽样，从中抽出9名女性消费者到公司进行现场考察，再从这9名女性消费者中随机抽取4人进行深度调研，记这4人中“满意”的人数为X，求X的分布列及均值．参考公式：①r＝eq\f(\o(∑,\s\up14(n),\s\do5(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))；②χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.临界值表：α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828参考数据：eq\r(485)≈22.参考答案：基础摸查【题型展示】例1解(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.训练1解(1)因为A村评价分数频数最多的出现在[80，85)，所以估计A村评价分数的众数为eq\f(80＋85,2)＝82.5(分).由5×(0.012×2＋0.020＋0.024＋2a＋0.036＋0.040)＝1，解得a＝0.028.(2)设从参与评价的50人中随机抽取1人，该人“对A村评价分数等级为Ⅱ”的事件为A2，“对A村评价分数等级为Ⅲ”的事件为A3；“对B村评价分数等级为Ⅰ”的事件为B1，“对B村评价分数等级为Ⅱ”的事件为B2.由题表可知，P(A2)＝eq\f(10＋14＋6,50)＝0.6，P(A3)＝eq\f(4＋1,50)＝0.1.由题图可知，P(B1)＝(0.012＋0.020＋0.028)×5＝0.3，P(B2)＝(0.036＋0.040＋0.024)×5＝0.5.A村评价分数等级比B村评价分数等级高的概率为P(A2B1)＋P(A3B1)＋P(A3B2)＝P(A2)P(B1)＋P(A3)·P(B1)＋P(A3)P(B2)＝0.6×0.3＋0.1×0.3＋0.1×0.5＝0.26，所以该人对A村评价分数等级比B村评价分数等级高的概率估计值为0.26.(3)A村评价分数的平均数eq\o(x,\s\up6(－))A＝eq\f(2,50)×62.5＋eq\f(5,50)×67.5＋eq\f(8,50)×72.5＋eq\f(10,50)×77.5＋eq\f(14,50)×82.5＋eq\f(6,50)×87.5＋eq\f(4,50)×92.5＋eq\f(1,50)×97.5＝79.3(分).B村评价分数的平均数eq\o(x,\s\up6(－))B＝5×[0.012×(62.5＋97.5)＋0.020×67.5＋0.028×(72.5＋92.5)＋0.036×77.5＋0.040×82.5＋0.024×87.5]＝80.4(分).因为eq\o(x,\s\up6(－))A＜eq\o(x,\s\up6(－))B，所以从评价分数来看，B村旅游产业发展质量要高于A村.例2解零假设为H0：该市一天中空气中PM2.5浓度与SO2浓度无关.χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(100×（64×10－16×10）2,80×20×74×26)＝eq\f(3600,481)≈7.4844＞6.635＝x0.01，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，可以判断H0不成立，即认为该市一天中空气中PM2.5浓度和SO2浓度有关.例3解(1)由y＝c1·ec2x，两边同时取自然对数得lny＝ln(c1·ec2x)＝lnc1＋c2x，设z＝lny，则z＝lnc1＋c2x.因为eq\o(x,\s\up6(－))＝3.5，eq\o(z,\s\up6(－))＝2，eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝18，eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(zi－eq\o(z,\s\up6(－)))＝9，所以eq\o(c,\s\up6(^))2＝eq\f(\o(∑,\s\up14(b),\s\do5(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（zi－\o(z,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(b),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(9,18)＝eq\f(1,2)，lneq\o(c,\s\up6(^))1＝eq\o(z,\s\up6(－))－eq\o(c,\s\up6(^))2eq\o(x,\s\up6(－))＝2－0.5×3.5＝0.25.所以z＝0.25＋0.5x＝lny，所以y＝e0.25＋0.5x.(2)令x＝7，得eq\o(y,\s\up6(^))1＝e0.25＋0.5×7＝e3.75.令x＝10，得eq\o(y,\s\up6(^))2＝e5.25，eq\f(\o(y,\s\up6(^))2,\o(y,\s\up6(^))1)＝e1.5＝eeq\r(e)≈4.5，预计2024年全世界产生的数据规模是2021年的4.5倍.训练2解(1)根据散点图判断，y＝c·dx适宜作为5G经济收入y关于月代码x的回归方程类型.∵y＝c·dx，两边同时取常用对数得lgy＝lg(c·dx)＝lgc＋lgd·x.设lgy＝v，∴v＝lgc＋lgd·x.∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)eq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))vi＝eq\f(1,7)×10.78＝1.54，eq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＝140，∴lgeq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xivi－7\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(v,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(50.12－7×4×1.54,140－7×42)＝eq\f(7,28)＝0.25，把样本中心点(4，1.54)代入v＝lgc＋lgd·x，得1.54＝lgeq\o(c,\s\up6(^))＋0.25×4，∴lgeq\o(c,\s\up6(^))＝0.54，eq\o(v,\s\up6(^))＝0.54＋0.25x，∴lgeq\o(y,\s\up6(^))＝0.54＋0.25x，∴y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝100.54＋0.25x＝3.47×100.25x.(2)∵当x＝8时，eq\o(y,\s\up6(^))＝3.47×100.25×8＝347，∴预测8月份的5G经济收入为347百万元.例4解(1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.02＋0.005)×10]＝50，则“课外体育不达标”人数为150，∴列联表如下：课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200假设H0为“课外体育达标”与性别无关.∴χ2＝eq\f(200×（60×20－30×90）2,90×110×150×50)＝eq\f(200,33)≈6.061>3.841＝x0.05.∴根据小概率α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“课外体育达标”与性别有关.(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：ξ的所有可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(6,56)＝eq\f(3,28)；P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)＝eq\f(15,28)；P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(20,56)＝eq\f(5,14)；故ξ的分布列为ξ123Peq\f(3,28)eq\f(15,28)eq\f(5,14)故ξ的数学期望为E(ξ)＝1×eq\f(3,28)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,14)＝eq\f(9,4).例5解(1)64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，∴P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,8)·Ceq\o\al(1,8)＋Ceq\o\al(1,24)·Ceq\o\al(1,24),Ceq\o\al(2,64))＝eq\f(640,2016)＝eq\f(20,63).(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，η的取值为50，30，10，0，……5分P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(2,64))＝eq\f(28,2016)＝eq\f(1,72)，P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(1,8)·Ceq\o\al(1,24),Ceq\o\al(2,64))＝eq\f(192,2016)＝eq\f(2,21)，P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,24)＋Ceq\o\al(1,8)·Ceq\o\al(1,24),Ceq\o\al(2,64))＝eq\f(468,2016)＝eq\f(13,56)，P(η＝0)＝1－eq\f(1,72)－eq\f(2,21)－eq\f(13,56)＝eq\f(83,126).所以随机变量η的分布列为η5030100Peq\f(1,72)eq\f(2,21)eq\f(13,56)eq\f(83,126)∴E(η)＝50×eq\f(1,72)＋30×eq\f(2,21)＋10×eq\f(13,56)＋0×eq\f(83,126)＝eq\f(370,63).例6解(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do5(i＝1))xi＝eq\f(35,5)＝7，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do5(i＝1))yi＝eq\f(45,5)＝9，eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do5(i＝1))xiyi－5eq\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－)))＝2×12＋5×10＋8×8＋9×8＋11×7－5×7×9＝－28，eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do5(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5eq\o(x,\s\up6(－))2＝22＋52＋82＋92＋112－5×72＝50，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(－28,50)＝－0.56.∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝9－(－0.56)×7＝12.92.∴所求的回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.56x＋12.92.(2)由eq\o(b,\s\up6(^))＝－0.56＜0知，y与x之间是负相关，将x＝6代入回归方程可预测该店当日的销售量eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.56×6＋12.92＝9.56(千克).(3)由(1)知μ＝eq\o(x,\s\up6(－))＝7，由σ2＝s2＝eq\f(1,5)[(2－7)2＋(5－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2＋(11－7)2]＝10，得σ≈3.2.从而P(3.8≤X≤13.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝P(μ－σ≤X≤μ)＋P(μ≤X≤μ＋2σ)＝eq\f(1,2)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋eq\f(1,2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.8186.训练3解(1)当X＝Y且X，Y∈(300，600]时，g(Y)＝g(X)；当X∈(300，400]时，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋3X)＝X－300>0；当X∈(400，600]时，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋4X)＝－300<0.所以当X∈(300，400]时，f(X)>g(Y)；当X∈(400，600]时，f(X)<g(Y).(2)①甲的日送餐量x的分布列为：x131416171820Peq\f(1,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,5)eq\f(1,15)eq\f(1,15)乙的日送餐量y的分布列为：y111314151618Peq\f(2,15)eq\f(1,6)eq\f(2,5)eq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,30)则E(x)＝13×eq\f(1,15)＋14×eq\f(1,5)＋16×eq\f(2,5)＋17×eq\f(1,5)＋18×eq\f(1,15)＋20×eq\f(1,15)＝16，E(y)＝11×eq\f(2,15)＋13×eq\f(1,6)＋14×eq\f(2,5)＋15×eq\f(1,10)＋16×eq\f(1,6)＋18×eq\f(1,30)＝14.②E(X)＝30E(x)＝480，480∈(300，600]；E(Y)＝30E(y)＝420，420∈(400，＋∞).所以A公司外卖配送员的平均月薪约为1800＋4E(X)＝3720(元)，B公司外卖配送员的平均月薪约为2100＋4E(Y)＝3780(元)，3720<3780，所以小王应选择做B公司外卖配送员.基础夯实1．解(1)由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋0.015，,0.010＋0.015×2＋b＋a×10＝1，))解得a＝0.035，b＝0.025.(2)利用比例分配的分层随机抽样的方式从样本中抽取10人，易知其中属于高关注人群的有10×(0.035＋0.025)×10＝6(人)，则属于次高关注人群的有4人，则X的所有可能取值为3,2,1,0，所以P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，所以X的分布列为X3210Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)所以E(X)＝3×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＋1×eq\f(3,10)＋0×eq\f(1,30)＝1.8.2．解(1)依题意知eq\x\to(t)＝eq\f(1,5)×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(0.5＋0.6＋1＋1.4＋1.7)＝1.04，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,5,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(3.2,10)＝0.32，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝1.04－0.32×3＝0.08，故销量y关于月份编号t的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.32t＋0.08.令t＝6，则eq\o(y,\s\up6(^))＝0.32×6＋0.08＝2.故可预测12月份该品牌此款健身器材销量为2万台．(2)有放回地摸球，每次摸到某个编号的概率为eq\f(1,3)，则三次摸到相同编号的概率为3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,9)，仅有两次摸到相同编号的概率为3×3×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3).公司购买此款健身器材的价格X的所有可能取值为7000，8000，9000，其分布列为X700080009000Peq\f(1,9)eq\f(2,3)eq\f(2,9)故E(X)＝7000×eq\f(1,9)＋8000×eq\f(2,3)＋9000×eq\f(2,9)＝eq\f(73000,9).3．解(1)∵该市中学生男女人数比例为7∶5，∴抽取的120名学生中男生有70人，女生有50人，2×2列联表如下：性别视力情况合计近视不近视男生304070女生104050合计4080120零假设为H0：近视与性别无关．根据列联表中的数据得，χ2＝eq\f(120×30×40－10×402,40×80×70×50)≈6.857>6.635＝x0.01，∴根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为近视与性别有关．(2)∵用这120名中学生中男生和女生近视的频率分别代替该市中学生中男生和女生近视的概率，∴每名学生近视的概率为eq\f(30＋10,120)＝eq\f(1,3)，由题意可得，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))4－k，k＝0,1,2,3,4，∴X的分布列为X01234Peq\f(16,81)eq\f(32,81)eq\f(8,27)eq\f(8,81)eq\f(1,81)E(X)＝4×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).4．解(1)依题意可知，“青少年人”共有100×(0.015＋0.030)×10＝45(人)，“中老年人”共有100－45＝55(人)，2×2列联表如下：年龄是否关注合计关注不关注青少年人153045中老年人352055合计5050100零假设为H0：关注“两会”与年龄无关．结合列联表的数据得χ2＝eq\f(100×20×15－30×352,50×50×55×45)≈9.091>6.635＝x0.01，所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为关注“两会”与年龄有关．(2)依题意可知，样本中青少年人关注“两会”的有15人，不关注“两会”的有30人，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，则关注“两会”的抽取2人，不关注“两会”的抽取4人，则X的所有可能取值为0,1,2，所以P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，故随机变量X的分布列为X012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)所以E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1.5.解(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列为Y080100P0.40.120.48E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.6.解(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30(人)，仅使用B的学生有10＋14＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人，故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人).所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率为eq\f(40,100)＝0.4.(2)X的所有可能值为0，1，2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)＝eq\f(9＋3,30)＝0.4，P(D)＝eq\f(14＋1,25)＝0.6，所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24.P(X＝1)＝P(Ceq\o(D,\s\up6(－))∪eq\o(C,\s\up6(－))D)＝P(C)P(eq\o(D,\s\up6(－)))＋P(eq\o(C,\s\up6(－)))P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，P(X＝0)＝P(eq\a\vs4\al(\o(C,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(D,\s\up6(－))))＝P(eq\o(C,\s\up6(－)))P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝0.24.所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的均值E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.0.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额大于2000元”.假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得P(E)＝eq\f(1,Ceq\o\al(3,30))＝eq\f(1,4060).答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化.答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还有是可能发生的，所以无法确定有没有变化.7.解(1)根据题图可知，设备改造前样本的质量指标值的平均数为5×(0.008×17.5＋0.032×22.5＋0.080×27.5＋0.024×32.5＋0.036×37.5＋0.020×42.5)＝30.2.根据设备改造前样本的质量指标值的平均数估计设备改造前总体的质量指标值的平均数为30.2.(2)根据样本的频率分布估计总体的概率分布，合格的样本中一、二、三等品的频率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6)，故从所有合格产品中随机抽一件，抽到一、二、三等品的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6).易知随机变量X的取值为240，300，360，420，480，则P(X＝240)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36)，P(X＝300)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,9)，P(X＝360)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,18)，P(X＝420)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝480)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).所以随机变量X的分布列为X240300360420480Peq\f(1,36)eq\f(1,9)eq\f(5,18)eq\f(1,3)eq\f(1,4)所以E(X)＝240×eq\f(1,36)＋300×eq\f(1,9)＋360×eq\f(5,18)＋420×eq\f(1,3)＋480×eq\f(1,4)＝400.8.解(1)2×2列联表如下：不少于60元少于60元总计男124052女182038总计306090零假设为H0：购买金额是否少于60元与性别无关.χ2＝eq\f(90×（12×20－40×18）2,52×38×30×60)＝eq\f(1440,247)≈5.83>3.841＝x0.05，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，因此能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)X的所有可能取值为65，70，75，80，且p＝eq\f(10＋20,90)＝eq\f(1,3).P(X＝65)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,27)，P(X＝70)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝75)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,9)，P(X＝80)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，X的分布列为X65707580Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)E(X)＝65×eq\f(1,27)＋70×eq\f(2,9)＋75×eq\f(4,9)＋80×eq\f(8,27)＝75.优化提升9.解(1)因为该混合样本达标的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,9)，所以根据对立事件可知，混合样本化验结果不达标的概率为1－eq\f(8,9)＝eq\f(1,9).(2)①方案一：逐个化验，化验次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本化验时，若达标则化验次数为1，概率为eq\f(8,9)；若不达标则化验次数为3，概率为eq\f(1,9).故将方案二的化验次数记为ξ2，ξ2的所有可能取值为2，4，6.P(ξ2＝2)＝eq\f(8,9)×eq\f(8,9)＝eq\f(64,81)，P(ξ2＝4)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(8,9)×eq\f(1,9)＝eq\f(16,81)，P(ξ2＝6)＝eq\f(1,9)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,81)，其分布列如下：ξ2246Peq\f(64,81)eq\f(16,81)eq\f(1,81)所以方案二的期望E(ξ2)＝2×eq\f(64,81)＋4×eq\f(16,81)＋6×eq\f(1,81)＝eq\f(198,81)＝eq\f(22,9).方案四：混在一起化验，记化验次数为ξ4，ξ4的所有可能取值为1，5.P(ξ4＝1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(64,81)，P(ξ4＝5)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),