概率论与数理统计复习题

概率论及数理统计复习题一：全概率公式和贝叶斯公式例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%,12%。现从该厂产品中任意抽取一件，求：〔1〕取到不合格产品的概率；〔2〕假设取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。解：设A1,A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，那么A1,A2,A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2,P(A2)=1/3,P(A3)=1/6,P(B|A1)=0.08,P(B|A2)=0.09,P(B|A3)=0.12o由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3由贝叶斯公式：P(A1|B)=P(A1B)/P(B)=4/9练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供给量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2%,2%,4%。假设在市场上随机购置一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？【0.4】练习：设两箱内装有同种零件,第一箱装50件,有10件一等品,第二箱装30件,有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件,求：〔1〕取出的零件是一等品的概率；〔2〕在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。解：设事件A=｛从第i箱取的零件｝，B=｛第i次取的零件是一等品｝ii110118〔1〕P(々”PlA)P(BJ*P(4)P(BJ4)=二十2301C2 1C2 P(BB)〔2〕P(BB)=—-1^+ 1^=0.194，那么P(B|B)= —12 2C2 2C2 211 p(b)50 30 1、连续型随机变量的综合题依x0<x<2例：设随机变量X的概率密度函数为f(x/0m求：〔1〕常数入；〔2〕EX；(3)P｛1<X<3｝；〔4〕X的分布函数F(x)解：(1)由J解：(1)由J+8f(x)dx=得至4人=1/212 4EX=Jxf(x)dx=J2—xdx=—'一J o2 3P{1<x<3}=J3f(x)dx=J22xdx=4

⑷当x<0时，F(x)=1"0出=0一gTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"当0<x<2时，F(x)=1xf(t)dt=100dx+1"1tdt=1x2: Y02 4当x>2时，F〔x〕=1'0x<0八 八F(x)=\-x20<x<2故5 41x>2Iax+b0<x<1练习：随机变量X的密度函数为f(x『 0others且E(X)=7/12。求：〔1〕a,b；〔2〕X的分布函数F(x)0<x<10<x<1others练习：随机变量X的密度函数为f(x)=j0求：〔1〕X的分布函数F(x)；〔2〕P{0.3<X<2}三、离散型随机变量和分布函数例：设X的分布函数F(x)为：।।00.4x<—1一1<x<1F(x)=，0.81<x<3,、1x>3那么X的概率分布为〔〕。分析：其分布函数的图形是阶梯形，故x是离散型的随机变量[答案：P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.]练习：设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5，写出其分布函数F(x)。[答案：当x<1时，F(x)=0；当1Wx<2时，F(x)=0.2;当2Wx<3时，F(x)=0.5;当3Wx时，F(x)=1四、二维连续型随机向量例：设X及Y相互独立，且X服从九二3的指数分布，Y服从九二4的指数分布，试求：〔1〕(X,Y)联合概率密度及联合分布函数；〔2〕P(X<1,Y<1)；〔3〕(X,Y)在D={(x,y)|x>0,y>0,3x+4y<3}取值的概率。解：〔1〕依题知|3e-3x,x>0 |4e-4y,y>0f(x)=< f(y)=<X00,其他Y[0,其他所以(X,Y)联合概率密度为

12e-3x-4y,x>0,y>00,其他0,当x>0,y>0时，有F(x,y)=fxdtfy12e-31-4sds=(1-e-3x)(1-e-4y)00所以(X,Y)联合分布函数(1-e-3x)(1-e-4y), x>0,y>0;0,其他0,〔2〕P(X<1,Y<1)=F(1,1)=(1-e-3)(1-e-4)；〔3〕P((X,Y)eD)=f1dxf丁12e-3x-4ydy=1-4e-300* ff f(xf(x,y* ff f(xf(x,y)=<练习：设二元随机变量〔X,Y〕的联合密度是fx，yJ1 〃—-(x+y) e502500x>0,y>00others求：〔1〕关于X的边缘密度函数fX(x)；〔2〕P{XN50,YN50}五、二维离散型随机向量设随机变量X及Y相互独立，下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的局部数值,试将其他数值填入表中的空白处。]六、协差矩阵[例：随机向量〔X,Y〕]六、协差矩阵[例：随机向量〔X,Y〕的协差矩阵V为V=计算随机向量[X+Y,X—Y〕的协差矩阵解：DX=4,DY=9,COV(X,Y)=6D(X+Y)=DX+DY+2COV(X,Y)=25D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=1COV〔X+Y,X—Y〕=DX-DY=5„ ……125-5)故［X+Y,X—Y〕的协差矩阵1—3 1)练习：随机向量〔X,Y〕服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为|1=O2|1=O21poO1 2poo1 2O22计算随机向量〔9X+Y,X—Y〕的协差矩阵解：E(9X+Y)=9EX+EY=9ui+u2E(X—Y)=EX-EY=%—%D(9X+Y)=81DX+DY+18C0V(X,Y)=81。j+18Poxo2+o22D(X—Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=。2P。］。？+。22COV〔9X+Y,x—Y〕=9DX-DY—8coV(X,Y)=9。j—8p° 2~0然后写出它们的矩阵形式〔略〕七、随机变量函数的密度函数例：设XU(0,2),那么Y=X2在(0,4)内的概率密度/Jy)=〔L:44y1—,0<X<2解：vXU(0,2)'f(XXj20,othersF(y)=P{Y<y}=P{X2<y}=P{-x5<x<和}=Jy_f(x)dx,---yTOC\o"1-5"\h\z一1 一1 1求导出f(y)=f(、:y)『-f(-\；'y)(-『)=「YX\2yyX\ 2、,:y 4,,:y练习：设随机变量X在区间［1,2］上服从均匀分布，求Y=e2x的概率密度f(y)。，、1 ，、［答案：当e2<y<e4时，f(y):丁，当y在其他范围内取值时，f(y)=0.］2y八、中心极限定理例：设对目标独立地发射400发炮弹，每一发炮弹地命中率等于0.2。请用中心极限定理计算命中60发到100发的概率。解：设X表示400发炮弹的命中颗数，那么X服从B(400,0.2),EX=80，DX=64,

由中心极限定理：X服从正态分布N(80,64)P{60<X<100}=P{-2.5<(X-80)/8<2.5}=2<b练习：袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，-箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率。九、最大似然估计例：设总体X的概率密度为fM=0<x<1fM=其他其中未知参数6〉-1,X,X，…X是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求01 2 n的估计量。解：设似然函数灰(e)=FI(e+i)］。(o<%<1；i=1,2,•••,«)i ii=l对此式取对数，即：InL(6)=nln(0+l)+eZlnx且〃+ZInx，dB0+1ii=l i=ldJ, 人 fr令下一=o,可得e=-1-〒——,此即°的极大似然估计量。2Llnxiz=l例：设总体X的概率密度为\ 九QXa-ie-",X〉0/In八、/(、)=〈 ,(A>0,a>0)0 ,x<0据来自总体X的简单随机样本(X,X，…,X),求未知参数九的最大似然估计量。1 2 n“ ”、kaxa-ie-^^, %>0X〜于(x)=〈解：由 0，元V0得总体X的样本(XjX，,….x〃)的似然函数L(x,x ，九)二£九ax.—ie-九¥二(九e印［一九Zx1 2n i i ii=li=lz=li=l再取对数得:InL=〃ln(入a)-九Zx。+(a-l)2Lln(x)i=li=l

i=l再求lnL对九的导数:dlnLd九an九再求lnL对九的导数:dlnLd九an九a2aii=1dlnLann令,二石一乙xi=1=0n2aii=1所以未知参数九的最大似然估计量为Xxaii=1练习：设总体X的密度函数为f(x,a)=axa-10<x<1《0others（a〉0）X1，X2，…,Xn是取自总体X的一组样本，求参数a的最大似然估计十、区间估计总体X服从正态分布N(,2),X1，X2，…,Xn为X的一个样本1：。2,求U的置信度为1-a置信区间/oo、(X-u=,X+u—a而a.qn2：。2未知，求u的置信度为1-a置信区间S S(X-1(n-1)一,X+1(n-1)y)a nn a nn3：求。2置信度为1-a的置信区间(n-1)S2(n-1)S2( , )%2a(n-1) %21-a(n-1)22例：设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下：X=162.67,s2=18.43。求该校女生平均身高的95%的置信区间。_X-u解：T= =〜t(n-1),由样本数据得n=10,x=162.67,s2=18.43,a=0.05Snn查表得： t()=2.2622,故平均身高的95%的置信区间为

ss(X-1(9)y,X+1 (9)=)=(159.60,165.74)0.05 %n 0.05 nn例：从总体X服从正态分布N(u,。2)中抽取容量为10的一个样本，样本方差S2=0.07,试求总体方差。2的置信度为0.95的置信区间。(n-1)S2解：因为 〜X2(n-1)，所以。2的95%的置信区间为：O2(n-1)S2 (n-1)S2(r^i),r^i))，其中『07,区 1-汉22X2(n-1)=X2(9)=19.023,X 2(n-1)=X2(9)=2.70% 0.025 1—及 0.97522((n-1)S2 (n-1)S2)(9x0.079x0.07)，所以(X2(n-1)，X2(n-1))=19.023，2.70)% 1-%22=〔0.033,0.233〕例：某种材料的抗压强度X〜N(四,o2),现随机地抽取10个试件进展抗压试验，测得数据如下:482,493,457,471,510,446,435,418,394,469.⑴求平均抗压强度日的点估计值；⑵求平均抗压强度日的95%的置信区间；⑶假设o=30,求平均抗压强度日的95%的置信区间；(4)求o2的点估计值；⑸求o2的95%的置信区间；解:(1)U=X=457.50X-u(2)因为T=-n〜t(n-1),故参数目的置信度为0.95的置信区间是:,s=35.276,n=10,，一S,一、一S,…一一”{X-一t(n-1),X+-t(n-1)},,s=35.276,n=10,vn彳 工n彳查自由度为9的分位数表得,t0.05(9)=2.262,故S<nt(nS<nt(n-1),X+%St

v'na(n-1)}=TOC\o"1-5"\h\z35.22 35.22{457.50-义2.262,457.50+ *2.262}={432.30,482.70}、.10 vi0(3)假设。=30,那么平均抗压强度日的95%的置信区间为:{X-_Lu,X+-Lu}={457.50—三义1.96,457.50+4L义1.96}nn2 nn« ,10 <10={438.90,476.09}(4)£2=S2(5)因为(n-1)$2~12(n-1)，所以o2的95%的置信区间为：£2(n-1)S2 (n-1)S2{ , },其中S2=1240.28,X2(n-1)X2(n-1)a 1-a22X2(n-1)=X2(9)=19.023,X2(n-1)=X 2(9)=2.70，所以a 0.025 1-a 0.97522{(n-1)S2 (n-1)S2}9x1240.289x1240.24{X2(n-1)'X2(n-1)卜19.023'270}a 1一在22={586.79,4134.27}十一、假设检验L 方差。2,关于期望g的假设检验U=X一也〜N(0,1) (o为已知)o/..Jn 002．2．未知方差。2,关于期望"的假设检验T=— L^0_〜t(n-1)S/，.万3．3．未知期望如关于方差。2的假设检验(n-1)S2X2=-———〜X2(n-1)o20例：2),现在测定了9炉铁水，含碳量平均数X=4.445，样本方差S2=0.0169。假设总

体方差没有变化，即。2=0.121,问总体均值u有无显著变化？[a=0.05]解：原假设H0：ux-4.55统计量U=0山衿，当H0成立时，U服从N〔0，1〕对于a=0.05,U4.445—4.55U= =2.86〉1.9611 0.11/49故拒绝原假设，即认为总体均值U有显著变化练习：某厂生产某种零件，在正常生产的情况下，这种零件的轴长服从正态分布，均值为0.13厘米。假设从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得元=0.146厘米，S=0.016厘米。问该日生产得零件得平均轴长是否及往日一样？[a=0.05〕【不一样】例：设某厂生产的一种钢索，其断裂强度Xkg/cm2服从正态分布N(m402).从中选取一个容量为9的样本，得X=780kg/cm2.能否据此认为这批钢索的断裂强度为800kg/cm2(a=0.05).解：H0：u=800.X-u采用统计量U=其中。=40,u0=800,n=9,a=0.05，查标准正态分布表得U_aIUl<Ua,应承受原假设，即可以认为这批钢索的断裂强度为800kg/cm2.2练习：某厂生产铜丝，生产一向稳定。现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后-“_ _、2 经计算：X=287.5,占(X-X)=160.5。假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可相ii=1信该厂生产的铜丝的折断力方差为16?〔a=0.1〕【是】十二、证明题：例：总体X~U(0,20),其中0〉0是未知参数，又X,X，…,X为取自该总体的样本,X为样12n本均值.证明：0=2X是参数0的无偏估计.3 0k- 0证明：因为E0=：EX=：EX=330=0,故0=1X是参数u的无偏估