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文档简介
江苏省南通一中2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若x,y满足约束条件且的最大值为,则a的取值范围是()A. B. C. D.2.在声学中,声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).,,那么()A. B. C. D.3.已知是虚数单位,若,则()A. B.2 C. D.104.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一,其内容是:一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和,也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的,我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和,则拆成的和式中,加数全部为质数的概率为()A. B. C. D.5.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查,利用列联表,由计算得,参照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是()A.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星无关”D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星有关”6.已知集合,,则()A. B. C. D.7.在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一,但陀螺这个名词,直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1,粗线画出的是一个陀螺模型的三视图,则该陀螺模型的表面积为()A. B.C. D.9.已知,若方程有唯一解,则实数的取值范围是()A. B.C. D.10.如果,那么下列不等式成立的是()A. B.C. D.11.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷200个点,己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是()A. B. C.10 D.12.已知等比数列满足,,等差数列中,为数列的前项和,则()A.36 B.72 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若、满足约束条件,则的最小值为______.14.以,为圆心的两圆均过,与轴正半轴分别交于,,且满足,则点的轨迹方程为_________.15.数学家狄里克雷对数论,数学分析和数学物理有突出贡献,是解析数论的创始人之一.函数,称为狄里克雷函数.则关于有以下结论:①的值域为;②;③;④其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号)16.如图,在直四棱柱中,底面是平行四边形,点是棱的中点,点是棱靠近的三等分点,且三棱锥的体积为2,则四棱柱的体积为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)己知等差数列的公差,,且,,成等比数列.(1)求使不等式成立的最大自然数n;(2)记数列的前n项和为,求证:.18.(12分)在如图所示的几何体中,面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=2BC,点Q为AE的中点.(1)求证:AC//平面DQF;(2)若∠ABC=60°,AC⊥FB,求BC与平面DQF所成角的正弦值.19.(12分)如图,设点为椭圆的右焦点,圆过且斜率为的直线交圆于两点,交椭圆于点两点,已知当时,(1)求椭圆的方程.(2)当时,求的面积.20.(12分)已知中,角,,的对边分别为,,,已知向量,且.(1)求角的大小;(2)若的面积为,,求.21.(12分)等差数列的前项和为,已知,.(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和为;(Ⅱ)设为数列的前项的和,求证:.22.(10分)已知等差数列的公差,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值,判断a的范围即可.【详解】作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为的最大值为,所以在点处取得最大值,则,即.故选:A【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.2、D【解析】
由得,分别算出和的值,从而得到的值.【详解】∵,∴,∴,当时,,∴,当时,,∴,∴,故选:D.【点睛】本小题主要考查对数运算,属于基础题.3、C【解析】
根据复数模的性质计算即可.【详解】因为,所以,,故选:C【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质,属于容易题.4、A【解析】
列出所有可以表示成和为6的正整数式子,找到加数全部为质数的只有,利用古典概型求解即可.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知,所求概率为.故选:A.【点睛】本题主要考查了古典概型,基本事件,属于容易题.5、B【解析】
通过与表中的数据6.635的比较,可以得出正确的选项.【详解】解:,可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”,故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题,属于基础题.6、B【解析】
求出集合,利用集合的基本运算即可得到结论.【详解】由,得,则集合,所以,.故选:B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,利用函数的性质求出集合是解决本题的关键,属于基础题.7、D【解析】
将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果.【详解】,对应的点位于第四象限.故选:.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.8、C【解析】
根据三视图可知,该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成,由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为,底面周长为,侧面积为,下面圆锥的母线长为,底面周长为,侧面积为,没被挡住的部分面积为,中间圆柱的侧面积为.故表面积为,故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化,考查三视图还原为原图,考查几何体表面积的计算,属于基础题.9、B【解析】
求出的表达式,画出函数图象,结合图象以及二次方程实根的分布,求出的范围即可.【详解】解:令,则,则,故,如图示:由,得,函数恒过,,由,,可得,,,若方程有唯一解,则或,即或;当即图象相切时,根据,,解得舍去),则的范围是,故选:.【点睛】本题考查函数的零点问题,考查函数方程的转化思想和数形结合思想,属于中档题.10、D【解析】
利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.【详解】∵,∴,,,.故选:D.【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小,考查不等式的性质,属于基础题.11、D【解析】
直接根据几何概型公式计算得到答案.【详解】根据几何概型:,故.故选:.【点睛】本题考查了根据几何概型求面积,意在考查学生的计算能力和应用能力.12、A【解析】
根据是与的等比中项,可求得,再利用等差数列求和公式即可得到.【详解】等比数列满足,,所以,又,所以,由等差数列的性质可得.故选:A【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质,考查等差数列的求和公式,考查学生的计算能力,是中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
作出不等式组所表示的可行域,利用平移直线的方法找出使得目标函数取得最小时对应的最优解,代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,解得,即点,平移直线,当直线经过可行域的顶点时,该直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故答案为:.【点睛】本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值问题,考查数形结合思想的应用,属于基础题.14、【解析】
根据圆的性质可知在线段的垂直平分线上,由此得到,同理可得,由对数运算法则可知,从而化简得到,由此确定轨迹方程.【详解】,,和的中点坐标为,且在线段的垂直平分线上,,即,同理可得:,,,点的轨迹方程为.故答案为:.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题,关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出满足的方程,由此得到结果.15、②【解析】
根据新定义,结合实数的性质即可判断①②③,由定义求得比小的有理数个数,即可确定④.【详解】对于①,由定义可知,当为有理数时;当为无理数时,则值域为,所以①错误;对于②,因为有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,所以满足,所以②正确;对于③,因为,当为无理数时,可以是有理数,也可以是无理数,所以③错误;对于④,由定义可知,所以④错误;综上可知,正确的为②.故答案为:②.【点睛】本题考查了新定义函数的综合应用,正确理解题意是解决此类问题的关键,属于中档题.16、12【解析】
由题意,设底面平行四边形的,且边上的高为,直四棱柱的高为,分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积,即可求解。【详解】由题意,设底面平行四边形的,且边上的高为,直四棱柱的高为,则直四棱柱的体积为,又由三棱锥的体积为,解得,即直四棱柱的体积为。【点睛】本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题,其中解答中正确认识几何体的结构特征,合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键,着重考查了推理与运算能力,以及空间想象能力,属于中档试题。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)证明见解析【解析】
(1)根据,,成等比数列,有,结合公差,,求得通项,再解不等式.(2)根据(1),用裂项相消法求和,然后研究其单调性即可.【详解】(1)由题意,可知,即,∴.又,,∴,∴.∴,∴,故满足题意的最大自然数为.(2),∴...从而当时,单调递增,且,当时,单调递增,且,所以,由,知不等式成立.【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.18、(1)见解析(2)【解析】
(1)连接交于点,连接,通过证明,证得平面.(2)建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量和平面的法向量,计算出线面角的正弦值.【详解】(1)证明:连接交于点,连接,因为四边形为正方形,所以点为的中点,又因为为的中点,所以;平面平面,平面.(2)解:,设,则,在中,,由余弦定理得:,.又,平面..平面.如图建立的空间直角坐标系.在等腰梯形中,可得.则.那么设平面的法向量为,则有,即,取,得.设与平面所成的角为,则.所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查线面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19、(1)(2)【解析】
(1)先求出圆心到直线的距离为,再根据得到,解之即得a的值,再根据c=1求出b的值得到椭圆的方程.(2)先求出,,再求得的面积.【详解】(1)因为直线过点,且斜率.所以直线的方程为,即,所以圆心到直线的距离为,又因为,圆的半径为,所以,即,解之得,或(舍去).所以,所以所示椭圆的方程为.(2)由(1)得,椭圆的右准线方程为,离心率,则点到右准线的距离为,所以,即,把代入椭圆方程得,,因为直线的斜率,所以,因为直线经过和,所以直线的方程为,联立方程组得,解得或,所以,所以的面积.【点睛】本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系,考查椭圆的方程的求法,考查三角形面积的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.20、(1);(2).【解析】试题分析:(1)利用已知及平面向量数量积运算可得,利用正弦定理可得,结合,可求,从而可求的值;(2)由三角形的面积可解得,利用余弦定理可得,故可得.试题解析:(1)∵,,,∴,∴,即,又∵,∴,又∵,∴.(2)∵,∴,又,即,∴,故.21、(Ⅰ),(Ⅱ)见解析【解析】
(Ⅰ)根据等差数列公式直接计算得到答案.(Ⅱ),根据裂项求和法计算得到得到证明.【详解】(Ⅰ)等差数列的公差为,由,得,,即,,解得,.∴,.(Ⅱ),∴,∴,
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