建筑力学课件：组合变形杆的应力计算

组合变形杆件的应力计算6.1概述6.2斜弯曲6.3拉伸（压缩）与弯曲组合变形6.4偏心拉伸（压缩）6.5弯曲与扭转组合变形在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。MPRzxyPP§6-1概述组合变形的研究方法——

叠加原理①外力分析：外力向形心(或弯心)简化并沿形心主惯性轴分解②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。一、

应力分析式中，表示力F在横截面m—m上的总弯矩。

§6-2斜弯曲横截面m—m上任意点处由弯矩My和Mz引起的正应力分别为于是，在F1和F2作用下，横截面m—m上K点的正应力可以根据叠加原理求得：二、

变形分析一、杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的变形PR

以图(a)中的起重机横梁AB为例，其受力简图如图(b)所示。轴向力FAx和FBx引起压缩，横向力FAy、W、FBy引起弯曲，所以AB杆即产生压缩与弯曲的组合变形。若AB杆的抗弯刚度较大，弯曲变形很小，则可略去轴向力因弯曲变形而产生的弯矩。这样，轴向力就只引起压缩变形，不引起弯曲变形，叠加原理就可以应用了。§6-3拉伸（压缩）与弯曲组合变形10

[例]

最大吊重G＝8kN的起重机如图(a)所示(单位：mm)。若AB杆为工字钢，材料为Q235钢，＝100MPa，试选择工字钢型号。

解

AB杆的受力简图如图(b)所示，设CD杆的拉力为F，由平衡方程得解得

42kN

把F分解为沿AB杆轴线的分量Fx和垂直于AB杆轴线的分量Fy，可见AB杆在AC段内产生压缩与弯曲的组合变形。且有作出AB杆的弯矩图和AC段的轴力图，如图(c)所示。从图中可以看出，C点截面左侧，其弯矩值为最大，而轴力与其它截面相同，故为危险截面。开始试算时，可以先不考虑轴力Fx的影响，只根据弯曲强度条件选取工字钢。这时截面系数为

W≥

查型钢表C，选取16号工字钢，其W＝141cm3，A＝26.1cm2。选定工字钢后，同时考虑轴力Fx及弯矩M，再进行强度校核。在危险截面C的下边缘各点上发生最大压应力，且为

结果表明，最大压应力与许用应力接近相等，故无需重新选取截面的型号。

PxyzPMyxyzPMyMz如果外力的作用线平行于杆件的轴线，但不通过杆件横截面的形心，则将引起偏心拉伸(压缩)。

1、分解：

§6-4偏心拉伸（压缩）PMZMyxyzz

y2、应力分析：PMyMz4、危险点（距中性轴最远的点）3、中性轴方程对于偏心拉压问题中性轴P（zP，

yP）yzyz解：两柱横截面上的最大正应力均为压应力[例]图示不等截面与等截面柱，受力P=350kN，试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。图（1）图（2）MPPd..P300200200P200200

弯曲与扭转的组合变形在机械工程中是常见的。下面以操纵手柄为例来说明这类组合变形时应力及其强度的计算方法。图

a)所示为一钢制手柄，AB段是直径为d的等直圆杆，A端的约束可视为固定端，BC段长度为a。现在来讨论在C端铅垂力FP作用下，AB杆的受力情况。将FP力向AB杆B端的形心简化，即可将外力分为横向力FP及作用在杆端平面内的力矩Mx＝FPa，其受力情况如图

b)所示。它们分别使AB杆发生扭转和弯曲变形。

§6-5弯曲与扭转组合变形

用截面法可计算出AB杆横截面上的弯矩M和扭矩MT，其M图和MT图分别如图c)和d)所示。因为A截面上内力最大，该截面为危险截面，其内力值分别为弯矩M＝FPl，扭矩MT＝FPa。在危险截面A上，与弯矩M相对应的弯曲正应力，在y轴方向的直径上下两端点1和2处最大(图e))；与扭矩MT相对应的扭转切应力在横截面的周边各点处最大(图f))。所以在1和2两点处的应力和，都为最大值，称其为危险截面上的危险点。现取其中的1点来研究，如图g)所示(图h)为其平面图)。作用在1点上的正应力和切应力，分别按弯曲正应力公式和扭转切应力公式来计算。其值为

很明显，1点处于二向应力状态，需要采用适当的强度理论来进行强度计算。首先，计算1点的主应力。利用公式可得

然后，选用强度理论建立强度条件。因手柄用钢材制成，应选用第三或第四强度理论。若采用第三强度理论，可得其强度条件为

≤

若采用第四强度理论，可将上述三个主应力代入公式，其强度条件成≤若将式代入上两式，并注意到对圆截面杆有WP＝2W，则以上两式改写成≤

≤式中的M和MT分别为圆截面杆危险截面上的弯矩和扭矩。下面举例说明怎样利用这些理论对圆截面钢轴进行强度计算

[例]

电动机带动一圆轴AB，在轴中点处装有一重G＝5kN、直径D＝1.2m的胶带轮(图a))，胶带紧边的拉力F1＝6kN，松边的拉力F2＝3kN。若轴的许用应力＝50MPa，试按第三强度理论求轴的直径d。解把作用于轮子上的胶带拉力F1、F2向轴线简化，如图b)所示。由受力简图可见，轴受铅垂方向的力为

F＝G+F1+F2＝(5+6+3)kN＝14kN

该力使轴发生弯曲变形。同时轴又受由胶带的拉力产生的力偶矩为

kN·m

该力偶矩使轴发生扭转变形。所以轴发生扭转和弯曲的组合变形。

根据横向力作出的弯矩图如图c)所示。最大弯矩在轴的中点截面上，其值为

kN·m

根据扭转外力偶矩M，作出的扭矩图如图d)所示。扭矩为

kN·m

由此可见，轴中间截面右侧为危险截面。按第三强度理论的强度条件，有≤代入相应数据得≤故得

≥

m＝98mm。

①外力分析：外力向形心简化并分解。②内力分析：每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定