江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高二(上)数学第14周阶段性训练模拟练习(含解析)_第1页
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文档简介

江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高二(上)数学第14周阶段性训练模拟练习一.选择题(共6小题)1.在平面直角坐标系xOy中,直线l:mx+y﹣m=0被圆M:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0截得的最短弦的长度为()A. B.2 C. D.42.已知平面α={P|•=0},其中点P0(1,2,3),法向量=(1,1,1),则下列各点中不在平面α内的是()A.(3,2,1) B.(﹣2,5,4) C.(﹣3,4,5) D.(2,﹣4,8)3.在平面直角坐标系xOy中,已知一动圆P经过A(﹣1,0),且与圆C:(x﹣1)2+y2=9相切,则圆心P的轨迹是()A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线4.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=CC1=2,M是A1B1的中点,以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.若,则异面直线CM与A1B所成角的余弦值为()A. B. C. D.5.对任意数列{an},定义函数F(x)=a1+a2x+a3x2+⋯+anxn﹣1(n∈N*)是数列{an}的“生成函数”.已知F(1)=n2,则=()A. B. C. D.6.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=4y,过点A(0,a)的直线交C于P,Q两点,若为常数,则实数a的值为()A.1 B.2 C.3 D.4二.多选题(共4小题)(多选)7.如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,已知AB=AD=AA1=1,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,E为棱CC1上一点,且,则()A.A1E⊥BD B.A1E⊥平面BDD1B1 C. D.直线BD1与平面ACC1A1所成角为(多选)8.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,点A,B为C上异于O不同两点,故OA,OB的斜率分别为k1,k2,T是C的准线与x轴的交点.若k1k2=﹣4,则()A.以AB为直径的圆与C的准线相切 B.存在k1,k2,使得|AB|= C.△AOB面积的最小值为 D.(多选)9.如图,已知四面体ABCD的所有棱长都等于2,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则()A. B. C. D.(多选)10.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,直线l:x+y+4=0与C没有公共点,且C上至少有一个点到l的距离为,则C的短轴长可能是()A.1 B.2 C.3 D.4三.填空题(共5小题)11.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,2),记抛物线C:y2=4x上的动点P到准线的距离为d,则d﹣|PA|的最大值为.12.已知圆台的高为2,上底面圆O1的半径为2,下底面圆O2的半径为4,A,B两点分别在圆O1、圆O2上,若向量与向量的夹角为60°,则直线AB与直线O1O2所成角的大小为.13.函数y=[x]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域,其中[x]为不超过实数x的最大整数,例如:[﹣1]=﹣1,[4.2]=4.已知数列{an}的通项公式为an=[log2(2n+1)],设{an}的前n项和为Sn,则使得Sn≤300的最大正整数n的值为.14.已知数列{an}的前n项和为Sn,若{an}与均为等差数列且公差不为0,则的值为.15.在平面直角坐标系xOy中,已知A(﹣1,﹣1),B(1,﹣1),C(0,﹣2),直线AM,BM相交于点M,且AM与BM的斜率之差为2,则|MC|的最小值为.四.解答题(共7小题)16.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点E,F分别为线段AB,AC上的动点(不含端点),且AF=BE,B1F⊥C1E.(1)求该直三棱柱的高;(2)当三棱锥A1﹣AEF的体积最大时,求平面A1EF与平面ACC1A1夹角的余弦值.17.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,焦距为.(1)求C的标准方程;(2)若斜率为的直线l(不过原点O)交C于A,B两点,点O关于l的对称点P在C上,求四边形OAPB的面积.18.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:的右焦点为F(2,0),左、右顶点分别为A1,A2,过F且斜率不为0的直线l与C的左、右两支分别交于P、Q两点,与C的两条渐近线分别交于D、E两点(从左到右依次为P、D、E、Q),记以A1A2为直径的圆为圆O.(1)当l与圆O相切时,求|DE|;(2)求证:直线A1Q与直线A2P的交点S在圆O内.19.在①S3=9,S5=25;②d=2,且S1,S2,S4成等比数列;③Sn=3n2﹣2n这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答该问题.记等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,已知_____.(1)求{an}的通项公式;(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.20.在平面直角坐标系xOy中,已知点,设动点P到直线的距离为d,且.(1)记点P的轨迹为曲线C,求C的方程;(2)若过点F且斜率为k(k>0)直线l交C于A,B两点,问在y轴上是否存在点D,使得△ABD为正三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.21.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线的左顶点为A,右焦点为F,离心率为2,且经过点(4,6),点P(x0,y0)是双曲线右支上一动点,过三点A,P,F的圆的圆心为C,点P,C分别在x轴的两侧.(1)求Γ的标准方程;(2)求x0的取值范围;(3)证明:∠ACF=3∠PCF.22.已知数列{an}中的各项均为正数,a1=2,点在曲线上,数列{bn}满足,记数列{bn}的前n项和为Sn.(1)求{bn}的前2n项和S2n;(2)求满足不等式S2n≤b2n﹣1的正整数n的取值集合.

参考答案与试题解析一.选择题(共6小题)1.【解答】解:直线l:mx+y﹣m=0过定点A(1,0),圆M:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0化为圆M:(x﹣2)2+(y﹣1)2=4,可知圆的圆心M(2,1),半径R=2,因为点A(1,0)在圆M内,如图,由圆的几何性质可知,当AM⊥直线l时,弦长最短为.故选:C.2.【解答】解:对于A,=(2,0,﹣2),=1×2+1×0+1×(﹣2)=0,故选项A在平面α内;对于B,=(﹣3,3,1),=1×(﹣3)+1×3+1×1=1≠0,故选项B不在平面α内;对于C,=(﹣4,2,2),=1×(﹣4)+1×2+1×2=0,故选项C在平面α内;对于D,=(1,﹣6,5),=1×1+1×(﹣6)+1×5=0,故选项D在平面α内.故选:B.3.【解答】解:根据题意,可知点A(﹣1,0)位于圆C:(x﹣1)2+y2=9的内部,所以圆P与圆C内切,且圆P在圆C的内部,作出圆C过切点Q的半径CQ,则根据两圆内切的关系,得到点P在CQ上,因为QC=PQ+PC=3,且PA=PQ,所以PA+PC=3,根据AP+PC=3>AC=2,可知点P轨迹是以A、C为焦点的椭圆.故选:B.4.【解答】解:由题意得,设CB=t>0,则有,,由得.,∴.故异面直线CM与A1B所成角的余弦值为.故选:A.5.【解答】解:因为,且F(1)=n2,所以①,当n=1可得a1=1,当n≥2时a1+a2+...+an﹣1=(n﹣1)2②,①﹣②得,显然当n=1时上式也成立,所以an=2n﹣1,所以,则,所以=,所以.故选:D.6.【解答】解:当过点A(0,a)的直线斜率不存在时,此时直线与抛物线C:x2=4y只有1个交点,不合要求,舍去;当直线斜率存在时,设直线方程为y=kx+a,联立,可得x2﹣4kx﹣4a=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=﹣4a,∴,同理可得:,故,要想为常数,与k无关,故为定值,所以8a=16,解得a=2,此时,满足要求.故选:B.二.多选题(共4小题)7.【解答】解:在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,E为棱CC1上一点,且,对于A,由题意知△A1AB≌△A1AD,∴A1D=A1B,设AC∩BD=O,O为BD中点,连接A1O,则A1O⊥BD,∵四边形ABCD为菱形,∴BD⊥AC,∴BD⊥平面A1ACC1,∵A1E⊂平面A1ACC1,∴A1E⊥BD,故A正确;对于B,∵,∴,∴与不垂直,即与不垂直,∴A1E与平面BDD1B1不垂直,故B错误;对于C,,∴=,故C正确对于D,由A知BD⊥平面A1ACC1,∴直线BD1与平面ACC1A1所成角即为直线BD1与BD所成角的余角,,∵,∴,∴直线BD1与BD所成角为,∴直线BD1与平面ACC1A1所成角为,故D正确.故选:ACD.8.【解答】解:抛物线C:y2=2x的焦点为F(,0),p=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),则,得:,故直线AB过焦点F,点T和点F重合,选项D正确;由抛物线的性质得|AF|=x1+,|BF|=x2+,|AB|=x1+x2+1,线段AB的中点M到准线的距离为==,所以以AB为直径的圆与C的准线相切,选项A正确;|AB|≥2p=2,故选项B正确;设直线AB的倾斜角为θ,则,选项C错误.(或当AB为通径时,,故选项C错误).故选:ABD.9.【解答】解:由题意得:四面体ABCD为正四面体,故∠BAC=∠CBD=60°,故,∴A正确;因为E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,所以FG∥AC,EF∥BD,且,,故,∴B错误;∵,∴C正确;取BD的中点H,连接AH,CH,因为△ABD,△BCD均为等边三角形,所以AH⊥BD,且CH⊥BD,因为AH∩CH=H,且AH,CH⊂平面ACH,所以BD⊥平面ACH,又AC⊂平面ACH,所以BD⊥AC,所以EF⊥FG,故,D正确.故选:ACD.10.【解答】解:依题意,椭圆的离心率,解得a2=3b2,椭圆C的方程为x2+3y2=3b2,设椭圆C上的点,直线l:x+y+4=0与C没有公共点,即方程组无实数解,因此方程4x2+24x+48﹣3b2=0无实根,有Δ=242﹣48(16﹣b2)<0,即b2<4,解得0<b<2,因为C上至少有一个点到l的距离为,则有点P到直线l的距离d的最小值不大于,,当且仅当,即时取等号,于是得,从而1≤b<2,有2≤2b<4,显然选项A,D不满足,选项B,C满足.故选:BC.三.填空题(共5小题)11.【解答】解:抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),由抛物线的定义知d=|PF|,所以d﹣|PA|=|PF|﹣|PA|≤|AF|==,当点P位于射线FA与抛物线交点时,取最大值.答案为:.12.【解答】解:作出示意图形,如下图所示,向量与向量的夹角为60°,结合O1A∥O2C,得∠BO2C=60°,所以△BO2C为等边三角形,设点A在圆O2所在平面内的射影为D,连接AD、BD,则AD与O1O2平行且相等,且D为O2C中点,∠BAD(或其补角)就是异面直线AB与直线O1O2所成角,Rt△BCD中,,在Rt△ADB中,AD=O1O2=2,得,所以,即直线AB与直线O1O2所成角为.故答案为:.13.【解答】解:an=[log2(2n+1)],可得=[log2(2k+1)]=k,,故2k﹣1≤n<2k时,an=k,共2k﹣2k﹣1=2k﹣1项,其和为k•2k﹣1=(k﹣1)•2k﹣(k﹣2)•2k﹣1,,则S63=(6﹣1)×26+1=321>300,又32≤n≤63时,an=6,故S60=303,S59=297,因此,所求正整数n的最大值为59.故答案为:59.14.【解答】解:设数列{an}的公差为d,则an=a1+(n﹣1)d,,因为数列是等差数列,则有,即,化简整理得:,解得a1=d,显然d>0,an=nd与均为等差数列,,则,所以的值为2.故答案为:2.15.【解答】解:设M(x,y)(x≠±1),则,,所以,即y=﹣x2,即动点M的轨迹方程为y=﹣x2,(x≠±1),所以,所以当时.故答案为:.四.解答题(共7小题)16.【解答】解:(1)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∵∠BAC=90°,∴AB,AC,AA1两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵AB=AC=2,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),设AA1=a(a>0),则A1(0,0,a),B1(2,0,a),C1(0,2,a),设AF=BE=λ(0<λ<2),则E(2﹣λ,0,0),F(0,λ,0),∴,,∵B1F⊥C1E,∴,即2λ﹣4﹣2λ+a2=0,解得:a=2,即该直三棱柱的高为2;(2)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,有AA1⊥平面AEF,又∠BAC=90°,由(1)知AA1=2,AE=BE=λ(0<λ<2),∴,当且仅当λ=1时取“=”,即点E,F分别为线段AB,AC的中点时,三棱锥A1﹣AEF的体积最大,此时E(1,0,0),F(0,1,0),A1(0,0,2),∴,,设平面A1EF的法向量为,则,即,取z=1,则,又平面ACC1A1的一个法向量为,所以,因为平面A1EF与平面ACC1A1的夹角θ为锐角,所以.17.【解答】解:(1)由题意,所以,又因为a=2b,所以a=4,b=2,所以C的标准方程为.(2)设直线l:(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3).将代入C:中,化简整理得x2+2mx+2m2﹣8=0,于是有所以=,因为点O关于l的对称点为P,所以解得,即,因为P在C上,所以,解得.又因为点O到直线l的距离,所以由对称性得=.18.【解答】解:(1)因为F(2,0),所以a2+(a2+2)=4,所以a2=1,所以圆O的半径r=1,由题意知l的斜率存在,设l:y=k(x﹣2)(k≠0),当l与圆O相切时,O到l的距离d=r,即,解得,由得(k2﹣3)x2﹣4k2x+4k2=0,即2x2+x﹣1=0,解得xD=﹣1,,所以.(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(k2﹣3)x2﹣4k2x+4k2+3=0,此时k≠0,Δ>0,,解得0<k2<3,且所以,因为A1(﹣1,0),A2(1,0),所以A1Q:,A2P:,联立A1Q,A2P方程,消去y得.所以,即,所以.将代入A2P方程,得,即.因为x1<﹣1,所以,所以,即直线A1Q,A2P的交点S在圆O内.19.【解答】解:(1)若选条件①S3=9,S5=25,则,解得,∴an=2n﹣1;若选条件②d=2,且S1,S2,S4成等比数列,则,∴,解得a1=1,∴an=2n﹣1;若选条件③Sn=3n2﹣2n,当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,.又a1=1满足上式,∴an=6n﹣5.(2)若选条件①②,由(1)知,∴,∴数列{bn}的前n项和;若选条件③,由(1)知,∴,∴数列{bn}的前n项和.20.【解答】解:(1)设点P(x,y),∵,∴,化简可得x2+4y2=4,∴C的方程为;(2

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