2024-2025学年广东省深圳市九年级上学期10月月考数学试题及答案

试题PAGE1试题2024-2025学年九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.下列方程中，关于x的一元二次方程是(

)A.x−1x+2=0 B.x2+2x+y=0 3.用配方法解一元二次方程x2−4x−5=0的过程中，配方正确的是(

)A.(x+2)2=1 B.(x−2)2=14.下列命题中正确的是(

)A.有一组邻边相等的四边形是菱形 B.有一个角是直角的平行四边形是矩形

C.对角线垂直的平行四边形是正方形 D.一组对边平行的四边形是平行四边形5.菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为(

)A.16 B.12 C.12或16 D.无法确定6.扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm，则可列方程为( )

A.(30−x)(20−x)=34×20×30 7.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6.E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为(

)A.2.4

B.3

C.4.8

D.48.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B(4,3)，点D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接OE，则OE的最小值为(

)A.1

B.1.5

C.2

D.2.4二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9.若x=−1是关于x的一元二次方程ax2+bx−1=0的一个根，则2022+2a−2b的值为______10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=6，∠AOD=120∘，则AC的长为______.

11.关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有实数根，则k的取值范围是______12.如图，已知线段AB=6，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点D，在直线EF上取一点C使CD=AB，连接AC、BC，点G为AC的中点，连接DG，则△ADG的周长是______.

13.如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边BC上一动点(不与点B，C重合)，过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，连接AF，则△CEF面积的最大值为______.

三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题12分)

用适当的方法解下列方程.

(1)4(x−1)2=9；

(2)x2+4x−5=0(配方法)；15.(本小题6分)

已知关于x的一元二次方程(a+c)x2−2bx−a+c=0，其中a，b，c为△ABC的三边.

(1)若x=1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由16.(本小题7分)

如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF.

(1)求证：四边形ADFE是矩形；

(2)连接OF，若AD=4，EC=3，∠BAE=30∘，求OF的长度17.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AC=BC，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.

(1)作出线段BC的中点F(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；

(2)根据(1)中作图，连接DF.求证：四边形DECF是菱形.

(3)若AB=10，BC=13，求四边形DECF的面积.18.(本小题9分)

根据以下素材，探索完成任务1、任务2和任务3：主题：奶茶销售方案制定问题当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”.素材1两款奶茶配料表如下：芝士杨梅配料a元/杯芝士100ML/杯茉莉清茶400ML/杯杨梅肉多肉满杯杨梅配料b元/杯茉莉清茶500ML/杯杨梅肉多肉素材26月1日当天，为了庆祝“6.1儿童节”，购买了这两款爆款奶茶：

1班购买30杯“芝士杨梅”和20杯“满杯杨梅”共花费1010元；

2班购买20杯“芝士杨梅”和30杯“满杯杨梅”共花费990元.素材3经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280杯，7月份的销售量为2000杯；而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯.素材4由于芝士保质期将至，为了去库存，决定8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知每杯奶茶的成本为9元.经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100杯.问题解决任务1确定奶茶的售价每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？任务2确定奶茶的销售量月平均增长率该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？任务3拟定降价幅度为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？19.(本小题9分)

如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=5cm，BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？

(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？

(3)如果P、Q分别从A、B同时出发，△PBQ的面积能否等于8cm2？说明理由．由此思考：

20.(本小题10分)

【综合与实践】

【问题背景】几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘.我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢？

【问题解决】下面是两位同学的转化方法：

方法1：如图1，连接四边形ABCD的对角线AC，BD，分别过四边形ABCD的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形EFGH，易证四边形EFGH是平行四边形.

(1)请直接写出S四边形ABCD和S四边形EFGH之间的数量关系：______.

方法2：如图2，取四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，可以得出S四边形ABCD=2S四边形EFGH.

(2)求证：四边形EFGH是平行四边形；

【实践应用】如图3，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状.

(3)请问能否实现这一设想？若能，请你画出你设计的图形；若不能，请说明理由.

(4)已知，在四边形池塘ABCD中，对角线AC与BD交于点O.AC=8cm，BD=6cm，∠AOB=60答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、该图能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B.

把一个图形绕某一点旋转2.【答案】D

【解析】解：A.该方程是分式方程，故不符合题意；

B.该方程是是二元二次方程，故不符合题意；

C.该方程中当a≠0时才是一元二次方程，故不符合题意；

D.是一元二次方程，故符合题意．

故选：D.

根据一元二次方程的定义判断即可．

本题主要考查了一元二次方程的定义理解，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．3.【答案】D

【解析】解：移项得：x2−4x=5，

配方得：x2−4x+22=5+22，

4.【答案】B

【解析】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；

B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项正确；

C、对角线垂直的平行四边形可能是菱形，故选项错误；

D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．

故选：B.

分析：

利用特殊四边形的判定定理对选项逐一判断后即可得到正确的选项．

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．5.【答案】A

【解析】【分析】

此题是菱形的性质题，主要考查了菱形性质，三角形的三边关系，一元二次方程的解法，解本题的关键是确定出菱形的边长，难点是用三角形的三边关系判断符合条件的x的值，也是易错点．

先求出方程x2−7x+12=0的两个根，再根据三角形的三边关系判断出符合题意的菱形的边AB，即可求出菱形的周长，

【解答】

解：∵x2−7x+12=0，

∴(x−3)(x−4)=0，

∴x1=3，x2=4，

当x1=3时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边3，3不能组成三角形，即不存在菱形，舍去；

当x26.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．

根据空白区域的面积=34×矩形空地的面积可得．

【解答】解：由题意可列方程为(30−2x)(20−x)=7.【答案】A

【解析】解：连接OE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OD=12BD=3，OC=12AC=4，

由勾股定理得CD=OD2+0C2=32+42=5，

又∵EF⊥OC，EG⊥OD，

∴四边形OFEG为矩形，

∴GF=OE，

当OE⊥CD时，OE值最小，

此时，S△OCD=12OC⋅OD=12CD⋅OE，

∴OE=OC⋅ODCD=4×35=2.4，

8.【答案】B

【解析】解：如图，以OA为边在OA右侧作等边三角形AGO，

∴∠OAG=60∘，

连接EG并延长交y轴于点M，过点O作OH⊥GM于点H，

在矩形ABCO中，

∵B(4,3)，

∴OA=BC=3，AB=OC=4，

∴OA=OG=AG=3，

∵△ADE是等边三角形，

∴AD=AE，∠DAE=60∘，

∴∠OAG=∠DAE=60∘，

∵∠OAD=∠OAG−∠DAG，∠GAE=∠DAE−∠DAG，

∴∠OAD=∠GAE，

在△ADO和△AEG中，

OA=GA∠OAD=∠GAEAD=AE，

∴△ADO≌△AEG(SAS)，

∴∠AOD=∠AGE=90∘，

∴∠AGM=90∘，

∴点E在过定点G且与AG垂直的直线上运动，即点E在直线MG上运动，

∵△OAG是等边三角形，

∴∠AGO=60∘，

∴∠OGH=30∘，

∵OH⊥GM，

∴OH=12OG=32，

当点E与H不重合时，OE>OH，

当点E与H重合时，OE=OH，

综上所述：OE≥OH，

∴OE的最小值为32，

故选：B.

以OA为边在OA右侧作等边三角形AGO，连接EG并延长交y轴于点M，过点O作OH⊥GM9.【答案】2024

【解析】解：∵x=−1是关于x的一元二次方程ax2+bx−1=0的一个根，

∴a−b−1=0，

∴a−b=1，

∴2022+2a−2b=2022+2(a−b)=2022+2×1=2024.

故案为：2024.

先根据一元二次方程的解的定义得到a+b=1，再把2022+2a−2b变形为2022+2(a−b)10.【答案】12

【解析】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，

∴OA=OB，AC=2AO，

∵∠AOD=120∘，

∴∠AOB=60∘

∴△AOB是等边三角形，

∴AO=AB=6，

∴AC=2AO=12.

故答案为：12.

由矩形的性质可得OA=OB，由∠AOD=120∘可得△AOB11.【答案】k≥−1且k≠0

【解析】解：根据题意得k≠0且Δ=22−4k×(−1)≥0，

解得k≥−1且k≠0，

即k的取值范围是k≥−1且k≠0.

故答案为：k≥−1且k≠0.

根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ=22−4k×(−1)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)12.【答案】3【解析】解：由题意知CD垂直平分AB，

则CA=CB,AD=BD=12AB=3,CD⊥AB，

∵CD=AB=6，

∴AC=AD2+CD2=35，

∵点G为AC的中点，

∴DG=AG=CG，

∴△ADG的周长=AD+AG+DG=AD+AG+CG=AD+AC=3+35.

故答案为：35+3.

利用基本作图得到CD垂直平分13.【答案】18【解析】解：作FH⊥BC于H，

∵正方形ABCD，

∴∠DCB=∠DCG=90∘，

∵过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，

∴∠FCG=45∘，

∴∠CFH=45∘，

∴FH=CH，

设CE=x，则BE=1−x，

∴EH=CE+CH=x+FH，

∵正方形ABCD，EF⊥AE，

∴∠B=∠AEF=90∘，

∴∠BAE+∠AEB=90∘，∠AEB+∠FEH=90∘，

∴∠BAE=∠FEH，

∵∠B=∠FHE=90∘，

∴△BAE∽△HEF；

∴ABEH=BEFH，

∴1x+FH=1−xFH，

∴FH=1−x，

∴S△ECF=12×CE×FH=12⋅x⋅(1−x)=−12(x14.【答案】解：(1)∵4(x−1)2=9，

∴(x−1)2=94，

则x−1=±32，

∴x1=52，x2=−12；

(2)∵x2+4x−5=0，

∴x2+4x=5，

则x2+4x+4=5+4，即(x+2)2=9，

∴x+2=±3，

解得x1=1，x2=−5；

(3)∵3(x−5)2=2(5−x)【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；

(2)利用配方法求解即可；

(3)(4)利用因式分解法求解即可．

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．15.【答案】解：(1)把x=1代入方程得，

a+c−2b−a+c=0，

化简得c=b，

则该三角形△ABC的形状为等腰三角形．

(2)由题意可得方程有两个相等的实数根，

则方程(a+c)x2−2bx−a+c=0的判别式，

Δ=(−2b)2−4a×(a+c)(−a+c)=0，

4b2−4×(c【解析】(1)根据方程的解把x=1代入方程得到c−b=0，即c=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；

(2)根据根的判别式得出a，b，c的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状．

本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．16.【答案】(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，

∴AB//DC且AB=DC，

∴∠ABE=∠DCF，

在△ABE和△DCF中，

AB=DC∠ABE=∠DCFBE=CF，

∴△ABE≌△DCF(SAS)，

∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=90∘，

∴AE//DF，

∴四边形ADFE是矩形；

(2)解：由(1)知：四边形ADFE是矩形，

∴EF=AD=4，

∵EC=3，

∴BE=CF=1，

∴BF=5，

Rt△ABE中，∠BAE=30∘，

∴AB=2BE=2，

∴DF=AE=AB2−BE2=【解析】(1)由在平行四边形性质得到AB//DC且AB=DC，由平行线的性质得到∠ABE=∠DCF，根据三角形的判定可证得△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质得到AE=DF，∠AEB=∠DFC=90∘，可得AE//DF，根据矩形的判定即可得到结论；

(2)由矩形的性质得到EF=AD=6，进而求得BE=CF=2，BF=8，由∠ABE=60∘可求得AB=2BE=4，由勾股定理可求得DF=AE=23，17.【答案】(1)解：如图，作线段BC的垂直平分线，交BC于点F，

则点F即为所求．

(2)证明：∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，

∴DF=12AC=CE，DE=12BC=CF，

∵AC=BC，

∴DF=CE=DE=CF，

∴四边形DECF是菱形．

(3)解：连接EF，

∵四边形DECF是菱形，

∴CD⊥EF.

∵E，F分别是AC，BC的中点，

∴EF=12AB=12×10=5.

∵AC=BC，

∴△ABC为等腰三角形，

∵点D是AB的中点，

∴BD=12【解析】(1)作线段BC的垂直平分线，交BC于点F，则点F即为线段BC的中点．

(2)结合三角形中位线定理可得DF=12AC=CE，DE=12BC=CF，进而可得DF=CE=DE=CF，则四边形DECF是菱形．

(3)连接EF，由菱形的性质可得CD⊥EF.根据三角形中位线定理可得EF=12AB=5，根据等腰三角形的性质可得CD⊥AB，利用勾股定理可得CD=18.【答案】解：任务1，设每杯“芝士杨梅”的售价是a元，每杯“满杯杨梅”的售价是b元，

由题意得：30a+20b=101020a+30b=990，

解得：a=21b=19，

答：每杯“芝士杨梅”的售价是21元，每杯“满杯杨梅”的售价是19元；

任务2，设该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是x，

由题意得：1280(1+x)2=2000，

整理得：(1+x)2=1.5625，

解得：x1=−2.25(不合题意，舍去)，x2=0.25=25%，

答：该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是25%；

任务3，设该款奶茶应该降价m元，则每杯的利润为(21−9−m)元，月销售量为(1600+100m)杯，

根据题意得：(21−9−m)(1600+100m)=16000，

整理得：m2+4m−32=0，

解得：m【解析】任务1，设每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价分别是a和b元，根据1班购买30杯“芝士杨梅”和20杯“满杯杨梅”共花费1010元；2班购买20杯“芝士杨梅”和30杯“满杯杨梅”共花费990元．列二元一次方程组，解方程组即可；

任务2，设该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是x，根据某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280杯，7月份的销售量为2000杯，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；

任务3，设款奶茶应该降价m元，则每杯的利润为(21−9−m)元，月销售量为(1600+100m)杯，根据使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．

本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：