电子科技大学电磁场与电磁波课件第一章+矢量分析1

第一章矢量分析1

概述场：物理量的空间分布。即：如果任一时刻、所在空间的每一点，某物理量都有一个确定的值，则称：该空间存在该物理量的场。矢量分析：00分析“场”的数学工具。本章重点：（概念、计算）1．亥姆霍兹定理（即：场的性质如何描述？）；2．标量场——梯度。3．矢量场——通量和散度、环量和旋度。

4.球坐标系、柱坐标系。2本章内容1.1矢量代数1.2三种常用的正交坐标系1.3

标量场的梯度1.4

矢量场的通量与散度1.5

矢量场的环流与旋度1.6

无旋场与无散场1.7

拉普拉斯运算与格林定理1.8

亥姆霍兹定理3一.物理量分类：标量、矢量矢量大小（模）：线的长度单位矢量：线的方向1.标量：只用大小描述的物理量。如：u、i、Q、W代数表示：1.1矢量代数2.矢量：既有大小又有方向的物理量。如：F、E、H用带箭头的字母或黑体字母表示。

矢量的表示：几何表示：用一条有方向的线段来表示。

注意：单位矢量不一定是常矢量。

矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。

4矢量的坐标表示：zxy51、矢量加、减法：

几何上：平行四边形法则,如图。

符合交换律和结合律：二.矢量的运算矢量的加法矢量的减法

直角坐标系中：结合律交换律62、矢量乘法（1）标量乘矢量：（2）矢量乘矢量：点积（标积）、叉积（矢积）、混合积标积符合交换律、结合律：q矢量与的夹角点积定义：例：7叉积定义：右手规则qsinABq矢量与的叉积用坐标分量表示为行列式形式：若，则若，则叉积仅服从分配律。8

混合运算：——分配律——分配律——标量三重积——矢量三重积9

三维空间点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。1.2

三种常用的正交坐标系

电磁理论中，常用的正交坐标系：

直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系。正交曲线坐标系：三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。101.直角坐标系

位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量：单位矢量

点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx范围：112.圆柱坐标系坐标变量：单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系（半平面）（圆柱面）（平面）范围：123.球坐标系坐标变量单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系（半平面）（圆锥面）（球面）范围：思考：计算圆柱、球的表面积、体积？13线元矢量体积元面元矢量144.坐标单位矢量之间的关系

直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系ofxy单位圆

直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系foqrz单位圆

柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系qq15例:已知,.

求:???161.3标量场的梯度物理量若是标量，称为标量场。

如：温度场、电位场、密度场等。物理量若是矢量，称该场为矢量场。

如：流速场、重力场、电场、磁场等。与时间无关的场，称为静态场，反之为时变场。从数学上看，场是空间位置和时间的函数：一、场的分类：标量场、矢量场。17二、场的几何描述：场图。标量场：等值面。矢量场：矢量线。场图的意义：描述场量在空间的整体变化趋势。18标量场的等值面

等值面:

场值相同的点形成的面。如：等温面、等高线等值面方程：C取一不同的值，得到一系列等值面，形成等值面族；充满场所在的整个空间；互不相交。

等值面特点：意义：帮助了解标量场在空间中的分布情况。A点高300B点高300A点比B点陡越密就越陡30040020010019例1-1求标量场,通过点M(1,0,1)的等值面方程。解：点M的坐标是x0=1,y0=0,z0=1，则该点的数量场值为其等值面方程为:即20矢量场的矢量线

矢量线：用一些有向矢量线来形象表示矢量在空间的分布。如静电场的电力线等。矢量线方程：矢量线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同矢量线特点：21A点受到向下电场力B点受到向下电场力A点比B点受到的力大越密矢量越大矢量线的作用：根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向；根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的大小及变化趋势。22例1-2

求矢量场的矢量线方程解：矢量线应满足的微分方程为从而有

c1和c2是积分常数。

23矢量线与矢径的关系式：力线图补充内容：关于矢量线：24三.方向导数意义：方向导数表示场沿某方向的对于距离的变化率。1.定义：

——u(M)沿方向增加；

——u(M)沿方向减小；

——u(M)沿方向无变化。

M0M方向导数的概念

252．计算公式直角坐标系中，设函数u=u(x,y,z)在M0(x0,y0,z0)处可微，则有

式中:当Δl→0时→0。两边同除以并取极限,得到方向导数计算公式：

其中:cosα,cosβ,cosγ为l方向的方向余弦。

可见：方向导数值与点M0及l方向都有关系。26梯度公式：圆柱坐标系

球坐标系直角坐标系

四.标量场的梯度（或）意义：描述标量场在某点的最大变化率及其所在的方向。1.定义：，其中

取得最大值的方向27方向导数的最大值及其方向：令：方向单位矢量矢量（梯度公式）（给定点处，为常矢量）则方向导数公式可表示为：可见:与方向相同时,即，则方向导数取最大值，即2、梯度公式28.梯度是矢量。.方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质：梯度运算的基本公式：.梯度垂直于过该点的等值面（或切平面）29

解

(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为

例1.2.1

设一标量函数

(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空间标量场。试求：

(1)

在点P(1,1,1)处的梯度，该梯度的单位矢量？(2)求

沿该单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。其单位矢量：30

(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为而该点的梯度值为

显然，梯度描述了P点处标量函数

的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。31例1.3.1已知证明：电磁场中，源点坐标（x’,y’,z’）、场点（x,y,z）.32一.矢量场的场图：矢量线。(1)矢量线的性质：线上各点处的切线方向为该点处矢量方向。例：电力线、磁力线、流速场中的流线等。根据矢量线的疏密情况，可判断出该矢量的整体变化趋势。（场线不会相交）+-1.4矢量场的通量与散度

33(2)矢量线方程：设：P点为矢量的矢量线上任一点，其位为。则P处的切线为：;根据矢量线定义，必有

直角坐标系中：

矢量线微分方程：图1.4矢量线

解该微分方程组，可得矢量线方程，从而描出矢量线。34例1.4.1设点电荷q位于坐标原点，则周围空间的场强为。求：场强E的矢量线方程？解：

35二.矢量场的通量

问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。

通量定义：其中：——面元矢量；——面积元的法向单位矢量；——穿过面元的通量。

如果曲面S是闭合的，则规定曲面法矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是面积元矢量36通过闭合曲面有净的矢量线穿出有净的矢量线进入进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的3种可能结果通量物理意义：反映了区域内场源的总体情况。37三.散度1.散度定义：称为矢量场的散度。物理意义：表示点P处单位体积内散发的通量（通量的体密度），反映该点处通量源的强度。（正通量源、负通量源）38圆柱坐标系球坐标系直角坐标系2.散度公式：散度的有关公式：39散度公式的推导

（直角坐标系）

由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为

不失一般性，令包围P点的微体积

V为直角六面体，如图。根据泰勒定理，有：oxy在直角坐标系中计算zzDxDyDP40根据散度定义，得：

同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P穿出该六面体的净通量为413.散度定理（高斯定理）体积的剖分VS1S2en2en1S散度定理是闭合面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。42散度定理的证明43

例球面S上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez。求：解：根据散度定理知所以441.5矢量场的环流与旋度

矢量场的2种源：通量源、旋涡源。

有的矢量场由通量源激发。如：电场旋涡源所激发的矢量场特点：力线是闭合的，场沿闭合路径的积分不为0；对于任何闭合曲面的通量为0。45

如：磁场沿任意闭合曲线的积分，与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即上式建立了磁场的环流与电流的关系。

磁感应线要么穿过曲面磁感应线要么同时穿入和穿出曲面磁感应线46.无旋场，又称为保守场：一.环流的定义矢量对闭合曲线C的线积分。.有旋场：。如：电流是磁场的旋涡源。环量的意义：反映闭合曲线内旋涡源的总体情况。47

意义：描述区域内各点处旋涡源的情况。二.旋度（）

1.环流面密度定义称为矢量场在点M处沿方向

的环流面密度。特点：其值与点M处的方向

有关。过点M作一微小曲面

S，其边界曲线记为C，曲面的法线方向与曲线的绕向成右手螺旋法则。当

S

0时，极限48大小：为M点的环流面密度最大值；方向：环量密度取最大值时面积元的法线方向。物理意义：描述了该点处旋涡源密度矢量。性质：2.旋度定义：49旋度计算公式：（推导忽略）直角坐标系圆柱坐标系球坐标系50旋度的有关公式：旋度的散度恒为0梯度的旋度恒为051三.斯托克斯定理斯托克斯定理是线积分与面积分之间的变换关系式，在电磁理论中有广泛应用。曲面的剖分方向相反大小相等结果抵消52例在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为求：自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度▽×E

？解:

531.矢量场的源不同性质的源，它们产生的场具有不同的性质。散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；

旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6无旋场与无散场542.矢量场按源的分类（1）无旋场：旋度处处为0的场。是散度源的激发的矢量场，如：静电场无旋场可用梯度表示：例如：静电场55标量场由梯度完全确定：对于无旋场F，有

该结论等价于：线积分结果与路径无关，只取决于起点P和终点Q。

56（2）无散场散度处处为0的矢量场。显然：无散场可用另一个矢量场的旋度表示：如：恒定磁场57（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分