上海市普陀区2022-2023学年高三上学期教学质量调研（一模）数学试卷 附答案

高三数学质量调研第2页共4页普陀区2022学年第一学期高三数学质量调研2022.12考生注意：1.本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分，答题纸2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名.将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试题题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.若（其中表示虚数单位），则.2.若正四棱柱的底面周长为、高为，则该正四棱柱的体积为.3.设，则满足的的取值范围为.4．函数在区间上的零点为.5.函数的最小正周期为.6.在展开式中，含有项的系数为.（结果用数值表示）7.双曲线的两条渐近线的夹角大小为.8.“青山”饮料厂推出一款新产品——“绿水”，该厂开展促销活动，将罐“绿水”装成一箱，且每箱均有罐可以中奖.若从一箱中随机抽取罐，则能中奖的概率为.（结果用最简分数表示）9.设R.若直线：与曲线：仅有一个公共点，则.10.某地“小康果”大丰收，现抽取5个样本，其质量分别为、、、、（单位：克）.若该样本的中位数和平均数均为，则此样本的标准差为（用数字作答）.11.设、R且.若函数的表达式为（R），且，则的最大值为.12.设、、均为正数且，则使得不等式总成立的的取值范围为.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知直线、和平面、，下列命题中的真命题是（）若，，则若，，则若，，则若，，则14.设，则的充要条件是（）15.设，若向量、、满足，且，则满足条件的的取值可以是（）16.设、、、…、是均含有个元素的集合，且，（），记，则中元素个数的最小值是（）三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（第17题图）如图所示，为四边形的对角线，设，△为等边三角形.记（）.（第17题图）（1）当时，求的值；（2）设为四边形的面积，用含有的关系式表示，并求的最大值.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设、均为正整数，为首项为、公差为的等差数列，为首项为、公比为的等比数列.（1）设为正整数，当，，时，求的值；（2）若，且对于某项，存在，使得，试提出一个关于、的结论，并说明理由.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，“复兴”桥为人行天桥，其主体结构是由两根等长的半圆型主梁和四根竖直的立柱吊起一块圆环状的桥面.主梁在桥面上方相交于点且它们所在的平面互相垂直，在桥面上的射影为桥面的中心.主梁连接桥面大圆，立柱连接主梁和桥面小圆，地面有条可以通往桥面的上行步道.设为其中的一根立柱，为主梁与桥面大圆的连接点.（1）求证：平面；（2）设为经过的一条步道，其长度为米且与地面所成角的大小为.桥面小圆与大圆的半径之比为，当桥面大圆半径为米时，求点到地面的距离.第19题图第19题图20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）在坐标平面内，已知椭圆：的左、右焦点分别为、，直线（）与相交于、两点.（1）记为到直线的距离，当变化时，求证：为定值；（2）在△中，当时，求的值；y第20题第（3）题图x第20题第（2）题图xy（3）过作轴，垂足为，的中点为，延长交于另一点，记直线的斜率为，当取何值时，有最小值？并求出此最小值.y第20题第（3）题图x第20题第（2）题图xy第20题第（3）题图第20题第（3）题图PABMNx第20题第（2）题图yx21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2题满分6分，第3小题满分8分）若函数（）同时满足下列两个条件，则称在上具有性质.①在上的导数存在；②在上的导数存在，且（其中）恒成立.（1）判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由.（2）设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.（3）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值.高三数学质量调研第2页共4页2022学年普陀区高三数学质量调研评分细则一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.题号13141516答案CDBA17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）在△中，由余弦定理，得，……4分其中，故……6分（2）在等腰三角形中，由，，得；……8分由△为等边三角形，得……10分故（）12分故当时，取得最大值1，即的最大值为.……14分18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）当，时，，，其中为正整数.……2分代入，得，解得，故.……3分于是.…4分（2）由，得，其中、均为正整数……6分由，得；再由，得，故，所以，只有.……8分又因为，所以.……10分，即，……12分因为是正整数，所以，，故.……14分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）连接，根据题设条件，得平面,平面,故,且不在平面内，平面,所以平面.……6分第19题图FE（2）过作平面的垂线，垂足为,连接,则为在平面上的射影，故为直线与平面所成的角，即，……9分第19题图FE易得……10分过向水平面作垂线，垂足为,则即为到地面的距离.……12分其中，，故……13分所以米答：点到地面的距离为米.……14分20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解（1）由，得，，故，即.……1分设，则及,故，……3分第20题第（2）题图xy所以（定值）……4分第20题第（2）题图xy（2）连接,根据椭圆的对称性,得四边形为平行四边形…6分由椭圆定义，得,故，…………8分因为，所以在△中，,代入上式，得，故.………10分（3）设，则，故，，令直线的斜率为，故:，代入，得………………12分得，于是故，又因为………………14分故。又因为，所以.于是根据平均值不等式定理，得………………16分等号当且仅当，即时成立。所以当时，.…18分21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）记（），则，且.当时，，即.故函数在区间上有性质.……4分（2）根据题设条件，对于任意，均有，即对任意实数都成立，故.……6分于是，，因为当时，函数取得极值，故，解得.……8分，解得