2025年天津高考数学一轮复习：复数（解析版）

第23讲复数

（9类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第10题,5分复数代数形式的乘法运算

2023年天津卷，第10题,5分复数代数形式的乘法运算复数的除法运算

2022年天津卷，第10题,5分复数的除法运算

2021年天津卷，第10题,5分复数的除法运算

2020年天津卷，第10题,5分求复数的实部与虚部

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握复数的概念，能够理解复数的实部虚部与共轨复数的概念

2.能掌握复数的四则运算法则

3.具备数形结合的思想意识，会借助图形，理解复数与向量的关系

4.会解复数方程问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出复数进行相关计算，求解实数虚数问题。

12•考点梳理一

⑴复数的定义

(2)复数的分类｛考点一、复数的概念

「知识点一.复数的有关概念《(3)复数相等

(4)共宛复数

(5)复数的模

考点二、复数的四则运算

考点三、复数相等

｛考点四、复数类型

知识讲解

知识点一.复数的有关概念

(1)复数的定义：形如“十历(。，6GR)的数叫做复数,其中&是复数Z的实部，女是复数Z的虚部，i为虚数

单位.

(2)复数的分类：

复数z=a+bi(a,6GR)

(实数(b=0>

'虚数(b*0)(当a=0时为纯虚数、

(3)复数相等：

a+bi==c+c且6=d(a，b,c>dGR).

(4)共轨复数：

a+bi与c+di互为共轨复数Qa=c,b=—d(a,b,c,dGR).

⑸复数的模：

向量龙的模叫做复数z=a+历的模或绝对值，记作|a+历I或|z|,即|z|=|a+历尸Ua2+炉(。,bGR).

知识点二.复数的几何意义

⑴复数z=a+历(a,bGR)-----对应复平面内的点Z(a,b).

(2)复数z=a+bi(a,Z?£R)——对应平面向量龙.

知识点三.复数的四则运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则：

设zi=a+6i,Z2=c+i/i(a,b,c,dGR),贝!]

①力口法：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+(7)i；

②减法：zi—Z2=(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(b—；

③乘法：z「Z2=(〃+历),(c+di)=(ac—faZ)+(Qd+Z7c)i；

④除法：豆="竺=(a+h)(c-dD=手等+咚萼j(c+d忧0).

12*222

Z2c+di(c+di)(c-di)c+dc+d

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即源=次+土，葩=0/

一OZi.

知识点四.复数常用结论

1.(l±i)2=+2i；\=i；F=T

l-ll+l

2.—b-\~ai=i(6?+bi)(a,/?£R).

3.i4"=l,i4,,+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i(«eN).

4.i4n+i4n+1+i-+2+i4"+3=0(n£N).

5.复数z的方程在复平面上表示的图形

(l)a<\z\<b表示以原点O为圆心，以。和6为半径的两圆所夹的圆环;

(2)|z—(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，厂为半径的圆

考点一、复数的概念

典例引领

1.(24-25高三上•海南•开学考试)复数z满足z(2+i)=|3+4i|,则复数z的虚部是()

A.2iB.2C.-iD.-1

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据虚部概念求解.

【详解】由z(2+i)=|3+4i|可得z=等=/消=2—i,

所以虚部为-1,

故选：D.

2.(2024・河南周口•模拟预测)已知复数z=(l+B,i为虚数单位，贝吻的虚部为()

A.2iB.-2iC.2D.-2

【答案】D

【分析】根据复数的除法和乘方的运算法则，结合复数虚部的定义进行求解即可.

【详解】(1+。3=(1一£)=(1—i)3=1+3X野.(T)+3X1x(―i)2+(―i)3=i-3i—3+i=—2—

2i,

因此复数(1+9)3的虚部为-2.

故选:D

1.(23-24高三下•广西•阶段练习)设2=^^，贝1Jz=()

1+1+1

A.-1-3iB.-1+3iC.1-3iD.1+3i

【答案】B

【分析】根据复数的运算法则直接计算即可.

【详解】由题得，2=47=三=9季=3i—1.

1+1+11-1-1-1

故选：B.

2.(2024•全国•模拟预测)已知z="，IJl!|z+z3+z5=()

i-i

A.iB.-iC.1+iD.1-i

【答案】A

【分析】运用复数的代数形式的乘除运算法则求得z=i，代入所求式计算即得.

所以z+z3+z5=i+i3+i5=i—i+i=i.

故选：A.

3.(2025•广东深圳•模拟预测)已知i为虚数单位，复数z,满足|z|=5,z在复平面中的第一象限，且实部

为3,则彳为

【答案】3-4i

【分析】根据复数的几何意义以及模长公式即可求解.

【详解】由于复数z的实部为3,故设z=3+6i,(6>0),根据|z|=5,所以32+。2=52,解得b=4,

所以z=3+4i,故2=3—4i,

故答案为：3-4i

考点二、复数的四则运算

典例引领

1.(2024・天津•高考真题)已知i是虚数单位，复数+i)•(*-2i)=

【答案】7-V5i

【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.

【详解】(V5+i)•(V5-2i)=5+V5i-2V5i+2=7-V5i.

故答案为：7-遮i.

2.(2023・天津・高考真题)已知i是虚数单位，化简总的结果为_________.

2+31

【答案】4+i/i+4

【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以2-3i,然后计算其运算结果即可.

【详解】由题意可得分==筌=4+i.

2+31(2+31){2—31)13

故答案为：4+i.

即时

1.(2023•全国•高考真题)设2=系科贝厉=()

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轨复数的定义确定其共辗复数即可.

【详解】由题意可得z=m三=#=空=牛=1_21

1+1+11-1+11-1

则2=1+2i.

故选：B.

2.(2023•全国•高考真题)已知z=3,贝吻一2=()

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共轨复数的概念得到2,从而解出.

【详解】因为z=W=矗制=?=-＞所以2=)即z-2=f

故选：A.

3.(2024.四川•模拟预测)已知复数z满足次1—i)=3+5i,则复数z=()

A.4+4iB.4—4i

C.-l+4iD.-l-4i

【答案】D

【分析】由已知等式化简求出2,从而可求出复数z.

(3+5i)(l+i)—2+8i

【详解】因为2=燮==—1+4i,

(l-i)(l+i)2

所以z=-1—4i.

故选：D.

考点三、复数相等

典例引领

1.(2022•全国•高考真题)已知z=l—2i,且z+a2+6=0,其中a,b为实数，贝U()

A.a=l,b=-2B.a=-1,b=2C.a=l,b=2D.a=-1,b=-2

【答案】A

【分析】先算出2,再代入计算，实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】z=1—2i

z+ctz+b=1—2i+a(l+2i)+b=(1+Q+b)+(2a—2)i

由z+a2+6=0,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，

得匕匕LU%二

故选:A

2.(2016・天津・高考真题)已知a,6eR,i是虚数单位，若(1+i)(1-bi)=a,贝哈的值为

【答案】2

【详解】试题分析：由(l+i)(l—bi)=l+b+(l—)i=a,可得所以｛0j£=2,故答

案为2.

【考点】复数相等

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实

掌握其运算技巧和常规思路，如(a+hi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i(a,b,c,dGR),

呻=3誓*c,deR),.其次要熟悉复数的相关基本概念,如复数a+bi(a,beR)的实部为a、

c+aic^+a^

虚部为反模为＞/。2+/、共辗复数为a—bi.

即时检测

1.(2024•新疆乌鲁木齐.三模)若(1—2i)(2+i)=a+历(a,6CR,i是虚数单位)，则a,b的值分别等于()

A.4,-5B.4,-3C.0,-3D.0,-5

【答案】B

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案.

【详解】(1-2i)(2+i)=4—3i=a+历，:a=4,b=-3.

则a,b的值分别等于4,-3.

故选：B.

2.(24-25高三下•全国・单元测试)设aeR,(a+i)(l—ai)=2,则a=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】结合复数的乘法运算，利用复数相等列方程组求解即可.

【详解】因为(a+i)(l—ai)=a—a2i+i+a=2a+(1—a2)i=2,

所以h2a72，解得Q=i.

(1—az=0,

故选：C

3.(24-25高三上•江苏南通•阶段练习)若集合/={血2117nl=i,7ncC},B={a+M|a/j=0},则AnB的元

素个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】通过讨论求得tn?,a+M,利用集合交集运算求出An8,从而求出结果.

【详解】因为=1,且THGC,则m=±1,或m=%+yi,且/+y2=1(y0),所以病=1,或/_

——y2+2%yi,

因为ab=0,则a=0或b=0,当aH0,b=0时，a+bi=a,当a=0,bW0时，a+bi=bi,当a=0且b=0

时，a+bi=0,

当a=1,且b=0,m2=1,则a+bi=l=m2,

当a=-1,且b=0,x=0,y=±1时，m2=—1,则a+bi=m2=—1

x2—y2=0

x+'=1,即a+bi=bi=m2=i,或a+bi=bi=m2=—i,

b=2xy

{a=0

综上=所以/n8的元素个数为4

故选：D

4.(2024•辽宁・模拟预测)已知詈=2-i,x,yGR,贝!]x+y=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根据条件得出久+必=(l+i)(2-i),再根据复数的乘法运算可得出久+yi=3+i,然后即可求出

x+y的值.

【详解】解：,•，=2—i,.•.%+yi=(1+i)(2—i)=3+i,

•,­%=3,y=1,・,・%+y=4.

故选：C.

考点四、复数类型

.典例引领

1.(2020•浙江•高考真题)已知aGR,若a-l+(a-2)i(i为虚数单位)是实数，则a=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【分析】根据复数为实数列式求解即可.

【详解】因为(a-1)+(a-2)i为实数，所以a-2=0,a=2,

故选：C

【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

2.(2024.江西新余•模拟预测)已知复数z满足：|z|=1,1+Z+Z2+Z3为纯虚数，则这样的复数z共有()

个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】法一：设该复数2=。+历6"€的，借助复数的运算法则计算出1+Z+Z2+Z3后结合纯虚数定

义即可得；法二：借助复数的三角形式及其几何意义计算即可得.

【详解】法一：设2=a+历(a,b€R),贝1Jl+z+z?+z3的实部为0且虚部不为0,

l+z+z2+z3—l+a+bi+a2+2abi—b2+a3+3a2bi—3ab2-b3i

=(a3-3ab2+a2-b2+a+1)+(—b3+3a2b+2ab+b)i,

则a3—3ab2+a2-b2+a+1=0,—b3+3a2b+2ab+b0,

因为|z|=1,故a2+62=i,gph2=1—a2,

则有口3—3ab2+a2_b2+a+i=2a(2a2+a—1)—0,解得a=0或1或—1,

当a=0时，b2=1,贝U—〃+3a2b+2ab+b=-b+b=0,舍去；

当a=—1时，b2—0,即b=0,则—+3a2。+2ab+6=0,舍去；

当a=^时，b2=则一+2ab+b=—三6+三6+b+b=2b力0,

2444

故b=±奈即2=[±争，共有两个.

综上所述，这样的复数z共有两个.

法二：设Z的辐角为。,06[-7t,n],

zr表示将复数z在复平面内逆时针旋转(r-1)0,

由几何图形的对称性：z与z2在复平面内应关于y轴对称，

则解得：。或;或无或-1

易知：8力士：时，z=0,舍去，

故8=±1故有两个不同的复数z满足题意.

故选：B.

即时

1.(2024・北京大兴•三模)已知(爪-i¥为纯虚数，则实数6=()

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的乘方运算化简(m-i)2,再根据实部为0,虚部不为0得到方程(不等式)组,

解得即可.

【详解】因为(TH—i)2=m2—2mi+i2=m2—1—2mi,

又⑺—i¥为纯虚数，所以解得爪=±1.

I—2mH0

故选：D

2.(24-25高三上•湖南•开学考试)己知复数zi=2-i,Z2=a+i(aeR),若复数z1•z2为纯虚数，则实数a的

值为()

A—B.|C.-2D.2

【答案】A

【分析】求出Z「Z2,再根据纯虚数概念得解.

【详解】由已知，复数Z1・Z2=(2-i)(a+i)=(2a+1)+(2-a)i为纯虚数，

所噌二：0°'得aT

故选：A.

3.(2024・北京•三模)若复数z=a—1+5(a+l)i为纯虚数，其中aeR,i为虚数单位，则叱=()

1-ai

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】A

【分析】由复数概念求出参数，结合复数四则运算即可求解.

【详解】由2=a—1+5(a+l)i是纯虚数可知a=1,所以”===i,

1—ail—i2

故选：A

4.(23-24高三下•湖南•阶段练习)已知复数z满足|z+2i|=|z|,且z—l是纯虚数，贝！Jz5=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】设2=。+折，其中a,b是实数，由|z+2i|=|z|求出b,再求出z-l,根据z-l的类型求出a,即

可得到z,最后根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.

【详解】设2=。+历，其中a,b是实数，则由|z+2"=|z|,得@2+(b+2)2=Q2+人2,

所以b=-1,贝！Jz—l=a-1—if

又因为z-l是纯虚数，所以。一1=0,解得。=1,即z=l-i,

所以z2=(l-i)(l+i)=2.

故选:B

考点五、复数的几何意义

典例引领

1.(2023・北京・高考真题)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,百)，贝版的共软复数彳=()

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

【答案】D

【分析】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共朝复数的定义计算.

【详解】z在复平面对应的点是(-1,遮)，根据复数的几何意义，z=-l+V3i,

由共辗复数的定义可知，z=-1-V3i.

故选：D

2.(2023・全国•高考真题)在复平面内，(l+3i)(3—i)对应的点位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,

则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.

故选：A.

电上即时检测

1.(2024.云南.模拟预测)在复平面内，(1-i)(2+i)对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】先化简复数，再由复数的几何意义求解即可.

【详解】'''(1—i)(2+i)=2+i—2i—i2=3—i,

・•.其对应的点坐标为(3,-1),位于第四象限，

故选：D.

2.(23-24高三上.天津•期中)复数z在复平面内对应的点为(2,-1),则注的共朝复数的模为

【答案】V5

【分析】根据复数的几何意义可得z=2-i,即可根据复数的除法运算化简，进而由模长公式即可求解.

【详解】由题意可得z=2—i,所以空=乎=口詈山=?=_i+2i

z—11—122

故共扼复数为一1+2i,|-1+2i|=V（-l）2+22=V5,

故答案为：V5

3.（23-24高三上•天津河北•开学考试）复数上在复平面内对应的点的坐标是_________.

2+1

【答案】&I）

【分析】由复数除法法则可得复数的代数表示，即可得其对应坐标.

【详解】土=瑞嵩=g+|i,则其在复平面上的对应点的坐标为c，|）.

故答案为：（I,I）

4.（2024.青海西宁.二模）已知复数z=i2°24—i,则2对应的点在复平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据条件，利用i的运算性质，得到z=l-i,从而有2=1+i,即可求解.

【详解】因为Z=i2°24—i=（i2）1012—i=i—i,所以2=l+i,其对应的点为（1,1）,

故选：A.

5.（23-24高三上.天津红桥•阶段练习）己知i为虚数单位，则兽在复平面内对应的点位于（）

2+1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据题意得到z=：-|i,即可得到答案.

则z在复平面对应的点为在第四象限.

故选：D

考点六、复数模长问题

典例引领

1.（2023•全国•高考真题）|2+i2+2i3|=

C.V5

【答案】c

【分析】由题意首先化简2+i?+2i3,然后计算其模即可.

【详解】由题意可得2+i2+2i3=2-1-2i=1-2i,

贝！]|2+i2+2i3|=|1-2i|=Ji?+(—2)2=Vs.

故选：C.

2.(2022・北京・高考真题)若复数z满足i-z=3-4i,则|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【分析】利用复数四则运算，先求出z,再计算复数的模.

【详解】由题意有z=0=空粤=一4—3i,故|z|=J(—4尸+(—3/=5.

故选：B.

即时检测

I_________L__________

1.(2020•全国•高考真题)若z=l+i,则忆2-2z|=()

A.0B.1C.V2D.2

【答案】D

【分析】由题意首先求得z2-2z的值，然后计算其模即可.

【详解】由题意可得：z2=(1+i)2=2i,贝。z?-2z=2i-2(1+i)=-2.

故怙2-2z|=|-2|=2.

故选：D.

【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.

2.(2020・全国•高考真题)设复数zi，Z2满足,1|=忆2|=2,Z1+z2=V3+i,则％-z2|=.

【答案】2V3

【分析】方法一：令Z]-a+bi,(aER,bER),z2-c+di,(cGR,dGR),根据复数的相等可求得ac+bd-

-2,代入复数模长的公式中即可得到结果.

方法二：设复数Z1，Z2所对应的点为Z1乂2，赤=应1+被2,根据复数的几何意义及复数的模，判定平行

四边形OZ/Z2为菱形，I而I=IOZJ=|OZ2|=2,进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算匕-Z2I.

【详解】方法一：设Z1=a+bi,(aeR,b6R),z2=c+di,(cER,dER),

+z2=a+c+(6+d)i=遮+i,

又|Z1HZ21=2，所以+b2=4,c2+d2-4,

(a4-c)2+(b+d)2=a24-c2+/72+d2+2(ac+bd)=4

••・ac+bd=—2

22

•••\zr—z2\—|(a—c)+(6—d)i|=—c)+(/?—d)=J8—2(ac+bd)

=V8T4=2V3.

故答案为：2V3.

方法二：如图所示，设复数z1*2所对应的点为Z1(Z2,OP=OZi+oz2,

由已知|诃|=V3TI=2=IOZJ=|0Z2|,

二平行四边形OZ1PZ2为菱形，且40PZ1AOPZ2都是正三角形，.,.NZ10Z2=120°,

2222

\ZrZ2\=|0Z1|2+|OZ2|-2|OZ/|OZ21cos120。=2+2-2•2•2-(-|)=12

Izj-z2\=\Z±Z21=2V3.

Z2

【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是

一道中档题.

方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解

3.（2024.河南关B州•模拟预测）若z=2—i—亲QCR）且|z|=1,则x取值的集合为（）

A.{2}B.{3}C.{3,7}D.{1,3}

【答案】C

【分析】利用复数的四则运算化简复数z,根据|z|=l得方程，求解即得.

【详解】z=2-i一四=（2f（2+i）-（x+i）=竺上,

24-i2+i2+i

因|z|=l,贝"与岁|=1,即咋早=1,

可得，（5-x）2+1=5,解得，x=3或7.

故选：C.

4.（2024.贵州・模拟预测）||-1|=（）

A.V2B.V5C.2D.5

【答案】B

【分析】利用复数的运算得2-1=-1-2、再利用模长的计算公式，即可解.

1

【详解】因为彳-l=-l-2i,所以卜—=I—1-2i|=V1T4=V5,

故选：B.

考点七、复数方程问题

典例引领

1.（2024.江西.模拟预测）已知1+i是实系数方程%2+。％+人=0的一个根.则（）

A.4B.—4C.0D.2

【答案】c

【分析】利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理结合韦达定理运算求解.

【详解】因为1+i是关于%的方程+a%+b=O(a,b6R)的一个根，

则1一i也是关于％的方程/+。％+b=O(a,beR)的一个根.

可得二,解得a=—2,b=2,

(.(1+i)x(1-ij=o

所以a+b=0.

故选：C.

2.(2024•四川宜宾.三模)已知复数z满足z2+z+1=0且2是z的共辗复数，则z+2=()

A.-1B.1C.V3D.-V3

【答案】A

【分析】由韦达定理即可求解.

【详解】由求根公式可知，若z为方程z2+z+1=0的根，则其共辗复数2也是该方程的根，

故由韦达定理可知，z+z=-i=-1.

故选：A.

♦♦即时检测

1.(24-25高三上•江苏•阶段练习)已知复数z满足z3=1+Bi,则2=()

A.1+V3iB.V2^cos+isin

C.1+V3iD.德(cos；+isin；)

【答案】D

【分析】设2=rcos0+rsin0i(r>0,6C[0,2K)),根据复数的三角形式计算可得答案.

【详解】设z=厂cos。+rsin0i(r>0,0E[0,2兀))，

所以z?=丁3cos39+ir3sin30=l+V3i,

可得jr：sin38=百，两式相除可得tan36=瓜

(r3cos3。=1

可得3®=:+E(/ceZ),0=^+y(fcGZ),

因为6E[0,2兀)，所以。音常常常芳，W

当时，r3sin^3x^=V3,解得丁二遮，此时z=迄(cos；+isin；),

当时，r3sin^3x^=V3,解得N=—2,舍去，

当6=日时，丁3$①(3x£)=8，解得丁=迄，此时z=遮(cos曰+isin蔡)，

当。=岩时，〃sin(3x.)=百，解得丁3=一2,舍去，

当。=昔时，r'sin(3义告)=值，解得r=冠，此时z=V^(cos3+isin手)，

当。=与时，/sin(3x者)=\后，解得「3=一2,舍去，

结合选项，只有D正确.

故选：D.

2.(2024•山西阳泉•三模)已知2+i是实系数方程/+p久一q=o的一个复数根，贝！]p+q=()

A.一9B.-1C.1D.9

【答案】A

【分析】根据虚根成对原理2-i也是实系数方程/+px-q=0的一个复数根，再由韦达定理计算可得.

【详解】因为2+i是实系数方程/+px-q=0的一个复数根,

则2—i也是实系数方程/+px-q=。的一个复数根,

所以｛—p=2+i+2—i解得仁二,

一q=(2+i)(2-i)

所以p+q=-9.

故选：A

3.(2024.重庆九龙坡.三模)设Zi*2是关于%的方程/+2％+q=0的两根，其中p,qER,若Zi=—1+V^i

(i为虚数单位)，则工+工=()

Z1Z2

22

A.--B.-C.-2D.2

33

【答案】A

【分析】根据实系数一元二次方程在复数范围内根的关系求出另一个根，再代入求解即可.

【详解】因为关于%的方程/+p%+q=0(p,q6R)的一个根为Zi=-1+V2i,

所以另一个根Z2=-1—V2i,

所以工+工=^_+^_=T-在L1+鱼】=_]

Z】Z?-1+V2i—1—V2i(―14-\/2i)(—1—V2i)3

故选：A.

4.(2024•天津河西•模拟预测)已知2i-3是关于％的方程2/+p%+q=o(p,qeR)的一个根，则p+

q=•

【答案】38

【分析】代入方程结合复数的概念及运算法则待定系数计算即可.

【详解】将％=21-3代入方程2汽2+p%+q=0

得2(2i-3)2+p(2i-3)+q=(2p-24)i+10—3p+q=0,

*【、1(2p-24=0(p=12匚“

所以cn今ADJ,所以p+q=38.

(10-3p+q=0(q=26r1

故答案为：38

考点八、复数最值与取值范围

典例引领

1.(2024.黑龙江牡丹江.一模)已知i为虚数单位，复数z=a+历，a,b6R且满足|z-i|=或，求点Z(a,6)

到直线y=x+3距离的最大值为()

A.0B.2夜一2C.V2D.2企

【答案】D

【分析】根据模长求出轨迹方程再求出圆心和半径，最后应用圆心到直线距离求出距离的最大值.

【详解】z=a+bi,\z-i\-y/2,

则|a+(b—l)i|=夜，即a?+(b—1)2=2,圆心为(0,1),半径为r=&,

圆心(0,1)到直线x—y+3=0的距离d==V2,

故点Z(a,b)到直线y=x+3距离的最大值为d+r=V2+V2=2^2.

故选：D.

2.(2024・山东烟台•三模)若复数z满足|z|=|z-2-2i|,则|z|的最小值为()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【分析】由复数的几何意义即可求解.

【详解】若复数Z满足|z|=|z-2-2i|,则由复数的几何意义可知复数z对应的点集是线段。4的垂直平分

线，其中0(0,0),4(2,2),

所以|z|的最小值为(。川=|V22+22=V2.

故选:B.

即时便测

1.(2024・云南.二模)已知i为虚数单位，复数z满足|z—l|=|z+i|,则|z-i|的最小值为()

ABC

-f-1-ID.0

【答案】A

【分析】由模长公式结合题设条件得条件等式y=-乃结合模长公式将所求转换为求二次函数最值即可.

【详解】设z=x+yi,(x,y€R),而|z-11=|z+i|,所以(x-1/+y?=/+(y+1尸，即丫=-%,

所以|z-i|=yjx2+(y-I)2=Jx2+(-%-I)2=V2x2+2x+1=J2(x+()+)>等号成立当且仅

当旷=-x=5

综上所述，|z-i|的最小值为日.

故选：A.

2.(2024•江苏泰州•模拟预测)若复数zi，Z2满足氏-3i|a2,,2-4|=1,则氏-z2|的最大值是()

A.6-V2B.6+V2C.7D.8

【答案】D

【分析】设z1=a+bi,a,bER,复数z1在复平面内对应的点为Z[(a,b),z2-x+yi,x,yER,复数z2在

复平面内对应的点为Z2(x,y),依题意可得Zi、Z2的轨迹方程，最后根据复数模的几何意义计算可得0-Z2|

的最大值.

【详解】设z1=a+bi,a,6eR,z2=x+yi,x,y6R,

因为Z—3i|=2,\z2-4|=1,

所以a?+(b—3)2=4,(%—4)2+y2=1,

所以点Zi(a,b)的轨迹为以(0,3)为圆心，2为半径的圆，

点Z2(x,y)的轨迹为以(4,0)为圆心，1为半径的圆,

又0-Z2I表示点Z](a,b)与Z2(K,y)的距离，

所以比一Z2|的最大值是J(0—4次+(3—0)2+3=8,

故选：D.

3.(24-25高三上•江苏南通•阶段练习)设zeC,且(z+5)(2+5)=4,则z?的实部的取值范围为()

A.[8,36]B.[9,49]

C.[10,64]D.[11,81]

【答案】B

【分析】z—a+hi(a,bER),由(z+5)(2+5)=4,可得(a+5)2+b2—4,设a——5+2cos&b=2sin0,

根据同角三角函数的基本关系及余弦函数的值域即可求解.

[详解]设z=a+bi(a,bE7?),则2=a-bi,

所以z+5=a+5+bi,z+5=a+5—bi,

所以(z+5)(2+5)=(a+5)2+b2=4.

设a=-5+2cosab=2sin0,

z2=(a+di)2=a2—b2+2abi,故z?的实部为a?—b2,

所以a?—fa2=4cos2。—2Ocos0+25+4sin20

=29-20cos8e[9,49],

即z2的实部的取值范围为[9,49].

故选:B.

4.(23-24高三下.江西•开学考试)已知复数z=a+bi(a,beR).且|2—i—z|=1,则受的取值范围为()

【答案】c

【分析】根据复数的几何意义，得到复数Z在复平面内对应的点Z的轨迹是以(2,-1)为圆心，1为半径的圆C,

得到圆的方程(a-2)2+(6+1)2=1,再由鬻=震+1,结合鬻的几何意义为过圆C上的点与定点4的直

线/的斜率鼠利用直线与圆的位置关系，列出不等式，即可求解.

【详解】由复数z满足|2—i—z|=1,即为|z—2+i|=l,

根据复数的几何意义，可得复数z在复平面内对应的点Z(a,b)的轨迹是以(2,-1)为圆心，1为半径的圆C,即

圆C:(a—2)2+(b+I)2=1,

如图所示，告=空+1，

a+la+1

又由震的几何意义为过圆C上的点与定点的直线/的斜率k,

直线2的方程为ka-b+k+l=Q,

由题意可知，圆心C到直线'的距离dWL即舞WL

Qi-t—3—Vsb—1—3+V^

解得土丑<fe<即------V----V-------

444-a+l—4

又由空=匕二+1,可得上亚《史工《匕2竺

a+la+l4a+l4

考点九、复数轨迹问题

典例引领

1.(2024.江苏南京.三模)已知复数z满足|z-2|2=z+2,则复数z在复平面内对应点的轨迹为()

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【答案】D

【分析】设2=%+必(x,yGR),运用复数加、减运算及复数模的公式计算即可.

【详解】设z=%+yi(x,yGR),则5=%-yi,

所以z+z=%+yi+x—yi=2x,z—z=(x+yi)—(%—yi)=2yi,

所以|z-z\2=4y2,

又|z—2/=z+2,所以4y2=2x,即y?="，

所以复数z在复平面内对应点的轨迹为抛物线.

故选：D.

2.(2024・广东揭阳.二模)已知复数z在复平面内对应的点为(a,b),且|z+i|=4,则()

A.a2+Qb+l)2=4B.a?+(6+1)2=16

C.(a+l)2+b2—4D.(a+l)2+b2=16

【答案】B

【分析】借助导数的几何意义可得z=a+历，再利用模长公式即可得.

【详解】由题意得z=a+历，所以|a+(b+l)i|=4,则a?+(6+I)2=16.

故选：B.

1.(2024・云南曲靖・模拟预测)若复数z=K+yi(x,y6R)且|z-5+i|=/,则满足|2x—y—1|=的

复数z的个数为()

A.0B.2C.1D.4

【答案】A

【分析】由|z-5+i|=鱼可得复数z对应的点在圆心为⑸-1),半径为企的圆上，

又|2x—y-1|=同的几何意义为复数z在复平面内的点到直线—y—1=0的距离为或，则由圆心

(5,—1)到直线2乂—y—1=0的距离为2遍，即可得到复数z的个数.

【详解】因为z=x+yi,所以z—5+i=(x—5)+(y+l)i,

又|z-5+i|=V2,所以(%-5)2+(y+5)2=2,

即复数z对应的点在圆心为(5,-1)，半径为鱼的圆上，

又|2x-y-l|=VTU可以变形为一7T=夜，

即其几何意义为复数Z在复平面内的点到直线2x-y-1=0的距离为VL

又圆心(5,—1)到直线2x—y—1=0的距离为艮等/竦=2V5,

V22-(-l)2

而2遥-所以满足条件的z不存在.

故选：A.

2.(2024•宁夏•二模)已知复数z满足|z-4+5i|=1,贝吻在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解.

［详解］令z=x+yi,x,yGR,

因为|z—4+5i|=1,所以(％-4)2+(y+5)2=1,

即点(久,y)在以(4,-5)为圆心，1为半径的圆上，该圆在第四象限内，

所以z在复平面内对应的点位于第四象限，

故选：D

3.(2024・湖南长沙.三模)已知复数z满足|z|=1,则|z-2i|的取值范围为()

A.[0,2]B.[1,3]C.[2,4]D.[1,9]

【答案】B

【分析】根据复数模的几何意义，转化为点(0,2)到圆心的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值即可.

【详解】|z|=1表示z对应的点是单位圆上的点，

|z-2i|的几何意义表示单位圆上的点和(0,2)之间的距离，

|z-2i|的取值范围转化为点(0,2)到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，

所以最大距离为2+1=3,最小距离为2-1=1,

所以|z-2i|的取值范围为[1,3].

故选:B

4.(2022.天津.―■模)如果复数z；两足|z+1—i|=2,那么|z—2+i|的最大值是.

【答案】2+g##g+2

【分析】根据复数的几何意义|Z]-Z2|表示Z],Z2两点间距离，结合图形理解运算.

【详解】设复数z在复平面中对应的点为Z

：|z+l—i|=2,则点Z到点C(—1,1)的距离为2,即点Z的轨迹为以C为圆心，半径为2的圆

|z-2+i|表示点Z到点4(2,-1)的距离，结合图形可得|Z川＜\AC\+2=2+V13

故答案为：2+V13.

『I好题冲关

A基础过关

1.(2024•天津和平・二模)已知