2025年高考数学一轮复习讲义：最值、范围问题（原卷版）

专题53最值、范围问题（新高考专用）

目录

【真题自测】................................................................2

【考点突破】................................................................3

【考点1】最值问题..........................................................3

【考点2】范围问题..........................................................4

【分层检测】................................................................6

【基础篇】..................................................................6

【能力篇】..................................................................8

【培优篇】..................................................................9

真题自测

一、单选题

1.(2023•全国•高考真题)已知椭圆C:一+丁=1的左、右焦点分别为耳，F2,直线V=%+根与。交于A,

3一

B两点,若△耳钻面积是△工45面积的2倍，则加=().

A1B6C后D二

3333

二、解答题

产A?1

2.(2024•天津•高考真题)己知椭圆3+与=1(“>6>0)的离心率6=不左顶点为A,下顶点为BC是线

ab2

段08的中点，其中心做=孚.

⑴求椭圆方程.

⑵过点(。,-|］的动直线与椭圆有两个交点尸，Q.在>轴上是否存在点T使得若存在求出这个

T点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由.

3.(2022•全国•高考真题)设抛物线。:丁=2。吠0>0)的焦点为八点。他,0),过尸的直线交C于M,N

两点.当直线垂直于x轴时，|MF|=3.

⑴求C的方程；

(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为当c-6取得最大

值时，求直线的方程.

4.(2022•浙江•高考真题)如图，已知椭圆］+y=1.设A,2是椭圆上异于P(0,l)的两点，且点。在

线段A3上，直线尸AP3分另U交直线>=-；x+3于C,。两点.

⑴求点P到椭圆上点的距离的最大值;

(2)求IC0的最小值.

考点突破

【考点1］最值问题

一、解答题

2

r22_1

L（2024,湖南召口阳・三模）已知椭圆C：'+方v=1（。>6>0）的离心率为万，右顶点。与C的上，下顶点所

围成的三角形面积为2VL

⑴求C的方程.

⑵不过点。的动直线/与C交于A,8两点，直线GA与的斜率之积恒为1.

（i）证明：直线/过定点；

（ii）求0AB面积的最大值.

22

2.（2024•河南新乡•模拟预测）已知椭圆C:二+当=1（。>6>0）的左、右焦点分别为且闺用=2,

ab

过点工作两条直线4，，直线4与C交于A3两点，月AB的周长为40.

⑴求C的方程；

4

（2）若耳AB的面积为求乙的方程；

⑶若4与C交于两点，且乙的斜率是乙的斜率的2倍，求|^^-|知1的最大值.

22

3.（2024•上海•模拟预测）已知点尸（U）在双曲线一毛-与=1的一条渐近线上，4,8为双曲线的左、右焦

ab

点且1P-&P=0.

⑴求双曲线r的方程；

（2）过点尸的直线/与双曲线「恰有一个公共点，求直线/的方程；

⑶过点尸的直线/与双曲线左右两支分别交于点A、B,求证：|至匕<2.7.

2

4.（2024•山东济南•二模）已知点8（4,⑹是双曲线Ti->2=i上一点，T在点B处的切线与x轴交于点A.

⑴求双曲线T的方程及点A的坐标；

⑵过A且斜率非负的直线与T的左、右支分别交于N,M.过N做NP垂直于x轴交T于尸（当N位于左顶点

时认为N与P重合）.C为圆E:（a-l）2+（y+2）2=1上任意一点，求四边形MBPC的面积S的最小值.

5.（2024・陕西西安・模拟预测）已知产为抛物线C：丁=2/（°>0）上的一点，直线了=阳+〃交c于A,

8两点，且直线P4,尸3的斜率之积为2.

⑴求C的准线方程；

（2）求根的最小值.

6.（2024•内蒙古•三模）已知。为坐标原点，尸是抛物线。：9=2px（p>0）的焦点，〃是。上一点，且

3

3

\MF\=\MO\=~.

⑴求C的方程；

（2）A,B是C上两点（AB异于点。），以A3为直径的圆过点为A3的中点，求直线斜率的最大值.

反思提升：

处理圆锥曲线最值问题的求解方法

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法:一是利用几何法，

即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，

即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、

不等式方法等进行求解.

【考点2】范围问题

一、解答题

22

1.（2024・湖北•模拟预测）已知椭圆及心心0）,直线4与E交于M（TO）,N（-2,2）两点，点

尸在线段MN上（不含端点），过点尸的另一条直线4与E交于A,B两点.

⑴求椭圆E的标准方程；

（2）若MP=PN，AP=（7-4扬PB,点A在第二象限，求直线4的斜率；

⑶若直线MA,MB的斜率之和为2,求直线6的斜率的取值范围.

22

2.（2024・重庆・三模）己知RC分别是椭圆「二+今=1（。>8>0）的右焦点、上顶点，过原点的直线/交椭

ab

jr

圆「于A,B两点，满足|4川+|8口=4,/八%>=§.

⑴求椭圆「的方程；

（2）设椭圆「的下顶点为。，过点。作两条互相垂直的直线人如这两条直线与椭圆「的另一个交点分别为M，

N,设直线4的斜率为左代WO）,—OMN的面积为S,当时，求左的取值范围.

\k\9

2

3.（2025・浙江•模拟预测）已知尸为双曲线C：/一斗=］上一点，。为坐标原点，线段。尸的垂直平分线与

a

双曲线C相切.

⑴若点P是直线X=6y与圆/+y=2的交点，求“；

（2）求|。尸|的取值范围.

2

4.（2024・贵州贵阳•三模）已知A为双曲线C:f-匕=1的右顶点,过点2（0,2）的直线/交C于。、E两点.

3

（1）若ADLAE,试求直线/的斜率；

（2）记双曲线C的两条渐近线分别为44,过曲线C的右支上一点尸作直线与乙，4分别交于/、N两点，且

4

M、N位于'轴右侧，若满足=1,4,求S”。.的取值范围(。为坐标原点).

5.(2024・重庆•三模)设圆D：x2+y2+2x-88=0与抛物线C：/=2px(p>0)交于E,尸两点，己知|E刊=16.

⑴求抛物线C的方程；

(2)若直线/：4x+3y-16=0与抛物线C交于A,8两点(点A在第一象限)，动点加(异于点A,8)在抛物

线C上，连接MB,过点A作AN//MB交抛物线C于点M设直线AM与直线8N交于点P,当点P在直线

/的左边时，求：

①点尸的轨迹方程；

②上48面积的取值范围.

6.(2024•辽宁•模拟预测)在直角坐标系尤Oy中，点尸到点(0,1)距离与点尸到直线产-2距离的差为-1,

记动点P的轨迹为W.

⑴求W的方程；

(2)设点P的横坐标为/(x。<0).

(i)求卬在点尸处的切线的斜率(用与表示)；

(ii)直线/与卬分别交于点A,B.若|上4|=归到，求直线/的斜率的取值范围(用与表示).

反思提升：

解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关

系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取

值范围.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

22

1.(2022・浙江•模拟预测)已知椭圆G：土+匕=1与抛物线G：V=2px(p>0)交于4,2两点，。为坐标

123

原点，若的外接圆经过点C(3,0),则"等于()

1

A.-BC.2D.4

2-\

5

22_

2.（2024•河南•三模）已知椭圆C:02=l（a>6>0）的右焦点为歹，短轴长为2百，点/在椭圆上，若I知/I

ab

的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（）

A.3B.4C.1D.2

3.（2021•云南文山•模拟预测）已知双曲线丁=1（〃〉0）上关于原点对称的两个点p,Q,右顶点为4

a

线段AP的中点为E,直线QE交x轴于则双曲线的离心率为（）

A.V5B.—C.V10D.—

33

4.（2021•江西九江•一模）已知双曲线E:V-y2=]的左右焦点分别为耳，与p5,%）为双曲线后上一点，若

/£尸用..90,则焉的取值范围是（）

331

A.[1,6]B.[y/3,+oo）C.1,—D.~,+°°I

二、多选题

5.（2024・山东济南•一模）已知椭圆C：《+M=l,且两个焦点分别为尸一工，P是椭圆C上任意一点，以

1612

下结论正确的是（）

A.椭圆C的离心率为且B.P月瑞的周长为12

2

C.|尸盟的最小值为3D.归用忖闾的最大值为16

22

6.（2021・全国•模拟预测）已知双曲线C：二-2=1（。>0,6>0）过点加,左、右焦点分别为耳,

ah

且一条渐近线的方程为3x+4y=0,点P为双曲线C上任意一点，则（）

双曲线的方程为,一方=

A.C1B.MFCMF2=0

144।,

C.点尸到两渐近线的距离的乘积为石D.|尸闻的最小值为1

7.（2020•全国,模拟预测）已知抛物线C：£=2py（p>0）的焦点为尸，P为抛物线C上一动点，设直线

/与抛物线C相交于A,3两点，点加（2,2）不在抛物线C上（）

A.若直线/过点Af,尸且与y轴垂直，则p=4

B.若1PMi+1PFI的最小值为3,则。=2

C.若直线/经过焦点尸，则直线。4,OB（。为坐标原点）的斜率L，L满足%嗫=-；

D.若过A,8所作的抛物线C的两条切线互相垂直，且A,8两点的纵坐标之和的最小值为2,则SMM=2

三、填空题

22

8.（23-24高三上•全国,阶段练习）已知A（0」）,3（l,0）,点尸为椭圆C:]+]=l上的动点，当附+网取

6

最小值时，点尸的横坐标的值为.

9.（2021•山东德州二模）已知GF2是双曲线/一个=1的两个焦点，p是双曲线上任意一点，过F?作/耳尸凡

4

平分线的垂线，垂足为N,则点N到直线x+y-2&=0的距离的取值范围是.

10.（2022•山东济南・二模）已知抛物线方程为丁=4x,直线/:x+y+&=0,抛物线上一动点尸到直线/的

距离的最小值为.

四、解答题

11.（2022•浙江嘉兴•模拟预测）已知抛物线y2=2px（0>0）的焦点为尸，点M是抛物线的准线x=-2上的动

点.

⑴求p的值和抛物线的焦点坐标；

⑵设直线/与抛物线相交于A、B两点,且氏求直线/在x轴上截距6的取值范围.

12.（23-24高三上•天津南开•期末）设椭圆从/+/=1（。>6>0）经过点半，且其左焦点坐标为

（TO）.

⑴求椭圆的方程；

⑵对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在E上，且两条对角线均过E的右焦点，求陆。+忸的最

小值.

【能力篇】

一、单选题

/3V2

1.（2023•湖北武汉•模拟预测）已知椭圆C：F+W=l（a>0）,点尸、。在椭圆C上，满足在椭圆C上存在

aa

一点R到直线。尸、OQ的距离均为g。，则|。斗|。0的最大值是（）

12224282

A.—ciB.—aC.—aD.—a

3333

二、多选题

2.（2024,湖北武汉•模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆C:3+y2=l,圆。:尤2+9=5,p为圆。上

任意一点，。为椭圆C上任意一点.过P作椭圆C的两条切线4，/2,当4，4与坐标轴不垂直时，记两切线

7

斜率分别为K，k=贝I］（）

A.椭圆C的离心率为@B.|PQ|的最小值为1

2

C.IPQI的最大值为&'+2D.+kl>3

三、填空题

3.（2021•全国•模拟预测）已知直线4,/2是双曲线C：!-y2=l的两条渐近线，点p是双曲线c上一点，若

点尸到渐近线4的距离的取值范围是；/，则点尸到渐近线6的距离的取值范围是.

四、解答题

22

4.（2024•安徽•模拟预测）已知双曲线£：二-3=1（。>0,b>0）的左、右焦点分别为片，工，离心率