2025年高考数学一轮复习讲义：利用导数研究函数的零点（原卷版）

专题19利用导数研究函数的零点（新高考专用）

f目录

【真题自测】................................................................2

【考点突破】................................................................3

【考点1】判断、证明或讨论零点的个数........................................3

【考点2】根据零点情况求参数范围............................................4

【考点3】与函数零点相关的综合问题..........................................5

【分层检测】................................................................7

【基础篇】..................................................................7

【能力篇】..................................................................8

【培优篇】..................................................................9

真题自测

一、单选题

1.（2023•全国，rWj考真题）函数/（x）=/+<xv+2存在3个零点，则”的取值范围是（）

A.（-oo,-2）B.（-®,-3）C.（T,T）D.（-3,0）

二、解答题

2.（2023•全国,高考真题）⑴证明：当0cx<1时，x-Y<sin尤<x;

（2）已知函数/（x）=cosox-ln（l-尤2）,若尤=。是的极大值点，求。的取值范围.

3.（2022•全国•高考真题）已知函数/（x）=ot-L-（a+l）ln尤.

x

（1）当。=0时，求/（x）的最大值；

（2）若恰有一个零点，求。的取值范围.

4.（2022•全国•高考真题）已知函数/'（》）=§——lnx+x-a.

⑴若〃x）20,求。的取值范围；

⑵证明：若“X）有两个零点飞,三，则无也<1.

5.（2022•全国,高考真题）已知函数/（x）=ln（l+x）+axer

⑴当a=l时，求曲线丫=/（力在点（。，/⑼）处的切线方程；

⑵若在区间（-1,0）,（0,口）各恰有一个零点，求a的取值范围.

6.（2021•全国,高考真题）已知函数/（%）=（兀-1）d-*+6.

（1）讨论〃x）的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：Ax）只有一个零点

1

右1e

\ly—<〃4—,b>2。；

22

考点突破

【考点1】判断、证明或讨论零点的个数

一、单选题

2

1.（2022•浙江宁波•模拟预测）已知函数/（x）="26，设关于x的方程r（尤）+/a）-l=0（aeR）

eel

-----x——,x<—

I22e

有加个不同的实数解，则加的所有可能的值为（）

A.3B.4C.2或3或4或5D.2或3或4或5或6

二、多选题

2.（2023・湖南•模拟预测）已知函数〃尤）=$近（0无+。）（0>0,0<。<2兀）的部分图象如图所示，贝I］（）

57r7T

B./（X）在区间一不，一5上单调递增

C.将函数y=cosx图象上各点横坐标变为原来的g（纵坐标不变），再将所得图象向右平移已个单位长

度，可得函数“X）的图象

D.函数y=4/（x）+，2彳+三的零点个数为7

三、填空题

3.（2021•浙江•模拟预测）已知实数a>0且awl,/（%）="-靖为定义在（0,+e）上的函数，则〃尤）至多有

个零点；若/（X）仅有1个零点，则实数。的取值范围为.

四、解答题

4.（2024•四川成都•二模）已知函数.

⑴判断“X）的零点个数并说明理由；

（2）当尤21时，+恒成立，求实数。的取值范围.

e

5.（2024•陕西宝鸡•模拟预测）已知函数/（x）=（x—l）e'-4+L

⑴a=l时,求〃x）的零点个数；

⑵若x>l时，〃力>0恒成立，求a的取值范围.

6.（2022■全国■模拟预测）已知函数/'（x）=e"-方一a,aeR.

3

⑴当。=1时，求证：/(x)>0；

(2)求函数g(x)=xe-lnx-2x的零点个数.

反思提升：

利用导数求函数的零点常用方法

(1)构造函数g(x),利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.

(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零

点.

【考点2】根据零点情况求参数范围

一、单选题

1.(23-24高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)设函数/(x)=<若>=/(幻-5恰有5个

71

COXH---,--71<X<0

不同零点，则正实数。的范围为()

A•<10」3B.「%10，八4j

<10]「c1。)

C-12,T]D.[2,可J

二、多选题

2.(2021•山东聊城•二模)用符号区表示不超过x的最大整数，例如：[0.6]=0,[2.3]=2.设

/(x)=(l-lnX)(加+21nx)有3个不同的零点A，巧，斗，则()

A.x=e是/a)的一个零点

J

B.xl+x2<-xi-2-Je+e

C.0的取值范围是jLo]

21n3In2

D.若民]+[引+民]=6,则。的范围是-

9，--4~

、填空题

3.(2021.安徽安庆.三模)已知函数/。)=》(》一6，)+/*+〃箔*(尤一6，)有三个零点耳，巧，£，且不<。<马<W，

其中e=2.718为自然对数的底数，贝1的范围为.

四、解答题

4.(2023•陕西宝鸡•模拟预测)f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0)

⑴若a=l时函数/(x)有三个互不相同的零点，求m的范围;

(2)若函数/(尤)在[-M]内没有极值点，求。的范围;

4

5.（23-24高三上,辽宁沈阳,开学考试）已知函数〃元）=xlnx+a-tix（aeR）.

⑴若。=1,求函数/⑺在处的切线方程;

（2）若函数/（尤）在区间［l,e］上有且只有一个零点，求实数。的范围.

6.（2023•天津滨海新•模拟预测）已知函数/（x）=ox-1-（a+l）lnx,aeR.

⑴若。=0,求y=的单调区间.

⑵若1,且〃x）＞l在区间|,e上恒成立，求a的范围；

（3）若判断函数g（x）=x"（x）+a+l］的零点的个数.

反思提升：

1.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.

2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊

点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交

点情况.

【考点3】与函数零点相关的综合问题

一、单选题

1.（2024・湖北・二模）已知函数〃力=?+三（e为自然对数的底数）.则下列说法正确的是（）

A.函数〃元）的定义域为R

B.若函数/'（X）在P（0"（0））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为三，则。=1

C.当“=1时，〃力=机可能有三个零点

D.当a=l时，函数的极小值大于极大值

二、多选题

2.（2024•黑龙江哈尔滨•二模）已知函数了（尤）=〃2（尤+l）lnx-x+l,下列说法正确的有（）

A.当机=；时，则y=/（x）在（。,+◎上单调递增

B.当机=1时，函数y=/（x）有唯一极值点

c.若函数y=/（x）只有两个不等于1的零点占,三，则必有占“2=1

D.若函数＞=/（元）有三个零点，则。＜根＜g

三、填空题

3.（2024・安徽・模拟预测）对于函数〃力=向财-质（x'O）,当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大

值为当该函数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为尸，求

5

(l+a)sin2o(1+62)COS2/

~a+1-/,—,

四、解答题

✓7Y

4.(2024•内蒙古呼伦贝尔•二模)已知函数/(无)=lnx-/.

(1)当。=1时，证明：/(X)有且仅有一个零点.

(2)当x>0时，y(x)Wx恒成立，求。的取值范围.

(3)证明：—+—+—<n-e(1"e,\n>2,n&K).

23ne-1

5.(2024•江西景德镇•三模)已知函数/(x)=e2,g(x)=ex-Z?x.

⑴当八e时，求函数g(x)的极值;

⑵已知实数a€0,y

①求证：函数“X)有且仅有一个零点；

②设该零点为看,若〃尤)图象上有且只有一对点A(X］，X),8亿,%)&<%)关于点心,0)成中心对称，

求实数。的取值范围.

6.(2024•全国■模拟预测)已知函数/(尤)=/-ax+21nx.

⑴求函数/(x)的单调区间；

(2)若函数/(x)的两个极值点分别为和9，证明：-

xi-x2a2

⑶设力(x)=sin%+lnx,求证：当。£口,2］时，/(x)-21n%=幼(%)有且仅有2个不同的零点.

jrJT37r371

(参考数据：——In—b1.119,九一In兀b1.997,-----In一»3.162,2万一1112兀«4.445)

2222

反思提升：

在求解函数问题时，很多时候都需要求函数人X)在区间/上的零点，但所述情形都难以求出其

准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数人用在区间/上存在唯

一的零点(例如，函数4外在区间/上是单调函数且在区间/的两个端点的函数值异号时就可证

明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是X0.因为X0不易求出(当然，有时是可以求出但无需

求出)，所以把零点X0叫做隐零点；若X0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行,

实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.

・分层检测

6

【基础篇】

一、单选题

1.（2024・云南昆明•一模）己知函数/（x）=e'+e2r,则下列说法正确的是（）

A.为增函数B.〃尤）有两个零点

C.的最大值为2eD.y=的图象关于x=l对称

■JT

2.（2024・四川凉山•二模）^/（x）=xsinx+cosx-l,xe--,7i,则函数/（%）的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

3.（22-23高三下•江西阶段练习）若函数p（x）=X51nx一〃有零点，贝!Jo的取值范围是（）

11]1（1'

A.—,+00B.—00,—C.

e.5e）I5eJ

4.（2023•内蒙古包头•一模）已知函数”X）=T3+3X+I,则下列结论正确的是（）

A.〃x）有两个零点B.点（U）是曲线y=/（x）的对称中心

C.〃尤）有两个极值点D.直线y=3x+2是曲线y=/（x）的切线

二、多选题

5.（2023・全国•模拟预测）已知函数〃x）=（l-x）lnx-ax,aeR,下列正确的是（）

A.若函数〃x）有且只有1个零点%,则无。=1

B.若函数有两个零点，则a>0

C.若函数〃x）有且只有1个零点七,则a=l,%=1

D.若“X）有两个零点，则a<0

6.（21-22高三上•湖北•期中）已知函数/（x）=lnx-——，下列结论成立的是（）

x-1

A.函数/（x）在定义域内无极值

B.函数在点A（2,〃2））处的切线方程为y=|x+ln2-8

C.函数/（x）在定义域内有且仅有一个零点

D.函数在定义域内有两个零点七，X?,且工厂％=1

7.（2024・全国•模拟预测）已知函数/（x）=d一依+1,qcR,则（）

A.若/（%）有极值点,则〃工0

7

B.当a=l时，有一个零点

C./(x)=2-/(-x)

D.当。=1时，曲线y=〃x)上斜率为2的切线是直线y=2x-l

三、填空题

8.(2023•四川内江•模拟预测)若函数，(x)=fcv-e，有两个零点，则上的取值范围为.

9.(2021・海南・二模)函数〃此=(1+//-1的零点个数为.

10.(20-21高三上•吉林长春・期中)若函数〃x)=lnx+L-a有且只有一个零点，则实数。的值为.

X

四、解答题

11.(20-21高二下•重庆・期末)已知函数〃尤)=：/+依-21n无+人的图象在x=2处的切线与直线y=-gx+5

垂直.

(1)求。的值；

(2)若函数尤)在［l,e］上无零点，求方的取值范围.

12.(2024•江苏扬州•模拟预测)已知函数/(x)=ln(sx)-x(〃?>0).

⑴若〃x)40恒成立，求加的取值范围；

(2)若〃x)有两个不同的零点占,三，证明西+々>2.

【能力篇】

一、单选题

1.(2024•全国•模拟预测)若函数〃%)=尤e-x-lnx+a-2有两个零点，则实数〃的取值范围是()

A.(-oo,l］B.(-<x),0］C.(-8,0)D.(-oo,l)

二、多选题

2.(2024•辽宁•三模)己知函数〃x)=ax-3,g(x)=alnx+La为实数，下列说法正确的是()

X

A.当4=1时，则“X)与g(x)有相同的极值点和极值

B.存在aeR,使〃x)与g(x)的零点同时为2