2025年高考数学一轮复习讲义：直线与圆、圆与圆的位置关系（原卷版）

专题46直线与圆、圆与圆的位置关系（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................4

【考点1】直线与圆的位置关系................................................4

【考点2】圆的切线、弦长问题................................................5

【考点3】圆与圆的位置关系...................................................7

【分层检测】................................................................8

【基础篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................10

【培优篇】.................................................................10

考试要求：

1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

・知识梳理

L直线与圆的位置关系

设圆C：(%—〃)2+(、一力2=户，直线/：Ax-\-By+C=O,圆心C(Q,6)到直线/的距离为d,由

(x-6z)2+(y—b)2=户，

41nl「八消去y(或X),得到关于％(或y)的一元二次方程，其判别式为/.

[Ax+B_y+C=O

位置关系相离相切相交

图形

方程观点J<0/三0J>0

量化

几何观点d>rd三rd<r

2.圆与圆的位置关系

已知两圆Ci：(%—xi)2+(y—yi)2=T

C2：(%—X2)2+(y-")2="，

则圆心距d=|CiC2I=、/(11-12)2+(yi-丫2~5~^

则两圆Ci,Q有以下位置关系：

位置关系外离内含相交内切外切

圆心距

In-2|<d〈ri

与半径d>ri+nd<|ri1]2|。=|门一二|d=ri+r2

+厂2

的关系

®€)o0©

图示电

公切线条数40213

常用结论

1.圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2+y2=r2上一点P(xo,yo)的圆的切线方程为xox+yoy=r2.

(2)过圆(X—Q)2+(y—力2=/上一点P(xo,yo)的圆的切线方程为(次一〃)(1—Q)+(刈-6)。一力=户.

(3)过圆外一点M(xo,yo)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xox+yoy=r2.

2.直线被圆截得的弦长的求法

⑴几何法：运用弦心距4半径厂和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长履3|=2后彳.

2

（2）代数法：设直线y=履+用与圆/+'2+m+切+/=0相交于点M,N,将直线方程代入圆

的方程中，消去y,得关于x的一元二次方程，求出XM+XN和XM-XN,则\MN\=

q1+吩7（XM~\~XN）2——4XMFN.

5真题自测

一、单选题

L（2024•全国,高考真题）已知直线分+办一。+26=0与圆C：尤?+y?+4y-l=0交于两点，则的最

小值为（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2024・全国高考真题）已知》是。,。的等差中项，直线6+勿+。=0与圆/+丁+4丫­1=0交于4,3两点，

则|4B|的最小值为（）

A.1B.2C.4D.275

3.（2023•全国•高考真题）已知实数尤,V满足炉+》2一4》-2》-4=0,则"一丁的最大值是（）

A.1+乎B.4C.1+3丘D.7

4.（2023•全国•高考真题）过点（0,-2）与圆/+/-以-1=0相切的两条直线的夹角为a,贝hina=（）

A.1B.—C.巫D.诿

444

二、多选题

5.（2024•全国•高考真题）抛物线C：：/=©的准线为/,P为C上的动点，过尸作OA:d+（y-4『=1的

一条切线，。为切点，过尸作/的垂线，垂足为8,则（）

A./与：A相切

B.当尸，A,2三点共线时，|尸Q|=JB

C.当|P8|=2时，PA±AB

D.满足I如月产切的点尸有且仅有2个

三、填空题

6.（2023•全国•高考真题）己知直线/：x-冲+1=0与（C:（x-l）2+y2=43C^A,8两点，写出满足"VABC

面积为|"的根的一个值____.

7.（2022•全国•高考真题）若双曲线V一工=1（m>0）的渐近线与圆/+/-4〉+3=0相切，贝1]»1=.

m

8.（2022•全国,高考真题）写出与圆炉+丁=1和（尤-3）2+（丫-4）2=16都相切的一条直线的方

程.

3

考点突破

【考点1】直线与圆的位置关系

一、单选题

1.(2024•安徽・模拟预测)已知直线/:x+(l+a)y=2—a,圆C:Y+/_6x+4y+12=0,则该动直线与圆

的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.不确定

2.（2024,湖北•模拟预测）已知点尸是直线无-y-机=。上的动点，由点P向圆O:Y+y2=l引切线，切点分

别为M,N且/MPN=90,若满足以上条件的点尸有且只有一个，则根=（）

A.扬B.±72C.2D.±2

二、多选题

3.（2024•河北衡水•模拟预测）已知电,0）,［（）,白，动点P（x,y）满足|%=的即，则下列结论正确

的是（）

A.点P的轨迹围成的图形面积为兀

B.|P目的最小值为1一孝

C.4巴是尸的任意两个位置点，贝UN6A鸟v1

D.过点的直线与点P的轨迹交于点M,N,则MN的最小值为近

4.（23-24高三上,河北廊坊・期中）如图,有一组圆^（左€此）都内切于点汽-2,0）,圆。1：（%+3）2+”-1）2=2,

设直线无+y+2=0与圆G,在第二象限的交点为4,若则下列结论正确的是（）

A.圆C上的圆心都在直线x+y+2=0上

B.圆C99的方程为（尤+52>+（y-50）2=5000

c.若圆c*与y轴有交点，则处8

D.设直线x=-2与圆C#在第二象限的交点为线，则围以」=1

4

三、填空题

5.（2022,全国•模拟预测）在平面直角坐标系无。》中，过点4。,-3）的直线/与圆C:-+（,-2）2=9相交于M,

N两点，若以40'=1500”,则直线/的斜率为.

6.（19-20高一下•江苏无锡•阶段练习）在平面直角坐标系尤S中，已知直角AABC中，直角顶点A在直线

x-y+4=0上，顶点B,C在圆/+丁=io上，则点A横坐标的取值范围是.

反思提升：

判断直线与圆的位置关系的常见方法

（1）几何法：利用d与厂的关系.

（2）代数法：联立方程之后利用/判断.

（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

【考点2】圆的切线、弦长问题

一、单选题

1.（23-24高二下•广东茂名•阶段练习）已知圆C:（尤—3y+（y—4）2=9,直线/:（m+3）x—（m+2）y+»7=0.

则直线/被圆C截得的弦长的最小值为（）

A.2币B.回C.2A/2D.娓

2.（2024•辽宁•模拟预测）过点尸（。⑼作圆短+）2=2的切线,A为切点，|PA|=1,则2a-2的最大值是（）

A.715B.V13C.4D.3

二、多选题

3.（2022•福建泉州•模拟预测）已知点M在直线/：y-4=Mx-3）上，点N在圆O:尤?+产=9上，则下列说

法正确的是（）

A.点N至I"的最大距离为8

4

B.若/被圆。所截得的弦长最大，则左=：

C.若/为圆。的切线，则上的取值范围为，0,（1

D.若点M也在圆。上，则。至I"的距离的最大值为3

4.（23-24高二上•湖南常德•期末）已知圆M:（x+1）2+V=2,直线/：x-y-3=0,点P在直线/上运动，直

线巴4,PB分别与圆加切于点A,8.则下列说法正确的是（）

A.|尸山最短为布

B.|上4|最短时，弦A3所在直线方程为丫=%

C.存在点尸，使得PA.P5=0

5

D.直线A3过定点为[-5,-5）

三、填空题

5.（2022•四川成都•模拟预测）在平面直角坐标系xQy中，已知直线办->+2=。与圆C：/+y2-2x-3=0交

于A,B两点,若钝角VA3C的面积为百，则实数a的值是.

6.（2024・全国•模拟预测）在平面直角坐标系中，尸的坐标满足（tJ+2）,/eR,已知圆C:（x-3）2+/=1,

过P作圆C的两条切线，切点分别为A3,当上47归最大时，圆C关于点P对称的圆的方程为.

反思提升：

弦长的两种求法

（1）代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式/>0的

前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.

（2）几何方法：若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长/=2披二示.

求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上（即为

切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存

在的切线.

【考点3】圆与圆的位置关系

一、单选题

1.（2024•陕西铜川•模拟预测）己知A（—2,0）,5（2,0）,若圆（尤-a-l）?+（y-3a+2了=4上存在点P满足

PAPB=5>则。的取值范围是（）

A.[—1,2]B.[—2,1]C.[—2,3]D.[—3,2]

2.（23-24高二上•安徽马鞍山,阶段练习）两圆Y+y2=i与尤2+y+2》_2k1=0的公共弦长为（）

A.—B.J2C.-D.1

2v2

二、多选题

3.（22-23高二上•浙江绍兴•阶段练习）以下四个命题表述正确的是（）

22_

A.椭圆上+匕=1上的点到直线x+2y-应=0的最大距离为加

164

B.已知圆C：/+尸=4,点p为直线3+5=1上一动点，过点尸向圆C引两条切线以、PB,AB为切

42

点，直线A8经过定点（1,2）

C.曲线G：/+/+2x=0与曲线C2：x?+丁-4x-8y+租=0恰有三条公切线，则机=4

D.圆/+V=4上存在4个点到直线/：x-y+及=0的距离者B等于1

4.（2024•黑龙江齐齐哈尔•一模）已知圆G：（x-3）2+y2=i，G：x2+（y_a）2=i6,则下列结论正确的有（）

6

A.若圆J和圆C2外离,则a>4

若圆G和圆&外切，贝Ua=±4

当。=。时，圆C1和圆G有且仅有一条公切线

当。=-2时，圆G和圆a相交

5.（2024•浙江丽水・二模）已知圆+（2/〃-l）y2-2ax-a-2=0,若对于任意的aeR,存在一条直线

被圆C所截得的弦长为定值”，则m+n=.

6.（2023•全国•模拟预测）圆G：/+/+4x+6y-23=0与圆C?:（X-2）2+（y-l）2=4的公切线长为.

反思提升：

1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一

般不采用代数法.

2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,V项得到.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024・全国•模拟预测）若直线皿+"y=l与圆元2+y2=i有交点，则（）

A.m2+M2..1B.m2+n2„1

C.nr+M2>1D.7Z72+z?2<1

2.（2024•全国,模拟预测）已知P为直线/：x-y+l=0上一点，过点尸作圆C：（尤-ly+y'l的一条切线，

切点为A，贝||尸山的最小值为（）

A.1B.72C.gD.2

3.（2024・贵州六盘水•三模）已知直线依-y+2=0与圆（彳_1），；/=4相交于A,B两点,若|AB|=2石，

则。=（）

43

A.—B.1C.----D.-2

34

4.（2021•江西•模拟预测）已知圆C:x2+y2-6x=0,过点尸（6,4）向这个圆作两条切线，则两切线的夹角的余

弦值为（）

724724

A.—B.—C.-----D.-----

25252525

、多选题

7

5.（2024•辽宁沈阳三模）设椭圆C:工+亡=1的左、右焦点分别为耳％P是。上的动点，则下列说法正确

2516

的是（）

A.「可|的最大值为8

4

B.椭圆C的离心率e=二

C.2片工面积的最大值等于12

D.以线段久居为直径的圆与圆（x-4）2+。-3）2=4相切

6.（2023・浙江绍兴•模拟预测）已知圆G：（x-iy+y2=i和圆。2：尤2+y2-4x-4y+4=0,则（）

A.圆C?的半径为4

B.'轴为圆G与G的公切线

C.圆。1与g公共弦所在的直线方程为x+2y-l=0

D.圆G与c?上共有6个点到直线2元-y-2=0的距离为1

7.（2023•河北•三模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:尤2+/=户“>0）与圆加：（无一6）2+在=4,P,Q

分别为圆。和圆M上的动点，下列说法正确的是（）

A.过点44,2）作圆M的切线有且只有一条

B.若圆。和圆〃恰有3条公切线，则厂=4

C.若|PQ|的最小值为1,贝什=3

D.若/>=2,则直线PQ的斜率的最大值为城

5

三、填空题

8.（2024•天津•二模）设直线=6）（左片0）和圆。：/+丁-6工-4〉+5=0相交于加户两点.若

CM-CN=Q，贝!1实数左=.

9.（2023•天津武清・模拟预测）已知点41,0）,8（2,0）,经过点3作圆（彳-货+（y-2）2=5的切线与V轴交于

点尸，贝"AP|=.

10.（23-24高三下•天津南开•阶段练习）已知直线x+y-5=0与圆C：d+y2-4x+2y-根=0相交于4,8两

点，且|ABk4,则实数〃?=

四、解答题

11.（2020•云南保山•模拟预测）已知圆C经过A（T5）,5（5,5）,。（6,-2）三点.

8

（I）求圆c的标准方程;

（2）求经过点£（-3,2）且和圆C相切的直线/的方程.

12.（22-23高二上•天津和平•期中）已知圆心为C的圆经过点4（-1,1）和3（-2,-2）,且圆心在直线

I:x+y—1=0Ji,求：

⑴求圆心为。的圆的标准方程；

（2）设点P在圆C上，点。在直线尤->+5=0上，求|PQ|的最小值；

⑶若过点（。，5）的直线被圆C所截得弦长为8,求该直线的方程.

【能力篇】

一、单选题

1.（2024•山东聊城•二模）若圆6：炉+丁=1与圆C2：（x-a>+（y-b）2=4恰有一条公切线，则下列直线一

定不经过点（。力）的是（）

A.2x+y-^2=QB.2x-y+2=0

C.x+y—s/2=0D.x—y+2—0

二、多选题

2.（2024•山东青岛三模）已知动点N分别在圆£:（x-iy+（y-2）2=l和C?:（x-3）2+（y-4）2=3上,

动点尸在x轴上，则（）

A.圆C2的半径为3

B.圆G和圆&