2025年高考数学一轮复习讲义：椭圆（解析版）

专题47椭圆（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................8

【考点1】椭圆的定义及应用..................................................8

【考点2】椭圆的标准方程....................................................15

【考点3】椭圆的简单几何性质................................................21

【分层检测】...............................................................26

【基础篇】.................................................................26

【能力篇】.................................................................35

【培优篇】.................................................................40

考试要求：

1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

・知识梳理

1.椭圆的定义

平面内与两个定点Fi,仍的距离的和等于常数(大于尸1仍|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫

做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的鲤I，焦距的一半称为半焦距.

其数学表达式：集合P={MI"Bl+|MR2|=2a},=其中a>0,c>0,且a,c为常数：

(1)若心，则集合P为椭圆；

⑵若小口则集合P为线段；

(3)若我,则集合尸为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

1+[=1(»>0)5+胃=1(。泌>0)

标准方程

y1.

B2

图形烈一

£^A2X

一aWxWa—bWxWb

范围

—bWyWb—aWyWa

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

Ai(~a,0),人2(。，0),Ai(0,~a),A2(0,a),

顶点

性~b),B2(0,b)0),Bz(b,0)

质轴长轴A\Ai的长为2^；短轴B1B2的长为2b

焦距|FIF2|=2C

离心率e=，(0,1)

a,b,c的关系c2=cfi—b2

|常用结论

1.若点尸在椭圆上，R为椭圆的一个焦点，则

(l)6W|0P|Wa；

(2)a—cW|PF|Wa+a

2.焦点三角形：椭圆上的点P(xo,泗)与两焦点构成的△PR1R2叫作焦点三角形，n=\PF\\,n

2

=\PF2\,ZFIPF2=0,△PR的的面积为S,则在椭圆,+g=1（。＞。＞0）中：

（1）当r1=厂2时，即点P的位置为短轴端点时，。最大；

（2）S=〃tan?=c|yo|,当|yo|=6时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为。c.

2h2

3.焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长/min=二-.

?2

4.A3为椭圆a+，=1（。＞。＞0）的弦，A（xi,yi）,3（x2,yi）,弦中点M（xo,yo）,则直线A3的斜

真题自测

一、单选题

1.（2024•全国•高考真题）已知曲线C：x2+y2=16（y＞0）,从C上任意一点P向x轴作垂线段PP「P为

垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（）

B.—+^=1(y>0)

(J>0)

168

22

(y>o)D.—+—=1(y>0)

168

r2

2.（2023・全国•高考真题）设居，&为椭圆C:^+：/=i的两个焦点，点尸在C上,若尸耳J耳=0,则

附|•熙|=（）

A.1B.2C.4D.5

22

3.（2023•全国•高考真题）设。为坐标原点，月，耳为椭圆C:二+乙=1的两个焦点，点尸在C上,

96

3

COSZF{PF2=~,贝！J|OP|二()

13R屈14J35

A.——D.-----C.—D.

5252

22

4.（2023•全国•高考真题）设椭圆£：=+>2=1(“>1),G:土+y2=1的离心率分别为4,4.若4=氐,则

a4

a=（）

A.正B.72C.百D.76

3

22

5.（2022•全国•高考真题）已知椭圆C：彳r+斗v=1（〃〉力＞0）的离心率为彳1，。4分别为。的左、右顶点,

ab'3

8为C的上顶点.若3•%=-!,则C的方程为（）

3

22

6.(2022•全国•高考真题)椭圆C:之+与=l(a>6>0)的左顶点为A,点尸,。均在C上，且关于y轴对称.若

cTb"

直线AP,AQ的斜率之积为J,则C的离心率为()

4

A右B&r1D1

A.D.C.—L).—

2223

二、填空题

22

7.(2022•全国•高考真题)已知椭圆C：A+\=l(a>6>0),C的上顶点为A,两个焦点为五一工，离心

ab

率为过K且垂直于A工的直线与C交于。，E两点，1。£|=6,则V">E的周长是____________.

2

参考答案：

题号123456

答案ABBABA

1.A

【分析】设点M(x,y),由题意，根据中点的坐标表示可得尸(羽2丫)，代入圆的方程即可求解.

【详解】设点M(x，y),则尸®%),P'(x,0),

因为“为PP的中点，所以为=2y,即P(x,2y),

又尸在圆/+：/=16(>>0)上，

所以X?+4y2=16(>>0),R=l(y>0),

164

即点M的轨迹方程为㊀+二=Ky>0).

164

故选：A

2.B

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出「月心的面积，即可解出；

方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出.

【详解】方法一：因为尸耳•盟=0,所以/期乙=90,

从而5研=62121145=l=1x|Pf；|.|PK|,所以归耳HPE|=2.

故选：B.

方法二：

2

因为期"6=0,所以/尸片月=90,由椭圆方程可知，C=5-1=4^C=2,

4

所以I咫「+归用2=但闾2=42=16,又归耳|+|尸q=2.=2有，平方得:

|尸球+|尸球+2|尸制尸周=16+2|尸耳归闾=20,所以|「耳卜|尸闾=2.

故选：B.

3.B

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出P月外的面积，即可得到点P的坐标，从而得出|OP|的值;

方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出|P制尸段周2,再结合中线的向量公式以及数量积即

可求出；

方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出|尸国2+|尸周:即可根据中线定理求出.

【详解】方法一：设/片2工=2&0＜，＜曰,所以S两&=廿tan=吩tan。,

由。“伊――喘治二之31

=一，解得：tan6>=-,

52

由椭圆方程可知,。2=94=6,02=〃2一。2=3,

2

所以，S=gx|£G|x|yj=gx2gxbj=6xg,解得：yp=3,

即$=91斓*因止匕|。尸|=7^=网=等.

故选:B.

方法二：因为|尸£困尸阊=2a=6①,归片『+|「同『-2|尸川尸鸟区甲迟=闺耳『，

即+L=12②，联立①②，

1599

解得：阀厅阊=5,阀|+\PF2\=21,

而PO=+桃），所以依=|叫=+PF2\,

即|叫=:摩+「■=4附1+2P吊尸居+,[=]21+2X泮=学.

乙乙"乙Yj乙乙

故选：B.

方法三：因为|P4|+|P6|=2a=6①,归周2+归阅2一21朋陀阊©os/耳尸耳=|耳周2,

即®「+附%卜]2②，联立①②，解得：附『+附「=21,

22

由中线定理可知，（2|OP|）+|f；f；|=2^PFf+\PF2^=42,易知闺司=26，解得：|OP|=§.

故选：B.

【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常

5

规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难

度不是很大.

4.A

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.

【详解】由e2=gq,得e；=3e；,因此上l=3x",而所以。=友.

4/3

故选：A

5.B

【分析】根据离心率及外•%=-1，解得关于〃2,从的等量关系式，即可得解.

【详解】解：因为离心率=L解得与=!，。2=>,

A-4分别为c的左右顶点，则4(一40),4(a,0),

2为上顶点，所以8(0,6).

所以网=(一。，一力，B&=(a,—b),因为网•%=—1

O

所以-/+62=一1,将廿=\"代入，解得"=9方=8,

22

故椭圆的方程为土+匕=1.

98

故选：B.

6.A

【分析】设尸a，%),则。(F,%),根据斜率公式结合题意可得—尤=；，再根据］+/=i,将％用

4表示，整理，再结合离心率公式即可得解.

【详解】［方法一］：设而不求

设尸(%,%),则Q

则由原p•怎。=J得：kAP'kAQ=T-----=一变

4石+a-石+a_%■

fe2(«2-v)

得短

6

/ST)及1

所以一滔—1,即勺」，

——一玉2~+4—=74a4

所以椭圆C的离心率=故选A.

a\a22

［方法二］:第三定义

设右端点为B,连接PB,由椭圆的对称性知：kPB=-kAQ

故k：Ap•镰=kpA•(-kpB)=

h2

由椭圆第三定义得：kpA-kpB=—\,

a

故!」

a24

所以椭圆C的离心率e小厂故选A.

7.13

22

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为?+3=1，即31+49-12,2=0,根据离心率得到直线的斜

率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：尤=6y-c,代入椭圆方程

1a1Q

3y+49-12，=0,整理化简得到：13/-6V3cy-9c2=0,利用弦长公式求得c=上，得。=2c=」,根据对

■"84

称性将7ADE的周长转化为△鸟DE的周长，利用椭圆的定义得到周长为4。=13.

c1

【详解】回椭圆的离心率为e=—=彳，0«=2c,0Z>2=a2-c2=3c2,回椭圆的方程为

a2

22

券+云=1,即3V+4y2-i2c2=0,不妨设左焦点为f；,右焦点为招，如图所示，回Ag=a,OF2=c,a=2c,

-TT

0ZA/^O=j,回△AG鸟为正三角形，回过月且垂直于人居的直线与C交于D,E两点，DE为线段AF2的垂

直平分线，回直线DE的斜率为乎，斜率倒数为岔，直线。E的方程：x=6y-c,代入椭圆方程

3f+4户12c2=0,整理化简得到：13y2—6百cy-9c2=0,

判另|J式A=(6&『+4xl3x9c2=62x16x02,

叫。闾=J+(⑹,IM-y2卜2x=2x6x4x-=6,

1313

13c13

团c——,zna=2c=—

84

团OE为线段人工的垂直平分线，根据对称性，AD=DFVAE=EF2,团VAO石的周长等于△修足的周长,

利用椭圆的定义得到△修组周长为

7

\DF2\+\EF2\+\DE\=^DF2\-i-\EF2\+\DF1\+\EFl\^DFi\+\DF2\+\EFi\+\EF^=2a+2a=4a=13.

故答案为：13.

考点突破

【考点1】椭圆的定义及应用

一、单选题

22

1.（23-24高二上•湖南长沙•阶段练习）已知大，尸2是椭圆工+匕=1的两个焦点，尸是椭圆上一点，则

|「闻忖闾的最大值是（）

A.—B.9C.16D.25

4

22

2.（2024•陕西西安•三模）已知定点尸（2,0）与椭圆,于=1上的两个动点M,N,若PMLPN,她PM•NM

的最小值为（）

823J3

A.-B.13C.一D.—

332

二、多选题

22

3.（2024・广东广州•模拟预测）已知椭圆E：=+2=1（a>b>0）的左、右焦点为打，左,过F2的直线

ab

7

与E交于N两点.若cosN隼*=§,.则（）

A\MF2\1

A.的周长为4〃B.=-

口均2

C.MN的斜率为±6D.椭圆E的离心率为必

3

4.（23-24高三下•黑龙江•阶段练习）己知4（2,0）、3（4,1）,点"（x,y）为曲线C上动点，则下列结论正确

8

的是（）

A.若C为抛物线y?=8x,贝可|肱4|+|〃6|）.=2+&7

22

B.若C为椭圆言+4=1,贝|（|^4|+|腔|）而"=1。一回

2

C.若c为双曲线尤2一1_=1,则+1nhi=历一2

D.若C为圆Y+y』，贝|心胸+照）=等

、~乙）min乙

三、填空题

22

5.（23-24高三下•湖北武汉•阶段练习）设椭圆工+乙=1的左右焦点为片，工，椭圆上点尸满足

2512

「耳|:|尸名|=2:3,则PG外的面积为.

22

6.（23-24高二上•山东青岛•期末）如图所示，已知椭圆C:j+与=1（。>0,6>0）的左右焦点分别为片

ab

点A在。上，点5在y轴上，耳4,用氏忸阊二川4阊，则。的离心率为.

参考答案:

题号1234

答案DCABDBCD

1.D

【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案.

【详解】因为|W|+|P闾=10,所以|尸团.［尸封［幽土四］=25,

I2J

当且仅当|尸制=|尸阊=5时，|尸耳卜|尸闾取到最大值.

故选：D.

2.C

【分析】设出点M的坐标，再利用数量积的运算律及坐标表示，列出函数关系并求出最小值.

22

【详解】设椭圆土+工=1上的点M（6cos0,3sine）（6eR）,而PM口N,

369

9

因止匕PM•NM=PM(NP+PM)=PMNP+PM?=PM?

=(6cos。-2)2+(3sin6))2=36cos20-24cos^+9sin26

423234

=27cos2，-24cos6>+13=27(cos6--^2+—>—,当且仅当cos0=§时取等号，

23

所以尸的最小值为

故选：C

3.ABD

【分析】利用椭圆的定义可得△6MN的周长，可判断A选项；没/NMD=a,由cos2a得sina,而

sino=卡就可得局=],设|岫|=2相，得|NM|=|M|=3相，进而由椭圆的定义可得|峥卜相，

\NF^=2m,从而可判断B选项；在△与M入中用正弦定理可得,=半加，进而求tanZFJKN可得直线MN

的斜率，可判断C选项；计算离心率可判断D选项.

【详解】对于A：过尸2的直线与E交于"，N两点且COSN耳=

连接片N,/不吟的平分线交6N于点。，如图所示：

则△4MN的周长等于|阿|+|AW|+\NF]=\MF\+\MF2\+|Ng|+|叫|=4a

故A正确；

对于B：设ZNMD=a,

711

贝Ucos2a=l-2siij2a=—nsin2«=—=>sina=-,

993

而sina」3=^=幽二

3\NM\\NM\\NM\3

设卜2m(m>0),贝=|町|=3m,

于是|g|+|MW|+|Aff；|=8M=4a,即a=2»i.

+\MF^=2a=4m,得|蟠|=机，

10

又W司+\NFt\=2a=4m,得|遇|=2根,

所以黑

5,故B正确;

|N闻2m

对于C：在△邛"，由余弦定理可得：山闾2=照娟2+M闾2一2陷用MK|cos2a,

则222即

4c=9m+m-2x3m—=c=2Gm.

933

在△稗心中，=\NF2\=2m,又。是耳工中点,

所以NO，耳鸟，则|NO|=JN琢一M=当小

于是tan/片gN=网''

所以MN的斜率为点N在x轴上方时一应，在x轴下方时也，故C错误;

2y

M

对于D：e=—c=-~-^--=—A/3,故D正确.

a2m3

故选：ABD.

4.BCD

【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A选项；利用椭圆的定义以及数形结合可判断B选项；利

用双曲线的定义以及数形结合可判断C选项；利用圆的方程以及数形结合可判断D选项.

【详解】对于A选项，如下图所示:

抛物线/=8x的焦点为A(2,0),准线方程为x=-2,

设点M在直线尤=-2上的射影点为E,由抛物线的定义可得|阿|=\MA\,

所以，|M4|+|MB|=|ME|+|A«|,

由图可知，当E、M、8三点共线时，卜W闽+W叫取最小值,

且其最小值为点8到直线x=—2的距离，即(1^41+131)讪=6,A错；

11

对于B选项，如下图所示:

22_________

对于椭圆3+5=1,。=5,b=A/21，则c=yja2—b2-V25-21=2，

22

则点A为椭圆合+卷=1的右焦点，取。(-2,0)为该椭圆的左焦点，

由椭圆的定义可得|他4|=2。-|加0|=10-|加0|,

所以，网+眼同=10+|班-|岫210-幽=10-44+2)2+1=10-收,

当且仅当M为射线与椭圆的交点时，|初4|+|血8|取最小值10-厉，B对;

2__________

对于C选项，对于双曲线f一］_=1,a=l,8=6，则c=+/=J1+3=2,

2

所以，点4(2,0)为双曲线尤2一(_=1的右焦点，

2

取0(-2,0)为双曲线/-5=1的右焦点，如下图所示：

当点M在双曲线的右支时，由双曲线的定义可得|九洲=2。=2,则|M4|=|ME>|-2,

所以，|MA|+|MB|=|MD|+|MB|-2N|SD|-2=历-2,

当且仅当“为线段3D与双曲线右支的交点时，等号成立;

当点M在双曲线的左支时，由双曲线定义可得|M4|TME»|=2a=2,

贝！］|M4|=|MD|+2,所以，|M4|+|MB|=|MD|+|Affi|+2上忸0+2=厉+2,

当且仅当M为线段与双曲线左支的交点时，等号成立.

综上所述，(|他4|+|〃同)向「1方-2,C对；

对于D选项，记点对于点M(x,y),易知一-1<y<1,

12

22

|A/A|=—+J=yjx-4x+4+y=Jx?-4x+1+y?+3（尤，+丁）

所以，^\MA\+\MB\=\MH\+\MB\>\HB\=^4-1j+12

当且仅当M为线段与圆的交点时，等号成立，

即］:=半，口对-

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：利用二次曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：

(1)求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；

(2)圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解；

(3)在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为

直线解决最值问题.

5.12

【分析】结合椭圆定理、勾股定理的逆定理与三角形面积公式计算即可得.

【详解】由椭圆定义可得|正司+|尸闾=2a=10,

\ppIo

则有右耳=$则叫=4,附1=6,

又但鸟|=2c=2,25-12=2岳,

由42+62=52=（2而『，故/居P耳=90。,

故S乎&=gx4x6=12.

故答案为：12.

6.叵~/上回

55

13

【分析】

设出根，利用椭圆定义和图形对称性，借助于耳4,耳5求得。与机的数量关系，接着在RtZ\03U中

求得COSNO^B,从而得到cos/人工耳，最后在A巴耳中运用余弦定理即可求得.

【详解】设|A&|=m,依题意，|AEI=2a—加，因点5在V轴上，贝力3耳|=|3笈|=4m，\AB\=5mf

又因624_1月氏则（2〃一加）2+（4冽）2=（5m）2,化简得a=2根，在RtZXOB居中，cosZOF2B=-^—,故

4m

cosNAK月=--^―,

Q1

在4ABK中由余弦定理，（2〃-m）2=（2c）2+m2-2-2c-mcosZAFF-a2=4c2+-a2-2ac\——r）,

2X442a

解得：2a2=502,即e?==，则离心率为叵.

55

故答案为：亚.

5

【点睛】思路点睛：由椭圆的焦半径想到椭圆定义式，由垂直想到求三边利用勾股定理，由边的数量关系

想到设元替换，遇到三角形的边角关系，要考虑能否用正、余弦定理.

反思提升：

椭圆定义的应用技巧

（1）椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和

离心率等.

（2）通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.

【考点2】椭圆的标准方程

一、单选题

22

1.（2024・辽宁，二模）已知方程4+4=1表示的曲线是椭圆，则实数上的取值范围是（）

左一48—k

A.（4,6）B.（6,8）C.（4,8）D.（4,6）u（6,8）

2.（2024•广西桂林•三模）已知椭圆C：三+t=1的右焦点为凡过尸的直线与C交于A、8两点，其中

43

点A在尤轴上方且4尸=2尸3，则B点的横坐标为（）

1377

A.—B.-C.D.一

2244

二、多选题

22

3.（2021・全国•模拟预测）已知〃?为3与5的等差中项，”为4与16的等比中项，则下列对曲线C:上+）-=1

mn

描述正确的是（）

A.曲线c可表示为焦点在y轴的椭圆

B.曲线C可表示为焦距是4的双曲线

14

C.曲线c可表示为离心率是交的椭圆

2

D.曲线。可表示为渐近线方程是,=±岳的双曲线

22

4.（2023•全国•模拟预测）已知大，工分别为椭圆C:，+与=l（a>6>0）的左、右焦点，直线过

ab

c的一个焦点和一个顶点，且与C交于两点，则（）

A.△邛WN的周长为8

B.△月MN的面积为%8

8

C.该椭圆的离心率为!

2

D.若点尸为C上一点，设尸到直线x=4的距离为d,则㈣=!

d2

三、填空题

22

5.（2023•广东•二模）已知弓，F?分别是椭圆C：5+2=1（。>。>0）的左、右焦点，M是C上一点且班

ab

与X轴垂直，直线加K与C的另一个交点为N.若直线MN在y轴上的截距为3,且MN=4F1N,则椭圆C

的标准方程为.

6.（2024・上海•三模）舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，。是滑槽AB的

中点，短杆ON可绕。转动，长杆MN通过N处的钱链与QV连接，上的栓子。可沿滑槽A3滑动，当

点。在滑槽AB内作往复移动时，带动点N绕。转动，点M也随之而运动，记点N的运动轨迹为G，点M

的运动轨迹为G.若ON=OV=1,MN=3,且过G上的点p向G作切线，则切线长的最大值为

参考答案:

题号1234

答案DDACDACD

1.D

【分析】根据椭圆的标准方程中分母都大于0且不能相等即可求解.

22

【详解】因为方程7三+占=1表示的曲线是椭圆，

女一48—左

15

左一4＞0

所以＜8-%〉0,解得4＜女＜8且4w6,

女一4w8—女

所以实数k的取值范围是（4,6）U（6,8）.

故选：D.

2.D

【分析】由题意可知：网1,0）,设4（%,%）,川电,%），根据向量共线可得，，结合椭圆方程运

算求解即可.

【详解】由题意可知：c=万=1，可知产（10），

ULHUULL

设4（和yj,矶22），则A尸=（1一石,-乂）,尸2=（9-1,%）,

M-o,整理得%=-2%

因为AF=2FB，可得

再=3-2X2

22

(3-2X2)।(-2y2)

I解得々=：,

将A,8代入方程可得43

X；代_]

143

7

可知5点的横坐标为

故选：D.

3.ACD

【分析】由已知条件先求出〃?，”的值，从而可得曲线C的方程，然后根据曲线方程分析判断即可

【详解】由沉为3与5的等差中项，得2〃?=3+5=8,即m=4,

由w为4与16的等比中项，得〃2=4x16=64,即〃=±8,

则曲线C:工+反=1的方程为1+?=1或

mn4848

其中I+E=l表示焦点在y轴的椭圆，此时它的离心率e=£=、归n=、「耳="，故A正确，

48a\a2\a2\82

C正确；

22______

其中3一方~=1表示焦点在X轴的双曲线，焦星巨为2c=2，片+匕2=2,4+8=4#），渐近线方程为、=

±-x=±^x=±y/2x,故8不正确，。正确.

a2

故选:ACD.

16

4.ACD

【分析】由题意直线过焦点与顶点，待定系数4c,得到椭圆方程.选项A,由椭圆定义△耳MN的周长为4a；

选项B,联立直线与椭圆可得交点〃,N坐标，可得的面积；选项c,e=-选项D,设椭圆上任

a:

一点尸（%,%）,则由椭圆方程可得y；=3x[i-乎],再由距离公式代入坐标化简求解四即可.

V47d

【详解】由题意知，椭圆焦点在x轴上，直线/过椭圆的一个焦点和一个顶点，

故直线/：y=-1）与x轴的交点（1,0）为右焦点尸2,

与'轴的交点为（0,-石）为顶点，设为“，

所以b=V3,C=1,贝I」Q=十-2,

22

所以椭圆的方程为土+工=1

43

对于A由椭圆的定义|耳的|+|取4=|耳N|+优凶=2«,

所以△片A/N的周长为4〃=8,故A正确.

对于B,由43消y得，5X2-8X=0,解得X=0,或1=]，

由则/='!，代入直线y=石（冗一1）,",

故N点坐标为,

所以△KMN的面积

S=；比工卜|加7M=；x2cx1君+当）W，故B错误.

r1

对于C,因为。=2,C=1,所以C的离心率e=—=二，故C正确.

a2

对于D,设尸（尤0,%）,则4=4-%.

因为手+?=1，所以此=3X[T，

则四=匹江^上。T)'31l〃一2%+4

d4—XQ4—XQ4—XQ

17

【分析】根据给定条件，借助几何图形及比例式求出点M,N的坐标，再代入椭圆方程求解作答.

【详解】由对称性不妨令点”在第一象限，令直线交y轴于点A,过N作NBLx轴于8,令

用(-<:,0),乙(c,0),

因为轴，则。4//加工，而。为片工的中点，又A为〃耳中点，而1。4|=3,

于是1Ml=2|OA|=6,由MN=44N知，台行5=£，显型NBUMF”

|Mrx|J

112c5c

因此|A®|=§|MKI=2,|8£|=§|EK|=w，于是N(-§,-2),又此(c,6),

'25c24,

--2--2=1

则*b，解得廿=54,/=3。2,而。2=从+。2,贝”=27,您=81，

c236,

I.Fa'+Fb~=1

22

所以椭圆C的标准方程为二+乙=10

8154

V2V2

故答案为：土+匕=1

8154

6.V15

【分析】以滑槽A3所在的直线为无轴，。为坐标原点建立平面直角坐标系，分别求出曲线C1和C?的方程,

利用三角换元设椭圆上任意一点的坐标，先求出。尸的最大值，然后利用圆的切线长的求解方法，即可求得

18

答案.

【详解】如图，以滑槽A3所在的直线为尤轴，。为坐标原点建立平面直角坐标系,

因为CW=1,所以点N的运动轨迹G是以。为圆心，1为半径的圆,

则其方程为无?+y2=i,

设N(cosasinO),因为ON=DN=1,所以£»(2cos6,0),

因为肱V=3,所以NM=3ND，

设贝(x-cose,y-sin6)=3(cosa-sin。)，得尤=4cos6,y=-2sin6,

22

所以“(48$仇-2$m0，则点M的轨迹a是椭圆，其方程为二+匕=1,

164

设。2上的点P(4cosa,—2sina),则

OP2=16cos2cif+4sin2cr=4+12cos2a<16,

所以切线长为yjop2-1<V16-1=715,

所以切线长的最大值为JF,

故答案为：V15

【点睛】关键点点睛：此题考查动点的轨迹方程的求法，考查与椭圆有关的