2025年高考数学一轮复习讲义：奇偶性、对称性与周期性（解析版）

专题08奇偶性、对称性与周期性（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】...............................................................12

【考点1】函数的奇偶性......................................................12

【考点2】函数的周期性及应用................................................16

【考点3】函数的对称性......................................................22

【考点4】函数性质的综合应用................................................28

【分层检测】...............................................................33

【基础篇】.................................................................33

【能力篇】.................................................................40

【培优篇】.................................................................42

考试要求：

1.理解函数奇偶性的含义.

2.了解函数的最小正周期的含义.

3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.

融知识梳理

1.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

一般地，设函数加0的定义域为/,如果Vx©/,

偶函数都有一X©/，且x)=/U),那么函数人x)就关于y轴对称

叫做偶函数

一般地，设函数加0的定义域为/,如果Vx©/,

奇函数都有一X©/，且外一■=-—X),那么函数兀0关于原点对称

就叫做奇函数

2.函数的周期性

⑴周期函数：对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，

都有<x+T)=/(x),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数五x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就

叫做兀t)的最小正周期.

|常用结论

1.函数周期性的常用结论

对/(X)定义域内任一自变量的值X：

(1)若Hx+a)=一火%),则T=2a(a>0).

(2)若於+a)=]([),则T=2a(a>0).

(3)若危+a)=-1([),则T=2a(a>0).

2.对称性的四个常用结论

(1)若函数y=/(x+a)是偶函数，则函数y=/U)的图象关于直线x=a对称.

(2)若函数是奇函数，则函数y=/(x)的图象关于点团，0)中心对称.

(3)若函数y=/(x)满足x)，则y=/(x)的图象关于直线对称；特别地，当a

=人时，即_/(a+x)=/(a—x)或7(x)=/(2a—x)时，则y=/(x)的图象关于直线x=a对称.

(4)若函数y=/(x)满足式x)+7(2a—龙)=20,则y=/(x)的图象关于点(a,切对称.特别地，当人=0

2

时，即五a+x)+*a—x)=O或火x)+y(2a—x)=0时，则y=/(x)的图象关于点(。，0)对称.

.真题自测

一、单选题

1.(2023・全国•高考真题)已知/(%)=」以是偶函数，则。=()

e以-1

A.-2B.-1C.1D.2

Oy—1

2.(2023•全国•高考真题)若〃x)=(尤+a)ln^石为偶函数，贝陷=().

A.-1B.0C.yD.1

22

3.(2022・全国•高考真题)已知函数/(x)的定义域为R,且/Xx+y)+f(x-y)=/•(x)f(y)J⑴=1,则£f(k)=

k=l

()

A.-3B.-2C.0D.1

4.(2022•全国•高考真题)已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,Mf(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若

22

y=g(x)的图像关于直线X=2对称，g⑵=4,则£〃左)=()

k=\

A.-21B.-22C.-23D.-24

5.(2021•全国•高考真题)已知函数f(无)的定义域为R,〃x+2)为偶函数，〃2尤+1)为奇函数，则()

A.(J。B.〃-1)=0C."2)=0D./(4)=0

6.(2021•全国,高考真题)设函数f(x)的定义域为R,〃x+l)为奇函数，〃x+2)为偶函数，当xe[l,2]时，

fM=ax2+b.若/(0)+/(3)=6,则()

9375

A.——B.——C.-D.—

4242

二、多选题

7.(2023•全国•高考真题)已知函数的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则().

A./(0)=0B./(1)=0

C.〃x)是偶函数D.元=0为了⑺的极小值点

8.(2022•全国•高考真题)已知函数AM及其导函数1(X)的定义域均为R,记g(x)=/(x),若

g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.gMj=0C./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)

3

三、填空题

9.(2023•全国•高考真题)若〃x)=(x-l)2+ax+sin[x+T为偶函数，贝lja=

10.(2021•全国•高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(X)：.

①〃人马户〃%])〃9)；②当尤e(0,+co)时，f\x)>0；③/'(x)是奇函数.

11.(2021•全国•高考真题)已知函数〃%)=/,.2工-2-*)是偶函数，则。=.

参考答案：

1.D

【分析】

根据偶函数的定义运算求解.

【详解】

因为“小;为偶函数，则小)-

又因为X不恒为0,可得e「e(E=0,即e'=e("»,

则x=(a-1)兀，即1=々—1,解得Q=2.

故选：D.

2.B

【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出〃值，再检验即可.

【详解】因为〃九)为偶函数，则/(I)=/(-I)，/.(1+^z)In1=(-1+6z)In3,解得a=0,

当a=0时，/(x)=xln^X,(2x-l)(2x+l)>0,解得1或x<-L

2x+122

则其定义域为㈤3或X<-；1,关于原点对称.

/(r)=(r)ln|^^=(r)ln答==xln||^=/(x),

故此时f(尤)为偶函数.

故选：B.

3.A

【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为6,求出函数一个周期中的/⑴,“2),…,46)

的值，即可解出.

4

【详解】［方法一］:赋值加性质

因为〃x+y)+/(x—y)=/(x)/(y),令x=l,y=o可得，2〃l)=/(l)/(o),所以〃0)=2,令x=o可得，

/(y)+/(-.y)=2/(y),即〃y)=〃—y),所以函数为偶函数，令y=l得，

/(x+l)+f(x-l)=f(x)/(l)=/(x),即有〃x+2)+〃x)=/(x+l),从而可知"x+2)=_"xT),

/(x-l)=-/(x-4),故〃x+2)=〃x-4),即/(x)=/(x+6),所以函数〃元)的一个周期为6.因为

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一个周期内的/(1)+/(2)+…+*6)=0.由于22除以6余4,

22

所以住)=/(1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1-2-1=-3.故选:A.

k=l

［方法二］:【最优解】构造特殊函数

由/(x+y)+〃x—y)=〃x)〃y)，联想到余弦函数和差化积公式

cos(x+y)+cos(x-y)=2co&rcosy,可设=acosox,则由方法一中/(0)=2,〃l)=l知a=2,tzcos<z>=1,

1JT

解得cosa)=-f取0=耳，

所以/(x)=2cos§无，则

f(x+y)+f(x-y)=2cos^x+^y^+2cos^x-^y^=4cos^xcos^y=f(x)f(y),所以/(x)=2cosgx

T上=6

符合条件，因此了(无)的周期三一，/(0)=2,/(1)=1,且

3

/(2)=-1］(3)=-2,"4)=-1"(5)=1］⑹=2,所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以£7伍)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1-2-1=-3.故选：A.

k=l

【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；

法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，

简单明了，是该题的最优解.

4.D

5

【分析】根据对称性和已知条件得到/«+f(x-2)=-2,从而得到/(3)+/(5)+…+/•(21)=—10,

/(4)+/(6)+...+/(22)=-10,然后根据条件得到了⑵的值，再由题意得到g⑶=6从而得到〃1)的值即

可求解.

【详解】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，

所以g(2-x)=g(x+2),

因为g(无)一/(工—4)=7,所以g(x+2)—“x-2)=7,即g(x+2)=7+f(无一2),

因为〃x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+/(x-2)]=5,即/(%)+/(%-2)=-2,

所以"3)+”5)+…+/(21)=(-2)x5=—10,

/(4)+/(6)+...+/(22)=(-2)x5^-10.

因为/(x)+g(2-x)=5,所以/(0)+g⑵=5,即/(0)=1,所以/(2)=—2-〃0)=-3.

因为g(x)—/(x—4)=7,所以g(x+4)—f(x)=7,又因为/(x)+g(2-尤)=5,

联立得，g(2—x)+g(x+4)=12,

所以＞=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,

所以g(3)=6

因为〃x)+g(x+2)=5,所以"1)=5—g⑶=—1.

22

所以2/(左)=〃1)+〃2)+[〃3)+〃5)+...+〃21)[+[〃4)+〃6)+...+〃22)]=-1一3-1。-1。=一24.

k=l

故选：D

【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后

得到所需的一些数值或关系式从而解题.

5.B

【分析】推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出/'(1)=0,结合已知条件可得出结论.

【详解】因为函数〃x+2)为偶函数，则〃2+x)=〃2-同，可得〃%+3)=〃1-耳，

因为函数〃2尤+1)为奇函数，贝ij〃l—2x)=-〃2x+l),所以，/(l-x)=-/(x+l),

6

所以，/(x+3)=-/(x+l)=/(x-l),BP/(x)=/(x+4),

故函数是以4为周期的周期函数，

因为函数P(x)=/(2x+l)为奇函数，则R(O)=f(l)=O,

故『(-。=-/⑴=。，其它三个选项未知.

故选：B.

6.D

【分析】通过/(X+1)是奇函数和“X+2)是偶函数条件，可以确定出函数解析式〃同=-2炉+2,进而利

用定义或周期性结论，即可得到答案.

【详解】［方法一］：

因为/(x+1)是奇函数，所以/(—x+l)=-/(x+l)①；

因为〃x+2)是偶函数，所以〃x+2)=〃r+2)②.

令x=l,由①得：〃0)=-/(2)=-(4。+6),由②得：f(3)=f(l)=a+b,

因为/（。）+/（3）=6,所以一（4。+b）+a+Z?=6na=—2,

令x=0,由①得：〃l）=_〃l）n〃l）=0n/7=2,所以/（力=—2/+2.

思路一：从定义入手.

13

2

2-；+一

所以/

［方法二］:

因为/(X+1)是奇函数，所以/(—X+l)=-/(X+1)①;

因为/(x+2)是偶函数，所以，(x+2)=/'(-尤+2)②.

令x=l,由①得：〃0)=-/(2)=-(4。+6),由②得:f(3)=f(^=a+b,

因为/（。）+/⑶=6,所以-（4a+b）+a+b=6=a=—2,

7

令x=0,由①得：=—了(1)=/(1)=0=6=2,所以/(尤)=_2/+2.

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数/'(x)的周期7=4.

故选：D.

【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计

算的效果.

7.ABC

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC,举反例/(尤)=。即可排除选项

D.

fx2]nIY|尤w0

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D,可构造特殊函数〃X)=八进行判断即可.

[0,尤=0

【详解】方法一：

因为/⑶)=y"(x)+x2/(y),

对于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),贝厅(-1)=0,

令y=-L/(-x)=/(%)+x2/(-l)=f{x),

又函数人无)的定义域为R,所以〃盼为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令/(尤)=0,显然符合题设条件，此时Ax)无极值，故D错误.

方法二：

因为/(xy)=//(%)+X2f(y),

对于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+Of(0)=0,故A正确.

对于B,令尤=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),则八1)=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(-1)=0,

令，=T"(-x)=/(尤)+x2/(-l)=/(x)，

又函数/(无)的定义域为R,所以为偶函数，故C正确，

对于D,当时，对/⑶)=y2/(x)+x2/(y)两边同时除以,得至|J?：)=,

8

故可以设坐^=1中|(尤片0),则/(x)=<:吗4°,

x[0,x=0

当x>0肘，/(x)=x2Inx,则/,(x)=2xlnx+x2•—=x(21nx+l),

令/•'("<O,得0<x<e*4f^)>0,得x>£；

故/(x)在[0,上单调递减，在fA,+/上单调递增，

因为人盼为偶函数，所以/⑺在-e”,0上单调递增，在-%彳上单调递减,

\7V7

显然，此时x=0是/(x)的极大值，故D错误.

故选：ABC.

8.BC

【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项

判断即可得解.

【详解】[方法一]:对称性和周期性的关系研究

对于/⑴，因为“I-2d为偶函数，所以-2“=/(T+2x)即/||-x)=/[|+x)①，所以

〃3T)=/(X),所以/⑺关于尤=]对称，则/(-1)=/(4),故C正确；

对于g(x),因为g(2+x)为偶函数，g(2+无)=g(2-尤)，g(4-x)=g(x),所以g(尤)关于x=2对称，由①求

导，和g(x)=/，(x),得了]!一d=/1+*)[0一/[1一gCT=g1+x),所

以g(3—x)+g(x)=O,所以g(x)关于§,0)对称，因为其定义域为R,所以g1|j=O,结合g(x)关于x=2对

称，从而周期T=4X(2-|]=2,所以g(一£|=g0=O,g(—l)=g(l)=—g(2),故B正确，D错误；

若函数/(无)满足题设条件，则函数"x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定了(无)的函数值，故

A错误.

9

故选：BC.

［方法二］:【最优解】特殊值，构造函数法.

由方法一知g(无)周期为2,关于x=2对称，故可设g(x)=cos(7tx),则〃x)=1sin(7ix)+c,显然A,D错

71

误，选BC.

故选：BC.

［方法三］:

因为g(2+x)均为偶函数，

所以d|-2”=d|+2xj即=,

g(2+x)=g(2-x),

所以〃3-力=/(力，g(4-x)=g(x),则〃-1)=/(4),故C正确;

3

函数,⑺，g(x)的图象分别关于直线x=卞x=2对称，

又g(x)=/'(x),且函数,⑺可导，

所以g［J=°，g(3-x)=-g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g(-iJ=g(lJ=O，g(T)=g(l)=—g(2)，故B正确，D错误；

若函数Ax)满足题设条件，则函数/Q)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定Ax)的函数值，故

A错误.

故选：BC.

【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的

通性通法；

方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解.

9.2

【分析】利用偶函数的性质得到=从而求得a=2,再检验即可得解.

【详解】因为y=/(x)=(x-iy+办+$苗［尤+5)="-1)2+"+3尤为偶函数，定义域为R,

所以/

10

则714=1]+1]一一1]=2兀，故4=2,

此时/（x）=（x-l）2+2x+COSX=尤2+1+cosX,

所以/（—X）=（一尤）~+l+cos（-x）=x2+l+cosx=/（x）,

又定义域为R，故F（X）为偶函数，

所以。=2.

故答案为：2.

10./（x）=x4（答案不唯一,/（x）=均满足）

【分析】根据幕函数的性质可得所求的/（X）.

【详解】取〃X）=X4,则/（占犬2）=（卒2）4=只只=/（%）/（*2），满足①，

/（%）=4%3,尤＞0时有用勾＞0,满足②，

广（力=4/的定义域为R,

又〃_力=心=_尸（龙）,故尸（x）是奇函数，满足③.

故答案为："x）=d（答案不唯一，"x）=x2"（〃cN*）均满足）

11.1

【分析】利用偶函数的定义可求参数。的值.

【详解】因为〃》）=丁（4.2-2-）故〃一》）=-丁32-工一2，）,

因为“X）为偶函数，故f（T）=〃X），

时丁,.2工-2f)=-丁(°.2T-2*),整理得到(a-：Q(2*+2-')=0,

故。=1,

故答案为：1

考点突破

【考点1】函数的奇偶性

一、单选题

1.（2024・重庆•三模）设函数〃x）=W，则下列函数中为奇函数的是（

11

A.尤-2)+1B.2)+2

C./(x+2)+2D./(x+2)+l

2.(2024广东佛山・一模)已知/(力=(尤+1)(X+。)(％+。)为奇函数,则丁=〃%)在兀=0处的切线方程为()

A.x+y=OB.x-y=O

C.3x+y=0D.3x—y=0

二、多选题

3.(2024・全国・模拟预测)已知函数/(幻及其导函数八功的定义域均为&记8(%)=/6)，若/(1-1),抵2+X)

均为奇函数，则下列说法中正确的是()

A./(O)=OB.g(O)=O

C.g⑵=8⑷D./(1)=/(-2)

4.(2024•湖南邵阳•模拟预测)已知函数〃尤)的定义域为R,〃x+l)为奇函数，“X+2)为偶函数，且对

任意的和马41,2),x产马，都有"'-"%)>0,则()

玉-x2

A.是奇函数B.7(2023)-0

C.〃x)的图象关于(1,0)对称D./(7t)>/(e)

三、填空题

5.(2024•河南三门峡•模拟预测)已知函数是定义在R上的奇函数，当无20时，/(%)=―-3x+a-l,

则，(-a)的值为.

6.(2024・广东佛山•二模)己知定义在R上的偶函数/(x)在［0,+。)上单调递减，且/(1)=2,则满足

〃刈+〃一司>4的实数苫的取值范围为.

参考答案：

1.A

【分析】首先推导出『(T-x)+/(x)=-2,即函数的对称中心为(-2,-1),再根据函数的平移只需将

函数f(x)向右平移2个单位，向上平移1个单位，得到函数y=/(x-2)+1,则该函数关于(0,0)对称，即可

判断

【详解】因为〃x)===卫+生^=-1+/一定义域为{X|XN-2},

贝厅(-4-x)+〃尤)=-1+上^一l+ln-za#-2),所以函数“X)的对称中心为(一2,-1),

—X—2%+2

12

所以将函数“X)向右平移2个单位，向上平移1个单位，得到函数y=/(x-2)+l,

该函数的对称中心为(0,0),故函数y=/(尤-2)+1为奇函数.

故选：A.

2.A

【分析】

根据奇函数定义求出函数表达式，再结合导数和切线相关知识求解切线方程即可.

【详解】因为++=(兄+1)[%2+(4+8)元+"]

=d+(a+b+l)%2+(Q+b+")%+",

所以/(一％)=—尤3+(々+人+1)%2一,

因为“X)为奇函数，所以〃一力+〃％)=2(。+)+1)x2+2必=0对兀£区恒成立，

(a+Z?+l=0/、o

所以而=0，代入函数表达式得了(x)=x%，

所以尸(犬)=3f—1,贝U/(0)=0，r(0)=—1,

所以y=〃x)在x=o处的切线方程为丁=一%，即尤+y=o.

故选：A

3.BC

【分析】利用/(1-x)是定义域为R的奇函数，进而可得-"-%)=/(%+2),求导可得，结合g(2+%)为奇函

数，计算可判断B；进可可得函数g(x)的周期为4,计算可判断C；/(%)的图象关于点(L0)成中心对称，取

/(%)=2cos攵二也可判断AD.

n2

【详解】因为7(1-元)是定义域为R的奇函数，

所以〃1一天)=一/(1+尤)，

BP-/(-X)=/(X+2),

所以[―/(—x)]'=7(x+2),

即r(-x)=/v+2),

所以g(-x)=g(x+2).

又因为g(2+x)为奇函数，

所以g(2+x)=-g(2-x),

当x=0时，g(2)=-g(2)=g(0),

13

即g(2)=0,g(0)=0,所以选项B正确.

又因为g(-x)=gQ+2),

所以g(x)=g(-x+2)=-g(2+x),

即函数g(助的周期为4,所以g(4)=g(0)=0.

因为g(2)=0,所以g(2)=g(4),

所以选项C正确.

由/(1-x)为奇函数可知/(1-x)=-/(1+x),

即〃幻的图象关于点(1,0)成中心对称，

一ah,c，、2(X-2)TT

不妨取/U)=—cos-~--,

712

则g(x)=-sin宜”满足周期为4,关于(2,0)成中心对称的条件，

22

因为〃。)=--,/(1)=0,/(-2)=-,可知选项A,D错误.

7171

故选：BC.

【点睛】方法点睛：抽象函数的考查，注意合理运用题中的条件，如本题中，由函数为奇函数，可得函数

的对称中心，判断结论不成立，可举反例，是一种有效的方法.

4.BC

【分析】根据函数人幻的奇偶性和题设条件，推得Ax)是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，

利用单调性比较大小，逐项判定即可求解.

【详解】因为/(X+D为奇函数，所以

/(-尤+1)=-/(+1),即函数“力关于(1,0)对称,C正确；

由函数〃元)关于(1,0)对称可知;'(一力=一〃2+"，

又因为〃x+2)为偶函数，所以

/(-x+2)=/(x+2),即函数/(x)关于x=2对称，

贝"(r)=〃x+4),

所以〃x+4)=-〃x+2),即〃x+2)=-〃x),

所以/(x+4)=-/(x+2)=〃x),所以是“X)周期为4的周期函数，

所以/(2023)=/(4x505+3)=/(3)=-〃1),又"3)="1),

所以/'(1)=-7(1),所以/'(1)=0,所以/(2023)=0,B正确；

14

〃一%)=-〃2+句=一〃2_司=/[2_(2-切=〃力是偶函数，A错误;

对任意的占,x,e(l,2),且刀片々,都有>0,不妨设再>1,

%-x2

则〃石)-〃龙2)>。,由单调性的定义可得函数〃x)在(1,2)上单调递增，

又由函数“X)关于(1,0)对称，所以“X)在(0,2)上单调递增

X/W=/(^-4)=/(4-7r),/(e)=/(e-4)=/(4-e),4-7t<4-e,

所以f(4—兀)<〃4—e),得了㈤<〃e),D错误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数，解题关键是合理利用抽象函数的单调性，奇偶性周期性分析题

意，然后逐个选项分析即可.

5.4

【分析】由奇函数性质可求得。的值，结合/(-。)=-/(a)计算即可.

【详解】由题得〃0)=。-1=。，解得a=L

所以当尤20时，/(X)=-X5-3%,

所以〃-a)=/(-I)=—〃1)=一(一1一3)=4.

故答案为：4.

6.(-1,1)

【分析】结合偶函数的性质可得/(力>2,再结合单调性计算即可得.

【详解】由/(X)为偶函数且在[0,+8)上单调递减，故/(X)在(-8,0)上单调递增，

又/⑴=2,故当〃x)>2,可得xe(-M),

又/(r)=/(x)，故/(x)+=(r)>4等价于/(x)>2,

故x的取值范围为(-M).

故答案为：(-U).

反思提升：

1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

15

(2)判断五x)与八一x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等

价等量关系式(/(x)+<-x)=0(奇函数)或兀0一/(—X)=0(偶函数))是否成立.

2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区

间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

3.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关

问题.

【考点2】函数的周期性及应用

一、单选题

1.(2024・陕西渭南•模拟预测)已知定义在R上的函数“力满足〃尤+3)=-〃力，g(x)=7(x)-1为奇函

数，则/。98)=()

A.-1B.0C.1D.2

2.(21-22高三上•四川攀枝花•阶段练习)定义在R上的函数Ax)满足了(x-3)=/(x+l),且

"x)=上:一二:㈠工，则下列说法正确的是()

^2-2|x-2|,xe(l,3]

A./(x)的值域为[0,1]

B./(尤)图象的对称轴为直线》=必(后eZ)

C.当xe(-3,-2)时，f(x)=2x+6

D.方程3/(x)=x恰有5个实数解

二、多选题

3.(2024嘿龙江大庆•模拟预测)已知函数,g(x)及其导函数尸(力，g'(x)的定义域均为R,若/(2x-l)

的图象关于直线x=l对称，〃x)+g(x+l)=尤+1,〃尤+l)=g(—x)+无，且g(2)=l,则()

A.为偶函数B.g(x)的图象关于点(3,3)对称

99

C.g'(202)=lD.2g1)=4950

Z=1

4.(2024・广西•二模)己知定义在R上的函数满足〃2+x)-〃2-x)=4x.若〃2x-3)的图象关于点

(2,1)对称，且/(0)=0,则()

A.的图象关于点(U)对称

B.函数g(x)=〃"-2x的图象关于直线x=2对称

C.函数g(x)=/(x)-2x的周期为2

16

D./(l)+/(2)+...+/(50)=2499

三、填空题

5.(2024•山东枣庄•一模)已知/(x+2)为偶函数，且〃尤+2)+f(x)=-6,则“2027)=.

6.(2024•宁夏银川•一模)若定义在R上的函数满足y=/(x+l)是奇函数，/(4+x)=/(-%),"2)=2,

贝IJf(l)+/(2)+/(3)+…+f(30)=.

参考答案：

1.C

【分析】先根据〃x+3)=-〃力得出函数的周期；再根据g(x)为奇函数得出八必+八-尤)=2,利用

赋值法求出/(0)；最后利用/(%)的周期即可求解.

【详解】因为〃尤+3)=-f(x),

所以/(X+6)=-〃X+3)=〃X),

所以的周期为6.

又因为g(x)=/(x)-l为奇函数,

所以g(x)+g(-x)=0,即x)-1=0,BP/(x)+/(-x)=2,

令x=0,2/(0)=2,BP/(O)=l.

所以/(198)=〃6x33+0)=〃0)=l,

故选：C.

2.C

【分析】由给定条件可得“无)的周期为4,并探讨函数/(x)的奇偶性，举例说明判断A；由x=2是对称轴判

断B；求出xe(-3,-2)时的解析式判断C；画出函数的部分图象判断D作答.

【详解】因/(2)=2,则“尤)的值域为［0,1］不正确,A不正确；

R上的函数fM满足/(x-3)=以x+1),即+4)=/(%),又/(%)=::二:v

［2—2—2|,xG(1,3J

则函数了⑴是最小正周期为4的周期函数，7(-1)=/(3)=0,当尤e时，/(x)=7n，有=/(X),

当一1时，2Wx+4V3,且IV—xV2,f(x)=/(x+4)=2—2|x+4—2|=-2—2x=/(—x),

于是有xe[-2,2],/(-x)=f(x),即函数/(x)在[-2,2]上是偶函数,又是x)周期为4,则是x)是R上的偶函

数，

17

由/(4-x)=f(-x)=f(x)知，直线x=2是函数y=/(x)的图象对称轴，不满足x=4代teZ),B不正确;

当xe(-3,-2)时，1<彳+4<2,贝1|/。)=/(尤+4)=2-2|彳+4-2|=2-2|*+2|=2》+6,C正确；

故选：C

【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数/(力的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变

形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.

3.BC

【分析】首先根据抽象函数的对称性，判断函数外力的对称性，以及周期，并结合条件转化，判断函数g(x)

的对称性，利用抽象函数的导数公式，以及周期性，求g'(202),最后利用函数〃尤)与g(x)的关系求和.

【详解】由的图象关于直线x=l对称，可得/。-1)的图象关于直线x=2对称，

即于⑺的图象关于直线x=1对称，则"2+x)=〃-尤)

由/(x)+g(x+D=x+l,nJW-1)+g(~x)=-x,又/(x+l)=g(-x)+无，

所以f(-x-l)+/(x+l)=O,所以"x)的图象关于点(0,0)对称，即/(尤)为奇函数，

所以〃2+x)=〃—x)=-/(x),即〃4+x)=/(x),即函数的周期为4,

由/(x)+g(x+l)=x+l,可得/(x+5)+g(尤+6)=尤+6,因为/(X)的周期为4,

所以/(x+5)"(x+l),

贝!Jg(-尤)+x+g(x+6)=x+6,即g(-x)+g(x+6)=6,

所以g(x)的图象关于点(3,3)对称，故B正确；

因为一⑺的图象关于直线x=l对称，则〃2-元)=/(x),

所以-7'(2-x)=7'(x),所以(⑴=0,

因为“X)的周期为4,所以/‘⑺的周期也为4.由/(x)+g(x+l)=x+l,

可得尸(x)+g'(x+l)=l，所以g'(202)=l-/(201)=1-/⑴=1,故C正确；

由/(x)+g(x+l)=x+l,可得g(x)=x-/(x-l),所以g(2)=2-/⑴，

即即)1=1,/(2)=即0)=0,/(3)=-1,

18

99

Zg⑴=(1+2+3+…+99)-"(0)+/⑴+…+/(98)]

1=1

=4950-/(0)-/(I)-/(2)=4949,故D错误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的性质，以及导数运算问题，本题的关键是以条件等式为桥梁，

发现函数〃尤)与g(x)的性质关系，以及解析式的关系.

4.ABD

【分析】对A,根据函数图象的变换性质判断即可；对B,由题意计算g(2+x)-g(2-x)=0即可判断；对C,

由A可得g(£)=g(r),由B可得g(-x)=g(x+4),进而可判断C；对D,由〃2+x)—/(2-x)=4x结合

〃。)=。与的对称性可得了⑼"⑴，〃2)"(3),进而g(0),g(l),g(2),g(3),结合c中g(x)的周期

为4求得g(l)+g(2)+…+g(50),进而可得〃l)+〃2)+L+/(50).

【详解】对A,因为广(2x-3)的图象关于点(2,1)对称,则“x-3)的图象关于点(4,1)对称,

故的图象关于点(L1)对称，故A正确；

对B,g(2-x)=/(Z-x)-2(2-x)=/(2-x)+2x-4,

g(2+x)=/(2+%)-2(2+尤)=〃2+x)-4-2x,

又〃2+x)-〃2-x)=4x,^g(2+x)-g(2-x)=/(2+x)-/(2-x)-4x=0.

即g(2+x)=g(2r),故g(x)=〃x)—2x的图象关于直线x=2对称，故B正确；

对C,由A,/(2+x)=2-/(-x),且"2—x)=2-〃x),

又因为〃2+x)_〃2_x)=4x,^[2-/(-x)]-[2-/(x)]=4x,

即“x)-/(T)=4x,/(x)-2x=/(-x)-2(-x),QPg(x)=g(-x).

由B,g(-x)=g(x+4),故g(x)=g(-x)=g(x+4),故g(x)=f(x)-2x的周期为4,故C错误；

对D,由〃0)=0,的图象关于点(U)对称，且定义域为R,则〃1)=1,/(2)=2,

又〃2+x)-/(2-x)=4x,代入彳=1可得/⑶―"1)=4,则43)=5,

又g(x)=〃x)-2x,故g(0)"(0)=0,g(l)=/(l)-2=-l,g(2)=/(2)-4=-2,g(3)=/(3)-6=-l,

又g(x)的周期为4,g(4)=/(0)=0.

19

贝Ijg⑴+g⑵+-.+g(50)=12x[g⑴+g⑵+g⑶+g⑷]+g⑴+g(2)

=12x(^4)-l-2=-51.

即〃l)_2+〃2)-4+…+〃50)-100=-51,

则〃1)+〃2)+…+〃5。)=2+4+..+1。。-51=迎”四^一51=2499,故D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出g⑴,g(2),g(3),g(4),结合周期性以及g(x)的定义即可

顺利得解.

5.-3

【分析】由条件结合偶函数定义可得由〃x+2)+〃x)=-6结合周期函数定义证明

/(x)为周期函数，利用周期性及赋值法求结论.

【详解】因为/(x+2)为偶函数，

所以〃x+2)=〃f+2),又〃x+2)+〃x)=-6,

所以x+2)+〃x)=-6,

因为/(x+2)+〃x)=—6,所以/(x+4)+/(x+2)=-6,

所以〃x+4)=〃x),

所以函数/(X)为周期函数，周期为4,

所以1(2027)="3)=/(—1),

由〃r+2)+〃x)=-6,可得/⑴+/。)=-6