2025年高考数学一轮复习讲义：空间向量及其应用（解析版）

专题40空间向量及其应用（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................4

【考点突破】................................................................9

【考点1】空间向量的运算及共线、共面定理....................................9

【考点2】空间向量的数量积及其应用..........................................17

【考点3】利用空间向量证明平行与垂直........................................25

【分层检测】...............................................................35

【基础篇】.................................................................35

【能力篇】.................................................................46

【培优篇】.................................................................52

考试要求：

1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐

标表不.

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

4.理解直线的方向向量及平面的法向量.

5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.

6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

■■知识梳理

L空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反且模相等的向量

共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相生狂或重

(或平行向量)合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a,双方力0),的充要条件是存在实数九使得好

运

(2)共面向量定理：如果两个向量a,8不共线，那么向量p与向量a,8共面的充要条件是存

在唯二的有序实数对(x,y),使。=迎土地.

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一

的有序实数组｛x，y，z｝,使得〃=xa+y/>+zc,其中，｛a,b,c｝叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积

(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a,b,在空间任取一点。，作为=a,OB=b,则NA03

叫做向量a与8的夹角，记作(a,b),其范围是「0,兀］,若〈a,b)=/,则称a与b互相垂

直,记作a_Lb.

(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a,b,则|a||Z>|cos｛a,b)叫做a,的数量积，记作a。，

即a-/>=|a||/>|cos〈a,b).

⑶空间向量数量积的运算律

①结合律：(2a)Z>=A(a-Z>)；

②交换律：ab=ba；

③分配律：a-(b+c)=a-b-\-a-c.

2

4.空间向量的坐标表示及其应用

设a=(ai,ai,ai),b—(bi,bi,bi).

向量表示坐标表示

数量积a-baibi+o2b2+〃3加

共线0=劝(*0,2£R)m=2bi1Q2=Xb?,(13=21)3

垂直a・A=O(aWO,bWO)〃如+aib?+〃3卜3=0

模l«lA/屏+港+孱

/,、aibi+〃2历+〃3历

夹角〈a,b)(aWO,b彳0)［济+〃乡+泊\/胡+庆+员

5.直线的方向向量和平面的法向量

⑴直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线/平行或重合,则称此向

量a为直线/的方向向量.

⑵平面的法向量：直线取直线/的方向向量a,则向量a叫做平面a的法向量.

6.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

h//hUl//〃2=〃1=2〃2

直线/1,/2的方向向量分别为"1,M2

Z1X/2W1_L〃2=〃l〃2=0

直线/的方向向量为〃，平面a的法l//a〃J_〃=〃•〃=0

向量为“l-Lau//n=u=^n

a///3m//〃2=〃1=力12

平面a,£的法向量分别为m,〃2

a邛m_L鹿2=〃i：〃2=0

|常用结论

1.在平面中A,B,C三点共线的充要条件是：应=》所十>沅(其中x+y=l),。为平面内任

意一点.

2.在空间中P,A,B,C四点共面的充要条件是：舁=%以十y屈+z沆(其中x+y+z=l),0

为空间任意一点.

3.向量的数量积满足交换律、分配律，即aZ="a,a-(Z>+c)=a•b+a-c成立，但不满足结合

律，即(a0)-c=aQ-c)不一定成立.

4.在利用疚=x协+薪证明MN〃平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.

3

u真题自测

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）己知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,ZPCA=45°,

则△尸3c的面积为（）

A.272B.3^C.472D.672

二、多选题

2.（2021•全国•高考真题）在正三棱柱ABC-A.BG中，AB=AAl=l,点P满足丽=4阮+〃两，其中

/le[0』，〃e[0,1],则（）

A.当4=1时，ZV1用尸的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥尸-ABC的体积为定值

C.当时，有且仅有一个点尸，使得4尸，2尸

D.当M=g时，有且仅有一个点P,使得A3,平面4用尸

三、解答题

3.（2023•全国•高考真题）如图，在三棱锥尸—ABC中，AB±BC,AB=2,BC=2丘,PB=PC=a,

3P,AP,3c的中点分别为，及O,点尸在AC上，BFLAO.

⑴求证：EF〃平面ADO；

（2）若/POE=120。，求三棱锥P-ABC的体积.

参考答案：

1.C

【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得,PDO三APCO,,PDBmPGl,从而得到上4=PB,

再在..R4c中利用余弦定理求得P4=Ji7,从而求得尸8=折，由此在△P3C中利用余弦定理与三角形面

积公式即可得解；

4

法二：先在./AC中利用余弦定理求得PA=J讨，cosZPCB=1,从而求得尸A.PC=-3，再利用空间向量

的数量积运算与余弦定理得到关于网,/瓦力的方程组，从而求得依=J万，由此在△「改?中利用余弦定理

与三角形面积公式即可得解.

【详解】法一：

连结AC,血交于。，连结PO,则。为AC,的中点，如图，

因为底面ABC£>为正方形，AB=4,所以AC=3D=4应，则OO=CO=20,

又PC=PD=3,PO=OP,所以“PDOMPCO,贝U/PDO=/PCO,

又PC=PD=3,AC=BD=4啦,所以aPDB三PCA,则PA=PB,

在，丛C中，PC=3,AC=4V2,ZPCA=45°,

贝lj由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x472x3x—=17,

2

故尸4=如，贝1|尸8=而，

故在△PBC中，PC=3,PB=后,BC=4,

PC?+BC?-PB?9+16-17_1

所以cosNPCB=

2PCBC2x3x4-3

又0<NPCB<n,所以sinNPCB=Jl-cos?NPCB=,

3

所以△P3C的面积为5=!尸。及7$吊/尸（78=*3*4*3&=451份.

223

法二:

连结AC/。交于。，连结尸。，则。为AC,3D的中点，如图,

5

因为底面AfiCD为正方形，AB=4,所以AC=BD=4应，

在，B4c中，PC=3,/PC4=45。，

222

贝1|由余弦定理可得PA=AC+PC-2AC-PCCOSZPCA=32+9-2X4JIx3x—=17,故=

2

17+9-32717

所以cosNAPC=P4+PCYO则

2PAPC2XVT7X3-17

PAPC=|PA||pc|cosZAPC

不妨记PB=m,ZBPD=e,

因为/>0=3（尸4+/>?）=3（28+/>0）,所以（PA+尸C）°=（PB+PD）2,

art-2222

BPPA+PC+2PAPC=PB+PD+2PBPD-

2

贝5|17+9+2x（—3）=7/+9+2x3xmcos6,整理得m+6??zcos0-11=0①，

22

又在APBD中，瓦）2=PB+PD-2PB-PDcosNBPD，即32=疗+9-cos6,则疗一6利cos6-23=0②,

两式相力口得一34=0,故尸8=机=旧，

故在△BBC中，PC=3,PB=gBC=4,

PC-+BC2-PB-9+16-17_1

所以cosNPC3=

2PCBC-.2x3x4-3

X0<ZPCB<7t,所以sinNPCB=Jl-cos?NPCB=-,

3

所以△P3C的面积为5=!尸。放人也/尸（72=!义3*4*名旦=4直.

223

故选：C.

2.BD

【分析】对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将尸点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数;

对于D,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数.

【详解】

6

易知，点尸在矩形2CG片内部（含边界）.

对于A,当4=1时，前=或+〃西=近+即此时Pe线段CG，周长不是定值，故A错

误;

对于B,当〃=1时，而=4前+西=西+4瓦瓦，故此时尸点轨迹为线段用q,而BCJ/BC,BiG〃平

面ABC,则有P到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.

对于C,当时，丽=：前十曲瓦,取BC,4G中点分别为Q,H,则丽=丽+〃丽，所以尸点

轨迹为线段。“，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，4（今0,1）,P（0,0,〃），B（0,|,0）,则中=

BP=（0,-l，H），布・乔=〃（〃—1）=0,所以〃=0或〃=1.故耳。均满足，故C错

误；

对于D,当〃=：时，BP=ABC+取8片，CG中点为BP=~BM+XMN,所以尸点轨迹为

线段ACV.设P（0,y（）,J因为0,0），所以AP=（_y，yo<0,AiB=（一,卷,—所以：+泌一；

。今加=一|，此时P与N重合，故D正确.

故选：BD.

【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.

3.（1）证明见解析

（2）或

3

【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

7

(2)作出并证明尸加为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.

【详解】(1)连接。E,OF,设AF=zAC,贝!]8尸=84+4尸=(1一/)84+/8。，AO=-BA+^BC,BF1AO,

1_21

则班'.AO=[(l-t)BA+tBC](-BA+-BC)=(r-l)BA-+-rBC2=4(Z-l)+4r=0,

解得f=则F为AC的中点，由RE,Q厂分别为尸员PA,BC,AC的中点，

2

于是。==,即DE//OF,DE=OF,

22

则四边形ODEF为平行四边形，

EFIIDO,EF=DO,又EFu平面ADO,DOu平面ADO,

所以砂//平面ADO.

(2)过尸作PM垂直产。的延长线交于点M,

因为尸8=PC,。是2C中点，所以尸O13C,

在Rt△尸30中，PB^^6,BO=-BC=y/2,

2

所以PO=JPB2-OB2=后三=2'

因为AB_LBC,OP//AB,

所以上_L3C,又POcOF=O,尸。,。/<=平面尸。/，

所以3CL平面尸0B,又RWu平面尸0尸，

所以又BQFM=O,平面ABC,

所以川f_L平面ABC,

即三棱锥尸-ABC的高为PM，

因为/尸。尸=120°,所以NPOA/=60°,

所以尸M=POsin60°=2x3=JL

2

XSAABC=|AB-BC=1X2X2A/2=2A/2,

所以Vp-ABC，PM=；x20x=

8

D,

考点突破

【考点1】空间向量的运算及共线、共面定理

一、单选题

1.（2021•上海崇明•一模）若正方体上的点尸、2氏S是其所在棱的中点，则直线尸。与直线RS异面的图形是

()

2.（2023•黑龙江佳木斯•模拟预测）给出下列命题，其中错误的命题是（）

A.向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面

B.若对空间中任意一点。，有++则P,A,B,C四点共面

442

C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D.已知向量。=（9,4,T）,6=（1,2,2）,则］在方上的投影向量为（1,2,2）

二、多选题

3.（2022・重庆•模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为正方形，24,底面ABCD,PA=AB,

E、产分别为线段P8、CO的中点，G为线段PC上的动点（不含端点尸），则下列说法正确的是（）

9

p

c

A.对任意点G,则有3、E、G、尸四点共面

B.存在点G,使得A、E、G、歹四点共面

C.对任意点G,则有AG，平面尸3D

D.存在点G,使得EG//平面B4F

4.（22-23高二上•广东•阶段练习）《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体,

左塔上方是著名的"三立方体合体"（图2）.在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D中建立如图3所示的空间

直角坐标系（原点。为该正方体的中心，x,y,z轴均垂直该正方体的面），将该正方体分别绕着无轴，y轴，

z轴旋转45。，得到的三个正方体,n=l,2,3（图4,5,6）结合在一起便可得到

一个高度对称的“三立方体合体"（图7）.在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是（）

10

图7

A.设点纥'的坐标为（x“,％,z“），n=\,2,3,则x；+y；+z；=3

2

B.设^Gl'&外=石，则用石二§

C.点A1到平面B2C2B3的距离为亚

3

77

D.若G为线段与G上的动点，则直线4G与直线44所成角最小为:

0

三、填空题

5.（2023•山东•模拟预测）己知三棱锥S-ABC,空间内一点M满足-3S8+4SC，则三棱锥M-ABC

与S-ABC的体积之比为.

6.（23-24高二上•浙江丽水・期末）已知三棱锥P-ABC的体积为15,M是空间中一点，

124

PM=--PA+—PB+—PC,则三棱锥A-MBC的体积是.

参考答案：

1.B

【分析】建立空间直角坐标系，写出满足每个选项点的坐标，利用向量的坐标运算以及向量平行的定义，

结合异面直线的定义逐项判断即可.

【详解】不妨设正方体的棱长为2,建立空间直角坐标系。-孙z,如图所示

对于A,由A选项的图可知，尸（2,l,0）,Q（L2,0）,R（L0,2）,S（0,l,2）,所以尸Q=（T,l,0）,RS=即

PQ=RS,所以PQ//RS,即PQ〃RS,故A错误;

11

对于C由C选项的图可知，尸（2,0,1）,Q（2,1,0）,尺（0,2,1）,s（l,2,0）,所以m=（—2,2,0）,=1,0）,即

PR=2RS，所以PR//QS=>PR//QS,即PQ与共面，故C错误；

对于D,由D选项的图可知，尸（2,0,1）,0（0,2,1）,0（0,1,2）,5（2,1,0）,所以尸5=（0,1,-1）,0尺=（0,-1,1）,即

PS=-QR^PS//QR=>PS//QR,即尸2与RS共面，故D错误.

对于B,由B选项的图可知，尸（2,0,1）,Q（2,1,0）,尺（1,2,2）,5（1,2,0）,所以「。=（0,1,-1）,放=（0,0,-2）,即不存

在实数4使得PQ=ARS,,即PQ与RS不平行,

由图可知尸。与RS不相交，所以尸。与RS是异面直线，故B正确.

故选：B.

2.A

【分析】根据共面向量的性质，结合基底的定义、投影向量的定义进行逐一判断即可.

【详解】对于A,向量可以通过平移后共面，但是它们的所在直线不一定是共面直线，故A错误;

对于B,OP=；OA+；OB+goC,^（0P-0A）=^（0B-0P）+^（0C-0PyAP=PB+2PC，

所以尸，A,B,C四点共面，故B正确；

对于C,根据空间向量基底的性质可知这两个向量共线，故C正确；

a-bba-b9+8-8八_..外。*

对于D,〃在人上的投影向量为口耐a\•面=汴力=—―。，2,2）=（L2,2）,

Ml忖9

故D正确.

故选：A.

3.BD

【分析】以点A为坐标原点，AB、A£）、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设上4=AB=2,

利用空间向量法可判断各选项的正误.

【详解】因为PAL底面ABCD,四边形ABCD为正方形，

以点A为坐标原点，AB.AD,AP所在直线分别为彳、'、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

12

设B4=AB=2,则4(0,0,0)、8(2,0,0)、C(2,2,0)、£>(0,2,0)、P(0,0,2)、E(l,0,l)、F(1,2,0),

^PG=APC=(22,22,-22),其中0<XVl,则AG=AP+PG=(242彳,2-2；1),

uuu

AE=(1,0,1),AF=(1,2,0),AG=mAE+nAF=(^m+n,2n,rri),

m+n=2A

2

贝Ij2九二2几,解得根=〃=2=],故存在点G,使得A、E、G、尸四点共面，B对;

m=2-22

=(-1,0,1),=(-1,2,0),BG=BP+PG=(22-2,22,2-2A),

-a-b=2A-2a=2

设BG=aBE+bBF=(-a-b,2b㈤,所以，[26=22解得卜=0，不合乎题意，A错;

〃=2—24Z=0

AG=(22,22,2-2/1),BP=(-2,0,2),

若AG_L平面PSD,BPu平面P3D,贝UAG-8P=T2+4—42=4—82=0，解得a=C错;

设平面P4F的法向量为"=(尤,y,z),AP=(O,O,2),=(1,2,0),

n-AP=2z=0

取x=2,贝!]〃=(2,-l,0),

n-AF=x+2y=0

EG=EP+PG=(-1,0,1)+(22,22,-22)=(22-1,22,1-22),

若EG〃平面^4F,则£^/=4彳一2—2几=2/1—2=0，解得4=1，

故当点G与点C重合时，EG〃平面Q4F,D对.

故选：BD.

4.ACD

【分析】正方体的顶点到中心。的距离不变，判断A,写出各点坐标，利用空间向量法求解判断BCD.

【详解】正方体棱长为2,面对角线长为2近，

13

由题意B(l,1,D,C(-l,l,l),0(-1,-1,1),

旋转后A(L—也,o)，G(-1,0,72),卬-1,-忘,0),4(也-i,o),耳(&0),q(o,i,a

Z)2(0,-1,72),%(衣0,1),4(0,0,1),q(-V10,1),2(0,-⑸),

旋转过程中，正方体的顶点到中心。的距离不变，始终为6,因此选项A中，n=l,2,3,x：+y；+z：=3

正确；

员4=(血,一血,。)，设四点=力用4=(血/1,一血/1,0),贝q

B2E=B2B3+B3E=(一0,0-1,1)+(V22,->/22,0)=(0-&,一历+72-1,1),

(-72,0,72),

EWBG，则存在实数热，使得与后=加82c2，

(0-6-&+0-1,1)=(-万〃,0,72m),

A/2A-C=—y/2m

<-A/22+A/2-1=0,2=1-^,0B3£=2B3A3=(1-^)X2=2-A/2,B错；

1=y[2m

B2C2=(-A/2,0,V2),B3Q=(0,l->/2,V2-l),

设〃=(x,y,z)是平面与Cz鸟的一个法向量，则

n•B2cz=-y/2x+V2z=0

令x=l,得〃=(1,1,1),

”•咳=(1-&)y+(应T)z=。

又4鸟=(一1，2血,1),

I/?•I-1+2A/2+112娓

0A到平面B2C2B3的距离为d==I——_I=T-,c正确;

\n\733

32c2=(-3,°，夜)，设B?G=kB?G=dk,0Qk),(0<^<l),

$G=A,B2+B2G=(0,2,0)+7ik,0,y/2k)=(—伍,2,,

44=(0,夜,回,

cos"A4)="g=2亚+21=氏+k

RG||A闻244k2+42收+1

14

y/2+k(1-圆

令f(k)=则:因=

2正+11(l+k2)yjl+k2

OQ日时，小)＞。—伏)递增,泉y时，人)＜。一⑶递减,

町*)2=，)泻,又f(0)=与〃八V2+1V2

所以“外

即cos(&G,44，(4G,44)£［工,丁］,

\'/64

TTTT

AG,A片夹角的最小值为9,从而直线4G与直线A4所成角最小为9,D正确.

66

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：本题正方体绕坐标轴旋转，因此我们可以借助平面直角坐标系得出空间点的坐标，例

如绕X轴旋转时时，各点的横坐标(X)不变，只要考虑各点在坐标平面yOz上的射影绕原点旋转后的坐标

即可得各点空间坐标.

5.1

113

【分析】根据题意，化简得到彳SM=彳SA-=S8+2SC,结合空间向量的基本定理，得到在平面ABC内存

222

在一点。，使得：SAf=S。，得到%_ABC=K.ABC，即可求解.

13

【详解】由空间内一点M满足SM=SA-3SB+4SC=2(5&4-5s5+2SC),

113

可得一SM=—SA——SB+2SC,

222

13

因为彳-7+2=1,根据空间向量的基本定理，可得在平面A3c内存在一点。，

22

131

使得S0=QSA—5sB+2SC,所以5sM=SD,即点。为的中点，

可得%.ABC=匕一ABC，所以三棱锥M-ABC和S-ABC的体积比值为1.

故答案为：1.

6.10

15

i24

【分析】根据题意，由空间向量的运算可得2PM=-,肠1+二加8+二加。，再由空间向量基本定理可得

2PM=MD＞即可得到结果.

【详解】

124

因为尸M=—石丛+石23+百「＜7,贝h5PM=—尸4+2P8+4PC，

BP15PM=-PM-MA+2PM+2MB+4PM+4MC，

124

即10尸M=—M4+2M5+4MC，所以2尸M=—1^4+1加3+不加。，

124

因为-W+6+M=1，由空间向量基本定理可知，在平面ABC内存在一点£),

124

^MD=--MA+jMB+-MC^,即2PM=MD，

132

所以PM=—MD,即尸D=—MD,则Affl=—P£＞,

223

又三棱锥尸-"C的体积为15,

22

则匕一MBC=§匕〜4BC=§X15=10.

故答案为：10

反思提升：

1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几

何问题的基本要求.

(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵

活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量.

2.⑴对空间任一点。，OP=xOA+yAB,若x+y=l,贝U点P,A,3共线.

(2)证明空间四点P,M,A,3共面的方法.

①加=%疝+y血

②对空间任一点。，OP=OM+xMA+yMB.

【考点2】空间向量的数量积及其应用

一、单选题

1.(2024•青海•模拟预测)如图，在三棱锥P-ABC中，ZAPB=90°,NCPA=Z.CPB=60。，R4=PB=PC=2,

16

点。，E,尸满足=PE=2EA，AF=FC则直线CE与。尸所成的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）如图，在所有棱长均为1的平行六面体ABC。-AgGR中，”为AG与

交点,N54O=/BA4,=ND4A=60。，则8Al的长为（）

A.正B.且C.叵D.在

4422

二、多选题

3.（2024•河北石家庄•三模）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A瓦GR中，M为&C的中点，则下列说

法正确的有（）

A.若点。为3。中点，则异面直线MO与CG所成角的余弦值为手

B.若点N为线段8C上的动点（包含端点），贝的最小值为旧

C.若点P为CD的中点，则平面AWP与四边形CDAG的交线长为④

D.若点。在侧面正方形A。。A内（包含边界）且MQ^AC,则点。的轨迹长度为近

17

4.（2024・山西太原•模拟预测）如图，正八面体片ABCDG棱长为1,M为线段《C上的动点（包括端点）,

贝U（）

P1

A.比坐=、B.BM+MD的最小值为g

TT

C.当鸟时，AM与BC的夹角为7D.AMDP2<APXDP2

三、填空题

5.（23-24高三下•上海浦东新•期中）正三棱锥5-ABC中，底面边长钻=2,侧棱AS=3,向量”，匕满足

a\aAC）=alAB,b\bAC）=b?AS,贝！］,一可的最大值为.

6.（23-24高二上•广东•期末）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1,且它们所在的平面所成的

二面角。-尸的大小是60。，则直线AC和3P夹角的余弦值为.若分别是AC,2尸上的

动点，且AM=BN,则MN的最小值是.

参考答案：

1.D

【分析】设PA=a，PB=b，PC=c，利用空间向量运算得CE=go-e,DF=^(a-b+c],利用数量积

的运算律求解数量积，即可解答.

【详解】设尸A=4,PB=b>PC=c>则a-b=0，a-c=b-c=2x2x-=2,

22

CE=PE-PC=-PA-PC=-a-c,

33

DF=PF-PD=^PA+PC^-^PB=-b+c^,

18

“，1-211112

所以C£・£>/=—Q——a-b——a-c+—b'Cc=0,

33622

故直线CE与。尸所成的角为90。.

故选：D

2.C

【分析】以44,，AD，AB作为一组基底表示出再根据数量积的运算律求出|喻|,即可得解.

［详解］依题意BM=BB,+BtM=B月+；4R=2月+；(A2-A4)

=AA|+—A,D——AZ?,

所以曲=^AAi+^AD-^AB^

-212121

=朋+—AD+—AB+-AD--AB--AD-AB

=12+—xl2+—xl2+lxlx--Ixlx---xlxlx—=—,

4422224

所以卜*,即手.

故选：C

3.BD

【分析】取BC中点E,连接ME,MO,OE,NOME为异面直线MO与CG所成角，可判断A；将侧面8CC4

延BC旋转至与平面ABCD共面，根据两点间线段最短可判断B；对于C,如图以点。为原点，以DAQCQA

为羽y，z轴建立空间直角坐标系，取A4靠近用的四等分点，则可证明M7/AP,判断C；并确定点。的轨

迹为直线无+z=l在正方形4DR4内的线段，判断D.

【详解】对于A,取中点E,连接MEMO,OE,

则CCJ/ME,所以NOME为异面直线MO与CC］所成角，

ME22亚

在RtZkO石M中，cos/OME=+=/乙=王,故A错误；

OMVl2+225

对于B,将侧面BCG瓦延8C旋转至与平面ABCD共面，

如图连接DM,交BC与点N,此时|肱V|+|DN|最小，

19

^.\MN\+\DN\=\DM\=yj42+]1=y/V7,故B正确；

对于c,如图，以点。为原点，以DA,z)c,z)〃为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则4(2,0,0),尸(0,1,0),M(1,2,2),

因为平面ABCD//平面44G，，

所以平面4WP与平面AB]C|A的交线为过点/且平行于AP的直线，

取A片靠近尾的四等分点P,连接FM,并延长交CR于点S,

连接SP,交CC]于点T,

由中1,2),所以“=[1,-；,0)"=(-2,1,0),

贝=则所以北田为平面AMP与平面A4GR的交线，

则SP为平面AMP与平面CDDG的交线，

所以7P为平面AWP与四边形CDDg的交线，

由于Rt二尸4M=Rt_S£M,所以SC|=F8]=g,

4

又RtSQTRtPCT,所以CT=g,

则尸7=卜+出=?故c错误；

对于D,因为点。在侧面正方形ADR4内，设。(x,0,z),

则A。=(一2,2,-2),W=(x-l,-2,z-2),

因为MQ^AC,所以—2(x—1)—4—2(z—2)=0,

化简为x+z=l,

则点。的轨迹为直线x+z=l在正方形ADR4内的线段，其长度为④，故D正确.

故选：BD

20

【点睛】关键点睛：本题选项D为空间动点轨迹的探索问题，解答本题的关键是利用空间直角坐标系探索

出动点的轨迹.

4.BC

【分析】根据体积公式即可求解A,根据平面中两点距离最小即可求解B,根据线线垂直可得线面垂直，进

而求解C,根据数量积的运算律即可求解D.

【详解】对于A,连接相交于。，故=尸2=1,，P0=飞PB2-OB?£

222

XX=XXX=1

^ABCD=11=1,VpABCDP=^P-ABCD=7ABCD,ZA错误；

Pl

对于B,因，B/与△DC［均是边长为1的正三角形，故可将沿［C翻折，

使其与2潢共面，得到菱形8C。。，则(BM+ATO)1m“=8。=1*孝、2=6,B正确;

对于C,由BDJ_AC且8。，［4,ACc耳鸟=O,AC,P}P2u平面APtCP2,

故3。)平面AA/u平面A［CE，:.BD±AM,

21

若AM-LDP2fBDcDP?=D,BD,DP2u平面5。舄，则yVHJ_平面,

■jr

故知M与C重合，AM与BC的夹角为:，C正确；

4

对于D,AM=APx+PlM=APl+XPlC=(1-X)APx+AAC,2e[0,l],

由于4?，3。,47,0鸟,05门3。=0,。5,8。匚平面8鸟。，故AC,平面

5Du平面2鸟。，故AC,8Z)

/、Z、UUU1

二411・邛=(1一彳)时-少+0=(1-4时・。6之时-。6(A［与£>£的夹角为钝角)，D错误.

5.4

【分析】利用向量运算化简变形，设a=CM,6=CN,将向量等式转化为两动点轨迹为均为球面，再利用球

心距求两球面上任意两点间距离最大值即可.

【详解】已知正三棱锥S-ABC,则AS=3S=CS=3,S.AB^BC=CA=2,

由e(a+AC)=a-A8化简得/=a.cB,

由"仅+人弓二或川^化简得广二切小.

i§：a=CM,b=CN,代入J=a-CB，b"=b-CS-

分别化简得MC-MB=O，旦NC-NS=Q，

故点〃在以BC为直径的球面上，半径弓=；3C=1；

13

点N在以SC为直径的球面上，半径马=5

分别取线段3C、SC的中点E、F,

13

则E/二-35=—，

22

i^\a-b\=\MN\=\EF\+r+r?=-+l+-=4.

IImax1lmax1122

故答案为：4

22

【点睛】将向量的代数关系转化为动态的几何表达，借助几何意义求解动点间的距离最值是解决本类题型

的关键所在.

6.-/0.25；.—/-VS

455

【分析】

利用已知条件结合向量法即可求解；利用二面角的定义证得尸就是二面角。-AB-尸的平面角，即为

60°,再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数

的图象与性质运算即