2025年高考数学一轮复习讲义：基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（原卷版）

专题36基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................4

【考点突破】................................................................5

【考点1】基本立体图形......................................................5

【考点2】表面积与体积......................................................7

【考点3】与球有关的切、接问题..............................................9

【分层检测】...............................................................11

【基础篇】.................................................................11

【能力篇】.................................................................14

【培优篇】.................................................................16

考试要求：

1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能

运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

2.知道球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实

际问题.

3.能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体）的直观

图.

■,知识梳理

1.空间几何体的结构特征

（1）多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

S

A

D'A

a

图形

AB

ABAB

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

相交于一点,但不一

侧棱平行且相等延长线交于一点

定相等

侧面形状平行四边形三角形梯形

（2）旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

■S\0

A鎏

图形萋

1

互相平行且相等，

母线相交于一点延长线交于一点

垂直于底面X

轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面

侧面展开图矩形扇形扇环

2.直观图

（1）画法：常用斜二测画法.

⑵规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，V轴、y'轴的夹角为45。（或135°）,

，轴与V轴、V轴所在平面垂直.

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别土后王坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直

观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的二生.

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

2

圆柱圆锥圆台

侧面展开门.

/<2加；

/L1A/

图够/

侧面积公

S圆柱侧=2兀S圆锥侧=兀77S圆台侧=兀⑺+/2）/

式

4.柱、锥、台、球的表面积和体积

表面积体积

几何体

V=Sh

柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S侧+2S底

V=TSh

锥体（棱锥和圆锥）S表面积=S侧+S底

31

V=g（S上+S下+但作比

台体（棱台和圆台）S表面积=S侧+S上+S下

4.

球S=4TTR2V=T7l7?3

3-----

|常用结论

1.正方体与球的切、接常用结论：正方体的棱长为a,球的半径为R,

（1）若球为正方体的外接球，则2R=4a；

（2）若球为正方体的内切球，则2R=a；

（3）若球与正方体的各棱相切，则2R=地a

2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=54

3.正四面体的外接球的半径R=乎a,内切球的半径厂=杏。，其半径R：r=3：l（a为该正四面

体的棱长）.

4.直观图与原平面图形面积间关系s直观图原图形.

真题自测

一、单选题

52

1.（2024•全国•高考真题）已知正三棱台ABC-4AG的体积为至，AB=6,A旦=2,则与平面9c

所成角的正切值为（）

3

A.万B.1C.2D.3

2.（2024・全国•高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为石，则圆锥的

体积为（）

A2百兀B3c6D9百兀

3.（2023•全国•高考真题）在三棱锥尸-9C中，ASC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC=瓜，

则该棱锥的体积为（）

A.1B.A/3C.2D.3

4.（2023•全国•高考真题）已知四棱锥P-MCD的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,ZPG4=45°；

则PBC的面积为（）

A.2拒B.3行c.4夜D.672

5.（2023•全国,高考真题）已知圆锥PO的底面半径为6,O为底面圆心，PA,PB为圆锥的母线，4105=120。，

973

若的面积等于丁，则该圆锥的体积为（）

A.兀B,瓜兀C.3万D.3而r

二、多选题

6.（2023•全国•高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度

忽略不计）内的有（）

A.直径为。・99m的球体

B.所有棱长均为14m的四面体

C.底面直径为OQlm,高为L8m的圆柱体

D.底面直径为L2m,高为OOlm的圆柱体

三、填空题

7.（2024•全国•高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为4,下底面半径均为M圆台的母线长分别为

（-1）,（2一切，则圆台甲与乙的体积之比为.

8.（2023•全国•高考真题）已知点S，AB，C均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，5A1

平面A3C,则&4=.

9.（2023•全国•高考真题）在正方体gGA中，4?=4,0为“G的中点，若该正方体的棱与球。的

球面有公共点，则球°的半径的取值范围是.

10.（2023•全国,高考真题）在正方体—中，E,尸分别为AB,G2的中点，以EF为直径的球

的球面与该正方体的棱共有个公共点.

4

11.（2023•全国•高考真题）在正四棱台ABCD-ABGR中，AB=2，A耳=1,朋=也，则该棱台的体积

为■

12.（2023•全国•高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,

高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

.考点突破

【考点11基本立体图形

一、单选题

1.（23-24高一下•福建莆田•期中）已知等腰梯形ABCD,AB=2,CD=6,圆°为梯形A3CD的内切圆，

并与A3,8分别切于点E,F,如图所示，以跖所在的直线为轴，梯形A3C。和圆。分别旋转一周形

成的曲面围成的几何体体积分别为匕，匕，则％值为（）

D.评

2.（2022•重庆•模拟预测）十八世纪，数学家欧拉发现简单凸多面体的顶点数I/、棱数E及面数F之间有固

定的关系，即著名的欧拉公式：M-E+尸=2.如图所示为上世纪八十年代科学家首次发现的碳60的电子显

微镜图，它是由五边形和六边形面构成的多面体，共有60个顶点，每个顶点均为碳原子，且每个顶点引出

三条棱，形似足球.根据以上信息知，碳60的所有面中五边形的个数是（）

A.12B.20C.32D.40

二、多选题

3.（2024•山西晋中•模拟预测）"阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的

多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共

可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知钻=1,则关于

图中的半正多面体，下列说法正确的有（）

5

50

A.该半正多面体的体积为3

3A/3

B.该半正多面体过AB，。三点的截面面积为三

C.该半正多面体外接球的表面积为8兀

D.该半正多面体的表面积为6+26

4.（2024•新疆喀什•二模）如图圆台在轴截面中，2，下面说法正确

的是（）

A.线段AC=2白

B.该圆台的表面积为11兀

C.该圆台的体积为7扃

D.沿着该圆台的表面，从点C到A£＞中点的最短距离为5

三、填空题

5.（21-22高三上•广东潮州•期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈，在鳖

席A-BCD中，平面BCD,CDLAD,AB=BD=^2,已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱的＞

上一点到点B的最短距离为丽，则该棱锥的外接球的体积为.

6

A

6.(2022•辽宁沈阳•一模)如图，在底面半径为1,高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相

切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭

圆的离心率为.

反思提升：

空间几何体结构特征的判断技巧

(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条

件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.

(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.

(3)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；

平行于y轴的线段平行性不变，长度减半

(4)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：

S直观国S原图取.

(5)几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开

图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.

【考点2】表面积与体积

一、单选题

1.(2024・天津红桥•二模)如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮

筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与

冰淇淋的体积之比为()

7

V15

DR.--c.叵

242

2.（2024•陕西•模拟预测）将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装.如图

所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为36，则该物件的

高为（）

A.—B.1C.J2D.3

2

二、多选题

3.（2021•辽宁沈阳•模拟预测）三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日,

在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假

定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm,外径长3cm,筒高4cm,中部为棱长是3cm的

正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则（）

A.该玉琮的体积为18+下（cm3）B.该玉琮的体积为27——（cm3）

44

C.该玉琮的表面积为54+?i（cm2）D.该玉琮的表面积为54+9兀（cn?）

k2兀___

4.（2024•吉林长春•三模）某圆锥的侧面展开图是圆心角为可，面积为3兀的扇形，则（）

A.该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为述

3

B.若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的体积最大时，圆柱的高为;

8

C.若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为空

3

D.若该圆锥内部有一个正方体ABC。-AAGA，且底面ABC。在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大

时，以A为球心，半径为生色的球与正方体表面交线的长度为地无

99

三、填空题

5.（2024•山西吕梁•二模）已知圆台的高为3,中截面（过高的中点且垂直于轴的截面）的半径为3,

若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1:2的两部分，则该圆台的母线长为.

6.（2021•全国•模拟预测）已知圆锥的轴截面以B是边长为。的正三角形，A2为圆锥的底面直径，球。与

圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为匕，球。的体积为匕，则J=；若M,N是圆锥底

面圆上的两点，且则平面截球。所得截面的面积为.

反思提升：

1.空间几何体表面积的求法

（1）旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应

侧面展开图中边的关系.

（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

2.求空间几何体的体积的常用方法

（1）公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；

（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何

体；

（3）等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积.

【考点3】与球有关的切、接问题

一、单选题

1.（2024•湖南・二模）如图，在四面体尸一ABC中，PA±^ABC,AC±CB,PA=AC^2BC^2,则此四面

A.3兀B.9兀C.36兀D.4871

2.（2023・广东佛山•二模）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器,

极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”111型浮

空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观

9

测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力."极目一号"III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一

个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则"极目一号"川型浮空艇的体积约为（）

(参考数据：9.52~90,9.53=857,315x1005®316600,兀。3.14)

图1

A.9064m3B.9004m3C.8944m3D.8884m3

二、多选题

3.（2024•河南信阳,一模）六氟化硫,化学式为SR,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,

有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于

正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为山，则（）

A.该正八面体结构的表面积为2占B.该正八面体结构的体积为

C.该正八面体结构的外接球表面积为2兀疗D.该正八面体结构的内切球表面积为攻

3

4.（2022•全国•模拟预测）三棱锥S-ABC中，平面5AB_L平面ABC,ZSAB=ZABC=3ABAC=90°,

SA=AC=2f贝I（）

A.SA.LBC

B.三棱锥S-ABC的外接球的表面积为方

C.点A到平面SBC的距离为立

6

D.二面角S-BC-A的正切值为友

3

三、填空题

10

5.（2024•广东肇庆•模拟预测）在四面体尸—ABC中，BP±PC,^BAC=60,若BC=2,则四面体P—ABC

体积的最大值是,它的外接球表面积的最小值为.

jr

6.（2023・江苏•模拟预测）己知菱形ABCD的边长为1,ZADC=§，将A4DC沿AC翻折，当三棱锥D-ABC

表面积最大时，其内切球表面积为.

反思提升：

⑴求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示，设球。的半径为R,

截面圆。，的半径为r,M为截面圆上任意一■点，球心O到截面圆0,的距离

为d,则在“中，0M2=。。，2+。,“2,即夫2=法十户.

⑵求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的

体对角线.

（3）“切”的问题处理规律：找准切点，通过作过球心的截面来解决；体积分割是求内切球半

径的通用方法.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•河南商丘・模拟预测）在正四棱柱43CD-ABGR中，已知至=逝至=2,0为棱CQ的中点,

则线段3在平面03C上的射影的长度为（）

825/6强

A.3B.近C.3D.3

2.（23-24高三下•河南•阶段练习）已知圆台。的上、下底面半径分别为'，M且4=24，若半径为石的

球与。的上、下底面及侧面均相切，则。的体积为（）

26兀28兀

A.78兀B.8百兀c.3D.3

71

3.（2024・重庆・三模）若圆锥的母线长为2,且母线与底面所成角为了，则该圆锥的侧面积为（）

A.6式B.2兀c.20兀D.4兀

4.（2024・广东•模拟预测）建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，

底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上

半部分抽象成圆台己知该圆台的上、下底面积分别为16兀cm2和971cm2,高超过1cm,该圆台上、下底

面圆周上的各个点均在球。的表面上，且球。的表面积为100兀cn?,则该圆台的体积为（）

11

259兀260兀3

々----cm3-------cmQ

A.8071cmB.3c.3D.877tcm

二、多选题

5.（2024•云南红河•二模）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的是（）

A.圆锥的轴截面为直角三角形

B.圆锥的表面积大于球的表面积的一半

C.圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为兀

D.圆锥的体积与球的体积之比为1：4

6.（2024•河北邯郸•三模）"阿基米德多面体"又称"半正多面体”,与正多面体类似，它们也都是凸多面体，

每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相

同.有几种阿基米德多面体可由正多面体进行"截角"得到如图，正八面体一/的棱长为3,取各条

棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（）

A.共有18个顶点B.共有36条棱

C.表面积为6+84D.体积为8近

7.（2021・重庆・三模）设一空心球是在一个大球（称为外球）的内部挖去一个有相同球心的小球（称为内球），已

知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1,若某正方体的所有顶点均在外球面上、所有面均与内球相

切，贝I（）

A.该正方体的棱长为2B.该正方体的体对角线长为3+6

C.空心球的内球半径为D.空心球的外球表面积为（12+6石卜

三、填空题

8.（2023•江西九江•一模）如图，在正三棱柱A*7-中，48=29=2,N为4G的中点，/为线

12

段&A上的点.则+网的最小值为

9.（2024,陕西•模拟预测）如图，正三棱锥。一钻。的三条侧棱04°民℃两两垂直，且侧棱长

_2A/3

OA=OB=OC=y[2,以点。为球心作一个半径为亍的球，则该球被平面ABC所截的圆面的面积

为.

10.（23-24高二下•浙江•期中）圆锥的底面半径为1,母线长为2,在圆锥体内部放入一个体积最大的球，

该球的表面积为.

四、解答题

11.（22-23高二下•陕西榆林•期末）如图，在棱长为2的正方体“'CD-A4GR中，尸是棱A3的中点，E

是4c与8R的交点.

⑴求证：跖〃平面4皿,

⑵求三棱锥D-ABR的体积.

12.（2024•全国•模拟预测）如图，在三棱锥A-3CD中，点E为棱3C的中点，点。为。E的中点，ABC,

BCD,.血（都是正三角形.

13

（1）求证：AO,平面BCD；

⑵若三棱锥A-3CD的体积为2,求三棱锥4-瓦汨的表面积.

【能力篇】

一、单选题

1.（2024•广东茂名•模拟预测）若正四面体尸一钻。的棱长为,/W为棱以上的动点,则当三棱锥M-ABC

的外接球的体积最小时，三棱锥MC的体积为（）