2025年高考数学一轮复习讲义：基本不等式（原卷版）

专题04基本不等式（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................2

【考点突破】...............................................................10

【考点1］利用基本不等式求最值..............................................10

【考点2］基本不等式的综合应用..............................................13

【考点3］基本不等式的实际应用..............................................20

【分层检测】...............................................................27

【基础篇】.................................................................27

【能力篇】.................................................................33

【培优篇】.................................................................36

考试要求：

1.了解基本不等式的证明过程.

2.能用基本不等式解决简单的最值问题.

3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.

融知识梳理

1.基本不等式：q不w―2~

⑴基本不等式成立的条件：a>Q,b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a=6时取等号.

(3)其中审叫做正数a,6的算术平均数，血叫做正数a,6的几何平均数.

2.两个重要的不等式

^(r+b-^2ab(a,6GR),当且仅当a=6时取等号.

(2%。★卜一J(a,6GR),当且仅当a=6时取等号.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正数，如果积犯等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2、年.

(2)已知x,y都是正数，如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值为5

|常用结论

l.^+|>2(a,8同号)，当且仅当a=6时取等号.

/a+^a2-\-b2

2J、2-'

3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等"，忽略某个条件，就会出错.

4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保

证它们等号成立的条件一致.

.真题自测

一、单选题

1.(2022•全国•高考真题)已知9根=10,〃=10m—11/=8机—9,贝!J()

A.a>0>bB.<3>Z?>0C.b>a>0D.b>0>a

2.(2021•全国•高考真题)下列函数中最小值为4的是(

A.y=f+2%+4

2

.9_4

C.y=2“+2'D.y=lnxH-------

"Inx

22

3.（2021•全国•高考真题）己知小乃是椭圆C：45=1的两个焦点，点加在C上，贝"Ml讣版|的最

大值为（）

A.13B.12C.9D.6

4.（2021・浙江・高考真题）已知。,力,7是互不相同的锐角，则在sinacos/?,sin/?cos7，sin/cosa三个值中，大

于g的个数的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

二、多选题

5.（2022•全国•高考真题）若x,y满足尤2+y一孙=1,则（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

三、填空题

AT

6.（2022•全国,高考真题）已知44BC中，点。在边上，NAD8=120。,AO=2,8=28。.当白上取得

AB

最小值时，BD=.

7.（2023・天津•高考真题）在AABC中，BC=1,NA=60。，AD=1AB,CE=|cD,记丽=扇正=5,用。，方

表示荏=;若而=g觉，则荏.说的最大值为.

8.（2021,天津■局考真题）若a>0,b>0,贝U—+白+。的最小值为_________.

ab

.考点突破

【考点1］利用基本不等式求最值

一、单选题

1.（2023•安徽蚌埠•模拟预测）已知实数a,6,c满足a<b<c且仍c<0,则下列不等关系一定正确的是（）

A.ac<beB.ab<ac

bc>ba〜

C.-+->2D.—+—>2

cbab

2.（2023•辽宁葫芦岛•二模）若。〉0"〉0,2必+a+力=3,则a+2办的最小值是（）

A.—B,1

2

C.2D.

2

二、多选题

3.（2023•江苏•一模）已知正数a,Z?满足ab=〃+b+l,贝！J（）

3

A.a+6的最小值为2+2后B.他的最小值为1+0

C.」+1的最小值为20-2D.2"+4〃的最小值为16旅

ab

4.（2023・山东烟台•三模）已知〃>0力>0且4a+Z?=2,贝|（）

A.ab的最大值为gB.26+扬的最大值为2

C.2+f的最小值为6D.4"+2"的最小值为4

ab

三、填空题

5.（2023•辽宁大连三模）已知孙>0,且尤?+2孙=1,则f+y2的最小值为.

6.（2020・天津滨海新•模拟预测）已知无>0,>>0,则，可‘2+0方的最大值是_________.

x+4yx+y

反思提升：

1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

>7nnh

2.常数代换法，主要解决形如“已知x+y=/（/为常数），求勺最值”的问题，先将包+‘转

化为再用基本不等式求最值.

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3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和

为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不

等式，构造目标式的不等式求解.

【考点2】基本不等式的综合应用

一、单选题

1.（2024・山东济宁•一模）已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,内c,且a=3,acosB=（2c-b）cosA,

则AABC面积的最大值为（）

A.姓B.9C.2D.2

4242

2.（21-22高一上•河南商丘•期末）若对任意实数x>0,y>0,不等式x+而<a（x+y）恒成立，则实数。的

最小值为（）

A."B.V2-1C.V2+1D.”

二、多选题

3.（2023•河北保定•二模）如图，正方形ABCD的边长为1,P、。分别为边AB、D4上的动点，若△APQ

的周长为定值2,贝U（）

4

A.NPCQ的大小为30。B.△PC。面积的最小值为0-1

C.PQ长度的最小值为2后-2D.点C到PQ的距离可以是日

22

4.（2021•全国•模拟预测）己知/为椭圆C：,+5=1的左焦点，直线八y=履化W0）与椭圆C交于A,

3两点，轴，垂足为E,8E与椭圆C的另一个交点为尸，则（）

14广

A.府|+际|的最小值为2B.AABE面积的最大值为0

C.直线8E的斜率为g左D.—RW为钝角

三、填空题

5.（2024・广东深圳•一模）已知函数八天下耳兀一再乂天一⑴G一七乂。〉。），设曲线y=〃x）在点（玉"（%））

处切线的斜率为左。=1,2,3）,若占,马,退均不相等，且左2=-2,则尤+的的最小值为.

21

6.（2021•湖北襄阳•一模）已知x>0,丁>0,且一+—=1,若x+2y>"+2加恒成立，则实数机的取值范

xy

围是.

反思提升：

（1）当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常

数代换法求最值.

（2）求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得

到参数的值或范围.

【考点3】基本不等式的实际应用

一、单选题

1.（2023・湖南•一模）某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该

机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.

若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（）

A.6年B.7年C.8年D.9年

2.（22-23高一上•重庆沙坪坝•期末）2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，

是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含"吉祥团圆”美好愿景的名画一一《梧

桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm,横约95cm,其挂在墙壁上的最低点B离地面194cm.小南身高160cm

5

（头顶距眼睛的距离为10cm）,为使观赏视角。最大，小南离墙距离S应为（）

A.40V2cmB.76cmC.94cmD.446cm

二、多选题

3.（2023•重庆沙坪坝•模拟预测）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资,

现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅“％,第二次涨幅6%；

乙：第一次涨幅4％,第二次涨幅7％;

22

丙：第一次涨幅血K%,第二次涨幅痴％.

其中a>3>0,小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（）

A.方案甲和方案乙工资涨得一样多B.采用方案乙工资涨得比方案丙多

C.采用方案乙工资涨得比方案甲多D.采用方案丙工资涨得比方案甲多

4.（2023・河北唐山•三模）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形的屋状的楔体（图

示的五面体跖-ABC。）.底面长方形ABC。中3c=3,AB=4,上棱长EF=2,且EF〃平面ABC。，高

（即收到平面ABCD的距离）为1,。是底面的中心，则（）

B.五面体EF-ABC。的体积为5

C.四边形与四边形CDE厂的面积和为定值3回

D.V43E与△3CF的面积和的最小值为3亚

三、填空题

5.（2021•黑龙江大庆,三模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架,

其中卷第九勾股中记载："今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一~F五里有木.问出南门几何

步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数

作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则.若一小城，如图所示，出

东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）里.

6

6.（21-22高三上•湖北•阶段练习）拿破仑•波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，

他发现并证明了著名的拿破仑定理："以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角

形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在"LBC中，ZBAC=6ff,以A3,BC,AC为边向外作三

个等边三角形，其中心依次为。，E,F,若DF=2C，贝________，M+AC的最大值为________.

AD

反思提升：

（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.

（2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

（3）在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.

!分层检测

【基础篇】

一、单选题

2贝

1.（2023•北京西城•二模）设a=lg§,b=Jlg3/g2,c=1lg6,Ij()

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.b<c<a

2.（2023•山东滨州•二模）已知直线/:5+叫=1与圆。：/+丁=i相切，则相〃的最大值为（）

7

1

A.-B.C.1D.2

42

3.（2023•湖南长沙•一模）已知2"'=3"=6,则加，"不可能满足的关系是（）

A.m+n>4B.mn>4

C.m2+n2<8D.(m-l)2+(n-l)2>2

已知机>0,n>0,直线y=,兀+根+1与曲线y=lnx—〃+2相切，贝!!'■+工的最

4.（2023・湖北•模拟预测）

emn

小值是（）

A.16B.12C.8D.4

二、多选题

12

5.（2023•吉林白山•一模）若正数b满足—H—=1,贝!J()

ab

21>2C.旱J

A.ab<8B.-----1-----D.26Z+Z?>8

。-1b—2ab2

21

6.（22-23高一上・甘肃临夏•阶段练习）已知。>03>0,且2々+人=1,若不等式一+丁>加恒成立，则加的

ab

值可以为（）

A.10B.9C.8D.7

7.(2021•江苏南通•一模)已知〃>0,b>0,a+b=ab则()

A.a+2b>3+2yf2B.20+2*>8

I1[—

C.abT---25D.~r=+~i=-

ab7a

三、填空题

8.（2023•海南省直辖县级单位•模拟预测）已知正数b满足L+；=20，若（。-冲&4（"）3,则

ab

a2+Z?2=

9.（2023•辽宁沈阳•二模）已知1<"4,则/一+一1的最小值是

4一〃a—\

10.（2022・上海•二模）已知对Vxe（0,+oo）,不等式%-L恒成立，则实数加的最大值是

四、解答题

11.（2023•广西南宁•二模）已知b,c均为正数，且片+2〃+3c2=4,证明:

⑴若a=c,则

2

(2)a+2b+3c<2y/6.

12.（9-10高二下•江苏•期末）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以〃节能减排，绿色生态〃为主题.

某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.

已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量X（吨）之间的函数

8

关系可近似的表示为y=g/-200x+80000,且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

⑴该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位

不亏损？

【能力篇】

一、单选题

5

1.（2022•河北石家庄•二模）己知x=[±T，y=iog45,z=log34，则x、y、z的大小关系为（）

A.y>x>zB.X>y>zc.z>x>yD.x>z>y

二、多选题

2.（22-23高一下•安徽合肥•阶段练习）直角三角形ABC中，尸是斜边8C上一点，且满足丽=2定，点M，N

在过点P的直线上，若说=机通，亚=〃记0>0,〃>0）,则下列结论正确的是（）

1215

A.一+—为常数B.相，孔的值可以为：m=-,n=-

mn22

C.优+2〃的最小值为3D.暑蛆的最小值为]