2025年高考数学压轴题训练：一元函数的导数新定义题（含新定义解答题）（全题型压轴题）（学生版+解析）

专题12一元函数的导数新定义题（含新定义解答题）

1.（2024高三上•全国•专题练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理

陈述如下：如果函数/（x）在闭区间［。,句上连续，在开区间（。1）内可导，则在区间（。口）内至

少存在一个点无oe（a,b）,使得/■（力一/（。）=/（%）。一4）,彳=不称为函数）7=/。）在闭区间

3,切上的中值点，若关于函数/（x）=sinx在区间［0,可上的"中值点”的个数为处函数

gQ）=e'在区间［0,1］上的"中值点”的个数为小则有力?+〃=（）（参考数据：”3.14,门2.72.）

A.1B.2C.0D.n=3

2.（23-24高三上•湖南益阳,阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之"美".现代

建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定

义如下：若广（X）是“X）的导函数，/（X）是尸（X）的导函数，则曲线y=F（x）在点（xj（x））

处的曲率K=1葭.若〃x）=x-eX,则曲线y=在（0,—1）处的曲率犬是（）

（1+（广（“）2

A.0B.-C.1D.e

3.（2023•陕西咸阳・模拟预测）英国数学家布鲁克・泰勒（BrookTaylor,1685.8~1731.11）以

发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数/（元）在包含毛的

某个开区间（a,6）上具有（"+1）阶导数，那么对于有

小）=书+乎+尤-/++勺九rj+，若取x°=。，则

/（X）=ZI2）+£BX+Z12）X2+,此时称该式为函数在x=o处的

〃阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将sinx,cos尤，In尤，&等函数转化为多项式

r3r5尤7

函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如sin;c=x-二+工-土+，

3!5!7!

246/%1\1

cosx=l-—r+—-—+，则运用上面的想法求2cos"+/sin彳的近似值为（）

2!4!6!（22）2

A.0.50B.-0.46C.-0.54D.0.56

4.（23-24高三上•福建•阶段练习）艾萨克牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同

时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用"作切线”的方法求函数/（X）零点时给出一个数列

x=为“X,)

我们把该数列称为牛顿数列.如果函数"*）=依2+区+。（。＞0）有

x—2

两个零点1,2,数列｛斗｝为牛顿数列.设a“=ln」＜,已知％=1,｛见｝的前"项和为臬,

贝I］S2022+I等于（）

A.2022B.2023C.22023D.22022

5.（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•期中）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容

为：如果函数“X）在闭区间句上的图象连续不间断，在开区间S，b）内的导数为（（力，

那么在区间（a,为内至少存在一点c,使得〃3-a）成立，其中c叫做“X）

在句上的"拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数〃x）=lnx在［l,e］上的"拉格朗日

中值点"为（）

re+1

A.1B.eC.e—1D.------

2

6.（23-24高二下•广东东莞•阶段练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函

数论》中给出了一个定理，具体如下.如果函数y=满足如下条件.（1）在闭区间可

上是连续的；（2）在开区间（4,6）上可导则在开区间（a,b）上至少存在一点使得

/.）—/（。）=/《）0—。）成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中忑被称为“拉格朗日中

值".则g（x）=三在区间［0,1］上的"拉格朗日中值”=.

7.（23-24高三上•海南海口•阶段练习）英国著名物理学家牛顿用"作切线”的方法求函数零

点时，给出的"牛顿数列"在航空航天中应用广泛.若数列｛无“｝满足加=%一点，〃cN*）,

则称数列｛尽｝为牛顿数列.如果函数/'（"=炉-尤-2,数列｛斗｝为牛顿数列，设

且4=1,数列｛%｝的前"项和为S"，贝1］%=，/=.

当一.

8.（23-24高二下•上海黄浦•阶段练习）在微积分中"以直代曲"是最基本，最朴素的思想方

法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术"，用圆的外切正”边形和内接正"边形"内外夹逼"

的办法求出了圆周率万的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算

的，它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用"以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数

图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.请用函数/（尤）=""近似计算〃2。%的值为_

（结果用分数表示）.

9.（2023高三•全国•专题练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿

在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一一牛顿法.这种求方程根的方

法，在科学界已被广泛采用.例如求方程2/+3/+犬+1=0的近似解，先用函数零点存在

定理，令，（尤）=2/+3/+%+1,/（-2）=-5<0,/（-1）=1>0,得上存在零点，

取x0=T,牛顿用公式=无”--反复迭代,以x”作为〃x）=0的近似解，迭代两

次后计算得到的近似解为；以为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个

区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为.

10.（23-24高三下•云南•阶段练习）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复

数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程/（无）=。的其中一个根厂在

》=尤。的附近，如图6所示，然后在点（尤。,/（七））处作〃尤）的切线，切线与x轴交点的横坐

标就是耳，用毛代替与重复上面的过程得到得；一直继续下去，得到％,毛，不2,…，X,.

从图形上我们可以看到占较%接近r,*2较耳接近r,等等.显然,它们会越来越逼近r.于是，

求「近似解的过程转化为求x.，若设精度为£,则把首次满足氏-七」<£的当称为/■的近

似解.

已知函数f（X）=V—x+1,aeR.

（1）试用牛顿迭代法求方程/（x）=0满足精度£=0.5的近似解（取无。=-1,且结果保留小数

点后第二位）；

（2）若/（力+3无2+6x+5+ae'4O对任意xeR都成立，求整数a的最大值.（计算参考数值:

32

ex2.72,『35"3.86,eL5sB4.48,1.35«2.46,1.35«1.82）

11.（2024•湖南•二模）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的

零点有关，是由法国数学家米歇尔・罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数满

足在闭区间也力连续，在开区间（。山）内可导，且/（a）=/S）,那么在区间（。,6）内至少存在

一点加，使得r（加）=o.

（1）运用罗尔定理证明：若函数/（X）在区间［a,b］连续,在区间（0,6）上可导，则存在升e（a,6）,

使得/（%）=

"2b-Ta⑷.

⑵已知函数/（X）=Xlnx,g（x）=；V一陵+1,若对于区间（1,2）内任意两个不相等的实数公泡,

都有|/（孑）-/■（尤2）i＞iga）-g（N）i成立,求实数人的取值范围.

（3）证明：当时，有—三r一一

n'p—\（〃一1）n1

12.（23-24高二下•山东济南•期中）帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式

近似特定函数的方法.给定两个正整数〃2,",函数/（X）在X=0处的［九〃］阶帕德近似定义

为：为X）=?+：/+且满足：/（o）=7?（o）,r（o）=R（o）,r（o）=w）,

1+4%++bnx

/5+〃）（0）=R5+〃）（0）.已知/（%）=ln（%+l）在x=0处的［1,1］阶帕德近似为我（尤）=^^.注：

\+bx

,（X）="U）］'/（X）=［尸（切'"⑷（X）=［小（切’,/⑸（X）=［U（X）］',

（1）求实数。，6的值；

（2）求证：（x+6）d］＞l；

⑶求不等式［1+!］＜6＜］1+!［？的解集，其中e=2.71828.

13.（23-24高三下•甘肃•阶段练习）曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲

项式近似特定函数的方法.给定两个正整数〃?，"，函数"X）在x=o处的[租,同阶帕德近似

定义为：定元）=.+：、++：”工且满足:/（0）=7?（0）,广（O）=R（O）,r（O）=^（O）,

1IU।J\/II。及J\/

/（E）（0）=心7°）,注：/（力=上,（切，,「，⑺耳尸⑺[,*（x）=[r〃（切

已知函数/(x)=ln(x+l).

（1）求函数/（x）=ln（x+l）在尤=0处的[1内阶帕德近似火（无），并求lnl.1的近似数（精确到

0.001)；

⑵在（1）的条件下:

①求证:

②若〃x）T“g+l]R（x）Wl-COSX恒成立，求实数机的取值范围.

15.（2024•浙江宁波•二模）定义：对于定义在区间可上的函数，若存在实数ce（。,8）,

使得函数在区间［a,c］上单调递增(递减)，在区间［c,可上单调递减(递增),则称这个函

数为单峰函数且称。为最优点.已知定义在区间［a,句上的函数是以c为最优点的单峰函

数，在区间(a,b)上选取关于区间的中心等对称的两个试验点和马，称使得

，a)-〃c)W=l,2)较小的试验点占为好点(若相同，就任选其一)，另一个称为差点.容

易发现，最优点。与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间,,可分成两部分，

并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为侬,4］，再对区间重复以上操作，可

以找到新的存优区间&也］,同理可依次找到存优区间&也］，&也］,，满足

［a/］卫［6,乙］口&也］卫&，4］卫&也］口，可使存优区间长度逐步减小.为了方便找到最

优点(或者接近最优点)，从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试

验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数。，则称

这样的操作是“优美的"，得到的每一个存优区间都称为优美存优区间，。称为优美存优区间

常数.对区间可进行"次"优美的"操作，最后得到优美存优区间小,2］,令£,=与二

b-a

我们可任取区间小,d］内的一个实数作为最优点。的近似值，称之为〃力在区间［。回上精

度为J的"合规近似值"，记作多(了,［。,司).已知函数〃x)=(x+l)cosx-l,xe0,",函数

g(x)=sinx-ln(l+7c-x),x£兀.

(1)求证：函数/(尤)是单峰函数；

(2)已知c为函数“X)的最优点，d为函数g(元)的最优点.

(i)求证：c+d<71；

(ii)求证：^,7iJ—°'5］］〉"_。一六.

注：V2«1.414,73«1.732,百«2.236,S。2.646.

16.(2024•河北沧州•一模)对于函数丁=/(%),XG/,若存在使得〃尤o)=无o，则

称％为函数/(X)的一阶不动点；若存在不使得/(〃/))=%,则称％为函数/5)的二

阶不动点；依此类推，可以定义函数"X)的"阶不动点.其中一阶不动点简称为“不动点”,

二阶不动点简称为“稳定点"，函数/(X)的"不动点"和"稳定点”构成的集合分别记为A和2,

即A={x|f(尤)=x},B={x|/(/(%))=x].

⑴若〃尤)=-(x>0),证明：集合A={尤|〃x)=x}中有且仅有一个元素；

⑵若"x)=S+l)X-；1+詈71nr讨论集合8的子集的个数.

17.(23-24高三下•江西•阶段练习)记函数y=在。上的导函数为y=/'(x),

若尸(x)>0(其中/(x)=[r(x)J)恒成立，则称y=〃x)在。上具有性质

(1)判断函数y=log〃x(a>o且awl)在区间(0,+8)上是否具有性质M?并说明理由；

⑵设a,6均为实常数，若奇函数83=2/+加+^在处取得极值，是否存在实数0,

X

使得y=g(x)在区间仁刈)上具有性质M?若存在，求出。的取值范围；若不存在，请说

明理由；

⑶设keZ且上>0,对于任意的xe(0,心)，不等式1+M(x+1)>上成立,求人的最大值.

XX+1

专题12一元函数的导数新定义题(含新定义解答题)

1.(2024高三上•全国•专题练习)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理

陈述如下：如果函数Ax)在闭区间句上连续，在开区间(。1)内可导，则在区间(。力)内至

少存在一个点无oe(a,b),使得/(力-/⑷=/伉帅-城片不称为函数产/⑺在闭区间

3,切上的中值点，若关于函数/(x)=sinx在区间［0,可上的"中值点"的个数为相，函数

gQ)=e'在区间［0,1］上的"中值点”的个数为小则有力?+〃=()(参考数据：”3.14,门2.72.)

A.1B.2C.0D.n=3

【答案】B

【优尖升-分析】

利用给定的定义分别求出力，〃的值，即可得解.

(详解】设函数/(x)=sinx在区间［0,兀］上的"中值点"为x0,由f(x)=sinx,得f'(x)=cosx,

则由拉格朗日中值定理得，/(兀)一/(0)=尸(%)(兀一0),即兀cos%=0,而%e(0㈤,

则即函数/(x)=sin尤在区间［0,兀］上的"中值点"的个数为1,因此m=1,

设函数g(x)=/在区间［0,1］上的"中值点"为由g(x)=e，，求导得g'(x)=e］

由拉格朗日中值定理得，g⑴一g(0)=g'a)(l-0),即e-l=e'L

令函数h(x)=ev-e+l,xe(0,l),函数h(x)在(0,1)上单调递增，/i(0)=2-e<0,h(l)=1>0,

则函数〃(x)在(0,1)上有唯一零点，即方程e-l=e为在区间(0,D上有1个解，

因此函数g(无)=优在区间［0,1］上的"中值点”的个数为1,即〃=1,

所以加+〃=2.

故选：B

2.(23-24高三上•湖南益阳•阶段练习)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之"美".现代

建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定

义如下：若尸(x)是/⑴的导函数，/(X)是广(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(xj(x))

K『3

处的曲率«((()『『.若〃x)=x—e，，则曲线y=在(0,7)处的曲率/^是()

A.0B.~C.1D.e

【答案】C

【优尖升-分析】根据曲率的定义求解即可.

【详解】因为〃x)=x-e',

所以f(x)=l-所以尸(x)=-e',

lno）|R|

所以曲线y=〃x）在（O,—l）处的曲率一//,（。■一,

故选：C.

3.（2023•陕西咸阳・模拟预测）英国数学家布鲁克・泰勒（BrookTaylor,1685.8-1731.11）以

发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数/（无）在包含毛的

某个开区间（。,6）上具有5+1）阶导数，那么对于有

"号+…若取x°=0,则

/（X）=ZI2）+£BX+Z12）^++工子/+,此时称该式为函数在x=o处的

〃阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将sinx,cosx,e3Inx,4等函数转化为多项式

357

函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如sin%=%-Z+Z-土+

3!5!7!

246

1XXXsing的近似值为

COSX=l-----------1----------------------F则运用上面的想法求2cos)

2!4!6!

A.0.50B.-0.46C.-0.54D.0.56

【答案】B

【优尖升-分析】先化简2cosH+£|sing=coslT,根据题意得到cosl的泰勒展开式，求

得cosl的值，即可求解.

【详解】由三角恒等变换的公式，化简得2cos（彳+；卜in；=-2sin2；=cosl-1,

2!4!6!

I2I4I61\\

可得cosl=l+--------+=1一一+--------+=1-0.5+0.041-0.001+-0.54,所以

2!4!6!224720

cosl-l«-0.46.

故选：B.

4.（23-24高三上•福建•阶段练习）艾萨克牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同

时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用"作切线”的方法求函数/（X）零点时给出一个数列

我们把该数列称为牛顿数列.如果函数〃力=依2+法+C（a>0）有

斗+i小）’

x—2

两个零点1,2,数列｛无“｝为牛顿数列.设%=历」=，已知％=1,｛凡｝的前w项和为S”,

一1

则S2022+1等于（）

A.2022B.2023C.22023D.22022

【答案】D

【优尖升-分析】先由函数“X）=加+及+c（a>0）有两个零点求得〃尤）和尸（力的解析式,

进而求得数列｛招｝的递推公式，从而得到数列｛见｝的前w项和S“,即可求得S2022+1的值.

【详解】“同=加+法+c（a>0）有两个零点1,2,

a+b+c=Qb=-3a

,解之得

4〃+2Z?+c=0c=2a

则-3or+2a(a>0),贝!J/r(x)=lax-3a^a>0)

/(%)__叱-3%+2a_片_2

/'(%〃)"laxn-3a2/-3

人n_____2

2%-3=片-4%+4=(%“-2

片-2_]x；-2%+1]无“一1

2x,-3

2

,X—2X—2

由g=lnn-^,可得°=in%—=ln当-2|=21n———=2a,

1

x“T%-1%-1

故4M=2a“，又％=1,则数列｛q｝是首项为1公比为2的等比数歹!］,

则通项公式%=2"\前〃项和s“=±±=2=l,则%+1=22侬-1+1=22%

1-2

故选：D.

5.（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•期中）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容

为：如果函数〃尤）在闭区间可上的图象连续不间断，在开区间（。,为内的导数为（（力，

那么在区间（。,6）内至少存在一点c,使得“3―成立，其中c叫做〃x）

在句上的"拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数〃x）=lnx在［Le］上的"拉格朗日

中值点"为（）

।e+1

A.1B.eC.e—1D.-----

2

【答案】C

【优尖升-分析】求出函数的导数，令与为函数〃x）=lnx在［l,e］上的“拉格朗日中值点”,

列方程求解即可.

【详解】由f(x)=ln尤可得尸(x)=L

X

令与为函数〃x)=lnx在［l,e］上的"拉格朗日中值点"，

x0e-1e-1

解得无o=e-L

故选：C

6.(23-24高二下•广东东莞•阶段练习)法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函

数论》中给出了一个定理，具体如下.如果函数y=〃x)满足如下条件.(1)在闭区间同

上是连续的；(2)在开区间6)上可导则在开区间由⑼上至少存在一点乙使得

“3-〃a)=/'(30-°)成立，此定理即“拉格朗日中值定理"，其中1f被称为"拉格朗日中

值".则g(x)=式在区间［0,1］上的"拉格朗日中值”.

【答案】B

3

【优尖升-分析】根据拉格朗日中值满足/㈤-"司=尸(3伊-a)求解即可.

【详解】由题意，g'(x)=3f,故g⑴-g(O)=g")(l-O),即g'⑸=1,

故34=1,又Je［0』，故4=《.

故答案为：西

3

7.(23-24高三上•海南海口•阶段练习)英国著名物理学家牛顿用"作切线"的方法求函数零

点时，给出的“牛顿数歹『'在航空航天中应用广泛.若数列｛当｝满足x用=瑞-犬［("UN*),

则称数列｛斗｝为牛顿数列.如果函数/(x)=f-x-2,数列｛七｝为牛顿数列，设

a“=ln%^1(weN*)且《=1,数列｛q｝的前"项和为S",贝!)%=,SI0=.

2

【答案】名2e士+11023

e2-l

尤2+2

【优尖升-分析】对函数求导，结合已知得x“+i=：^—二，进而求得。向=2。“，根据等比数列

定义及前”项和求H。、%,最后求巧即可.

【详解】因为“xHf—x—Z,贝IJ广(x)=2x—l,

则%+1=%一谷4=七一%龙"-2x；+2

2%一1一2%-1'

片+2X：+2x,+1

+1

=InX"+l+1=In2i2当一1

又…所以」5tz——=ln

X片+2片-4%+4

n+1~2-2

2x„-l2%-l

又q=l,所以｛%｝是首项为1,公比为2的等比数列，则。"=2"'

10

所以，s“=^^=2"-l,BPS10=2-1=1024-1=1023,

n1-2

因为出=2=ln至±|,即&±|=e2,解得％=与口.

22

x2-2x2-2e-i

2

故答案为：母?e出+1；1023.

8.(23-24高二下•上海黄浦•阶段练习)在微积分中"以直代曲"是最基本，最朴素的思想方

法，中国古代科学家刘徽创立的"割圆术"，用圆的外切正“边形和内接正"边形"内外夹逼"

的办法求出了圆周率%的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲"的思想进行近似计算

的，它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用"以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数

图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.请用函数"X)=""近似计算"2。据的值为_

(结果用分数表示).

［口案］2623Z12023

【优尖升-分析】/非常接近°，求出在x=0处的切线方程y=x+i,在x=0附近用

X+1代替e，计算可得.

【详解】函数/(x)=e，的导数为f(x)=e，，所以八0)=1,函数/(x)=/在点(0,1)处的切

线y=%+l,所以f(x)=e”在x=0附近可以用y=%+l代替，即/(x)=e*=x+1,

又」一非常接近0，/［二一］=2。版a—!—+1=3史.

2023,12023)20232023

M林士二2024

故答案为：

2023

9.(2023高三•全国•专题练习)人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿

在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一一牛顿法.这种求方程根的方

法，在科学界已被广泛采用.例如求方程2无3+3f+x+l=0的近似解，先用函数零点存在

定理，令/(力=2尤3+3/+%+1,/(-2)=-5<0,/(-1)=1>0,得(-2,-1)上存在零点,

取x0=T,牛顿用公式/=X.:廿)反复迭代,以x”作为〃x)=0的近似解，迭代两

次后计算得到的近似解为；以(-2,-1)为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个

区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为.

2111

【答案】

138

【优尖升-分析】第一空，理解消楚''迭代〃的含义，实际上是一个递推数列，反复代入给定

的表达式，计算即可；第二空，根据二分法依次取区间中点值计算即可.

【详解】已知/(%)=2/+3/+%+1,贝1]-(%)=6/+6%+1.

1"T)-11-。

迭代1次后，玉

r(-i)1’

21

选代2次后,x

213：

用二分法计算第1次，区间（一2,-1）的中点为-,，=/(-1)<0,所

以近似解在区间卜|，-11上；

用二分法计算第2次，区间ITT的中点为=（|]7[-胃＜0,

所以近似解在区间卜|，-\上，取其中点值一日,

故所求近似解为

8

故答案为：-三21，-V11

13o

10.（23-24高三下•云南•阶段练习）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复

数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程/（x）=0的其中一个根r在

x=x。的附近，如图6所示，然后在点（无。,〃尤。））处作〃元）的切线，切线与x轴交点的横坐

标就是毛，用毛代替％重复上面的过程得到巧；一直继续下去，得到％,A，4，

从图形上我们可以看到不较马接近r,巧较玉接近广，等等.显然，它们会越来越逼近八于是，

求r近似解的过程转化为求乙，若设精度为£,则把首次满足|斗-％」＜£的%“称为厂的近

似解.

已知函数f（x）=%3—x+1,aeR.

(1)试用牛顿迭代法求方程/(元)=0满足精度£=0.5的近似解(取无。=-1,且结果保留小数

点后第二位)；

(2)若/'(力+3/+6%+5+祀”40对任意了右11者口成立，求整数a的最大值.(计算参考数值:

e~2.72,e135«3.86,e屋4.48,1.353«2.46,1.352«1.82)

【答案】⑴-1.35

⑵-9

【优尖升-分析】(1)根据导数的几何意义及牛顿迭代法可得结果；

(2)根据已知通过分离变量，构造函数g(x),利用导数得出g(元)的最小值，由(1)的结

论可得结果.

【详解】(1)解：因为"x)；=%3-x+i,则尸(x)=3*-l,

匕=尸(-1)=2,〃-1)=1,曲线在飞=一1处的切线为y-l=2(x+l)n%=-1.5,且

|占一飞|》0.5,

737

^=rH.5)=—,/(-1.5)=--,曲线“X)在占=-1.5处的切线为

248

723(3、31

y+W=+二一行比一1.35，且1%2一玉1<05,

故用牛顿迭代法求方程fM=0满足精度£=0.5的近似解为-1.35.

(2)将“x)+3f+6无+5+诏0)整理得到：一丁-3厂―5.-6洛,

ex

323

A/、-x-3x-5x-6，/、x-x+1f(x)

令g(x)=--------------------,gfM=——--=—,

eee

因为广(x)=3尤2-1,令l(无)>0,即3/_1>0,得了>"或工<一立，

33

令/(幻<0,即3尤2-1<0,得一且<x<也，

所以f(x)在上为增函数，在1#，¥上为减函数,

9-273

所以/⑺的极小值为了彳=-J^>0,

因此Ax)有且仅有一个零点%,所以g(x)有且仅有一个极小值点飞,即g(x)2g(尤0),

所以有aWg(Xo),

31

方法一：由(1)有%=一方々-1.35,则

aWg(x0)<^(-1.35)=L35-3x1.3?j5xl.35-6〜(246_546+6.75-6)x3.86=-8.685.

、vr_.,,F—3xl-+5x1—6ccrcc.,

方法一：aWg(Xo)<g(-l)=--------------«-3x2.72=-8.16.

e

士旺一//、/,八1.53-3xl.52+5xl.5-6(272715—〃°,

方法二：a<g(x)<g(-L5)=---------不---------=—----+-卜4.48=-8.4,

0e<842)

所以，。能取到的最大整数值为-9.

【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义求切线方程；第二问的关键是转化不等式，从而

分析函数g(x)的性质，得出最值.

11.(2024・湖南•二模)罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的

零点有关，是由法国数学家米歇尔•罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数"X)满

足在闭区间他,句连续，在开区间(。,切内可导，且/(a)=/S),那么在区间(。/)内至少存在

一点加，使得/'(m)=0.

(1)运用罗尔定理证明：若函数fM在区间［凡句连续，在区间(a,b)上可导，则存在x0e(a,b),

使得

b-a

⑵已知函数/⑴=xlnx,g(尤)=；Y_法+1,若对于区间(1,2)内任意两个不相等的实数4泡，

都有•(尤2)i>iga)-g®)i成立,求实数<的取值范围.

(3)证明：当。>1,"22时，有—~\2r--

n?p-1(n-iyn〃

【答案】⑴证明见解析；

(2)l-ln2<&<2；

⑶证明见解析.

【优尖升-分析】(1)根据给定条件，构造函数尸(元)=/(尤)-n，利用导数结合罗尔定理推

导即得.

(2)求出函数/(x),g(x)的导数，利用(1)的结论建立恒成立的不等式，再利用导数求出

函数的值域即得.

(3)构造函数/7(x)=x»,xe［"-l,m，求出导数结合(1)的结论，借助不等式性质推理即

得.

【详解】⑴令:黑二"则=

b-a

令函数F(x)=f(x)-比,则F(a)=FQj),F\x)=,

显然/(x)在［a,句上连续，且在(。山)上可导，由罗尔定理，存在%e(a,b),使得F(x())=。，

即:(x°)T=0,所以⑷.

(2)依题意，f'(x)=lnx+l,g'(x)=x-6,

不妨令%%,则।-----------1>1------------I恒成“，

玉-x2xx—x2

由(1)wIf(x)|>|gf(x)I,XG(1,2),于是lnx+l〉|x—b|,gp-l-lnx<Z?-x<lnx+l,

因止匕x—Inx—1vZ?vx+lnx+l,(p(x)=x-］nx-l(l<x<2),

求导得“(x)=B>o,函数例x)在(1,2)上单调递增，贝|0<9(x)<l-ln2,

X

而函数y=尤+Inx+1在(1,2)上单调递增，其值域为(2,3+In2),

则l—ln24bV2,所以实数b的取值范围是l—ln2WbW2.

(3)令函数/?(x)=,显然函数力(无)在(〃-1,〃)上可导，

h(n-l)-h(n)

由⑴存在ce("-l,")使得h'(c)=

(n-V)-n

又h'（x）=（1-p）•x~p,贝！］--1=-〃'（c）=（p-l）cp,

（n—l）n

因止匕~7TT一一^r］=±,而14〃_1＜C＜〃，P＞1,则c?〈心，即】＞5，

p-1（〃-1）n'c1cpnp

所以」■＜一'"?［；—―一匕1

【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的

数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答.

12.（23-24高二下•山东济南•期中）帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式

近似特定函数的方法.给定两个正整数加，«,函数在x=0处的阿，可阶帕德近似定义

为：如）二卷三表,且满足一⑼呐。），八。）3。），八。）"⑼

/7Y

f(m+n)(0)=郑"+〃)(0).已知/(X)=ln(x+1)在％=0处的［1,1］阶帕德近似为R(x)=――.注：

\+bx

〃。）=［八X）］',_n尤）="〃⑴［j⑷（尤）=［尸（切',/蝌⑺=［/（4）（x）］\

⑴求实数。，6的值；

（2）求证:（尤+研（）＞1；

£

（3）求不等式［1+工］＜6＜［1+!］-2的解集，其中e=2.71828.

【答案】（1）。=1,匕=；

⑵证明见解析

⑶（。，+8）

【优尖升-分析】(1)求出R(x),R"(x),f(x),严(x),依题意可得尸(O)=R(O),

/〃(O)=R〃(O),即可得到方程组，解得即可；

(2)由(1)知，即证[x+£jln[l+£|>l,令t=l+f即证7e(O,l)时^>1,

记/⑺=ln/-止D,?6(0,1)(1,y),利用导数说明函数的单调性，即可证明；

(3)分析可得1+：>0,即x>0或x<-l,先考虑e<(l+rp，该不等式等价于

ln[l+』]+5>i，结合(2)的结论即可，再考虑[+：]<e,该不等式等价于xln[l+£]<1,

利用导数证明lnx<x-l,xe(O,l),即可得到ln[l+：j<：,xe(^»,-l)u(O,-H»),

再分类讨论即可判断.

/7Y八,/、ax-Zab

【详解】⑴因为蛆)=9,所以")=E'

/•(x)=ln(x+l),贝|］广(龙)=＜，=

x+1(x+1)

由题意知，r(O)=R(O),/〃(O)=H〃(O),

解得々=1,匕=；,

所以

(2)由(1)知，即证卜++>1,

令"1+L贝！J%>0且rwl,

即证，«0,1)。,也)时才。心”1,

记。⑺=ln-^^,，40,1)。,口)，

则=('―：)>0，

t(1+1)/(/+1)

所以9”)在(0,1)上单调递增,在(1,内)上单调递增，

当te(O,l)时夕⑺<9⑴=0,即〈当?，即#了1取>1成立，

当fw(l,+s)时⑴=0,即即#^ylnt>l成立,

综上可得（1，内）时而可

所以（x+[JIn]1+!>1成立，即（x+6）/g）>1成立.

（3）由题意知，欲使得不等式[++成立，

贝I至少有1+,>0,即x>0或x<-l,

X

首先考虑e<U，该不等式等价于1"1+工「>1，即[x+£jln“+J>l,

又由（2）知[x+g，n[l+]>l成立，

所以使得e<[1+1J，成立的x的取值范围是（f,-1）5°，+8），

再考虑[1+|J<e,该不等式等价于xln“+£|<1，

记/z(x)=lnx-x+l,xe(0,l)(l,+oo),

则”(x)=t-1=三，所以当0<x<l时〃(x)>0,X>1时/z'(x)<o,

所以/7(力在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减，

所以⑴=0,即lnx<x—1,xe(O,l)(1,+co),

所以ln]l+J<]，J；6(-co,-l)o(0,-Ko),

当xe(0,-Ko)时由—J<—,可知xln(1■—]<1成立，

当xe(Yo,-l)时由+可知xln[l+：)<l不成立，

所以使得[+£[<e成立的x的取值范围是（0,+“），

综上可得不等式[1+_L]<e<[1+rp的解集为（0,+8）.

【点睛】关键点点睛：第三问，首先确定x>0或x<-l,分别求e<]l+J2、<e

对应解集，进一步转化为求卜+，ln[l+£|>l、xln[l+£|<：l的解集，构造中间函数研究

不等式成立的X取值.

13.（23-24高三下•甘肃•阶段练习）曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲

KW

线的弯曲程度越大.曲线在点M处的曲率J（其中V表示函数y=/（x）在点M

（2）2

处的导数，y"表示导函数/（X）在点M处的导数）.在曲线y=/（x）上点〃处的法线（过

该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点。使

得|八仍|=q=0’则称以。为圆心，以。为半径的圆为曲线在M