2025年高考数学一轮复习讲义：函数与方程（原卷版）

专题13函数与方程（新高考专用）

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................2

【考点突破】................................................................3

【考点1】函数零点所在区间的判断............................................3

【考点2】函数零点个数的判定................................................4

【考点3】函数零点的应用....................................................5

【分层检测】................................................................7

【基础篇】..................................................................7

【能力篇】..................................................................9

【培优篇】.................................................................10

考试要求：

1.理解函数的零点与方程的解的联系.

2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.

3.了解用二分法求方程的近似解.

M知识梳理

1.函数的零点

(1)概念：对于一般函数y=/(x),我们把使色包的实数x叫做函数y=/(x)的零点.

(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:

聒工轴有公共点<有实数解

2.函数零点存在定理

(1)条件：①函数y=/(x)在区间3，勿上的图象是一条连续不断的曲线；②脑)•他)<0.

(2)结论：函数y=/(x)在区间伍，切内至少有一个零点，即存在cG(a,b),使得底)=0,这个

c也就是方程火x)=0的解.

|常用结论

1.若连续不断的函数Hx)在定义域上是单调函数，则1%)至多有一个零点.函数的零点不是一个

“点”，而是方程兀0=0的实根.

2.由函数y=/(x)(图象是连续不断的)在闭区间［a,加上有零点不一定能推出月㈤

卜卜、

汽.)次。)<0,如图所示，所以火。)负。)<0是y=/(x)在闭区间［a,上有零点的充O«i

分不必要条件.

3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.

：真题自测

一、单选题

COS(2»%-2%Q).x<a

1.(2021•天津•高考真题)设QER,函数/(%)=,若/(九)在区间(。,+8)内恰有

f—2(a+l)x++5,x>a

6个零点，则〃的取值范围是()

二、多选题

bc

2.(2023•全国•高考真题)若函数+1+既有极大值也有极小值，则().

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

三、填空题

2

3.（2023•全国•高考真题）已知函数〃x）=cosox-1（。>0）在区间［0,2可有且仅有3个零点，则。的取值范

围是•

4.（2023•天津•高考真题）设aeR,函数〃尤）=尔-2%-卜2一G+/若“力恰有两个零点，则〃的取值范围

为.

5.（2022・北京・高考真题）若函数/（x）=Asinx-6cosx的一个零点为g,则A=；-

6.（2022•天津•高考真题）设aeR,对任意实数x,记〃x）=min{|x|-2,x2-依+3。-5}.若〃尤）至少有3

个零点，则实数。的取值范围为.

E考点突破

【考点1】函数零点所在区间的判断

一、单选题

1.（2024・贵州贵阳•模拟预测）设方程3"1。83万|=1的两根为毛，马（不<9），则（）

1

A.0<^<1,X2>3B.%>一

X2

C.0<XjX2<1D.演+%2>4

2.（2023咛夏银川・三模）函数〃力=1。82%+炉+机在区间（2,4）上存在零点，则实数加的取值范围是（）

A.(-oo,-18)B.(5,+oo)

C.（5,18）D.（-18,-5）

二、多选题

3.（2022・广东广州•三模）已知函数/（x）=cos2x+acosx（aeR）,贝！|（）

A.当a=-2时，函数/（x）在乃］上单调递增

B.函数〃x）的图象关于直线尤=万对称

C.函数的最小正周期为万

D.若函数〃x）在］。，3上存在零点，则。的取值范围是（-L+8）

4.（2023•安徽马鞍山•三模）已知函数/（幻=（/+耳注+1U的零点为%,下列判断正确的是（）

11

A.B,xo>-

C.+lnx0<0D.x0+Inx0<0

三、填空题

3

I—JQ—］YV0

5.(2021•四川成都三模)已知函数/(无)=2'J一八，若〃石)=/(动，且玉工马，则上-司的最

I—x+2羽x>U

大值为.

6.(2023•浙江绍兴二模)已知函数/(x)=lnx+依2+6，若外力在区间［2,3］上有零点，则成的最大值

为.

反思提升：

确定函数五x)的零点所在区间的常用方法：

(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=/(x)在区间［用句上的图象是否连续，再看是否有

汽a)次。)<0.若有，则函数y=/(x)在区间伍，力内必有零点.

(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，

如7(x)=g(x)—/i(x),作出y=g(x)和y=/z(x)的图象，其交点的横坐标即为函数I/(x)的零点.

【考点2】函数零点个数的判定

一、单选题

修户加

1.(2024•山东潍坊二模)已知函数〃x)=则〃尤)图象上关于原点对称的点有()

-|x2+2x|,x<0,

A.1对B.2对C.3对D.4对

2.(2024・陕西安康•模拟预测)将函数/(X)=sinx的图象向左平移看个单位长度，再将所得函数图象上所有

2

点的横坐标变为原来的为>。)倍,X+2x,x<0

纵坐标不变,得到函数g(x)的图象，若函数0(尤)=<g(x),尤>0在

(-8,3可上有5个零点，则。的取值范围是()

「1723)(Y123］「H17)(1117-

A•［百制B.［百句C.［口,制D.血，以

二、多选题

3.(2024•江苏扬州•模拟预测)设函数/(工)=小皿30)53-3(：0528皿>0,则下列结论正确的是()

JTJT

A.Voe(0,l)J(x)在上单调递增

B.若0=1且|〃占)-〃彳2)|=2,则忱―x21mhi=兀

C.若|〃到=1在［0,兀］上有且仅有2个不同的解，则。的取值范围为|,|^|

D.存在。e(O,l),使得f(x)的图象向左平移g个单位长度后得到的函数为奇函数

O

4.(2024・全国•模拟预测)已知函数"x)=sin|x|+cosk|,则下列结论正确的是()

4

A.〃x）是偶函数B.””的最大值为收

C./'（“在\,予］上单调递增D.在［T4］上有2个零点

三、填空题

5.（2024•青海西宁•二模）记方⑺是不小于尤的最小整数，例如加.2）=2/（2）=2,方（-1.3）=-1,则函数

“X)=r⑺-x-2T+1的零点个数为.

O

，若方程/（x）+肃石=。有三个不相等的实数解，则实

6.（2024•山东济南•二模）已知函数〃力=尤

数a的取值范围为.

反思提升：

函数零点个数的判定有下列几种方法

⑴直接求零点：令人x）=0,如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.

（2）零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在［凡加上是连续不断的曲线，且五0次。）＜0,还

必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点.

（3）画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个

不同的零点.

【考点3】函数零点的应用

一、单选题

1.（2024•浙江丽水・二模）已知正实数玉,工2，%满足x；+2X|+l=w2*',龙；+3%+1=马3*，考+4鼻+1=三平，

则占，尤2,无3的大小关系是（）

A.x3<x2<B.x1<x2<x3

C.苔<%3<九2D.

2.(2024•福建泉州•模拟预测)已知函数-金g(x)满足g(l+3x)+g(3-3x)=0,

G(x)=/(尤-2)-g(x),若G(x)恰有2"+l(〃eN*)个零点，则这2力+1个零点之和为()

A.2nB.2〃+1C.4〃D.4〃+2

二、多选题

3.(2024•广东佛山•二模)已知函数〃x)=sinx+cos2%与g(x)=sin2x+cosx,记/z(x)=4f(%)+〃g(x),

其中X,且外+〃2。0.下列说法正确的是（）

A.//（x）一定为周期函数

B.若外〃＞。，则“⑺在（0。上总有零点

5

C.力（无）可能为偶函数

D.刈力在区间（0,2元）上的图象过3个定点

4.（2023•山东荷泽•二模）已知毛，巧分别是函数/（x）=e'T和g（x）=hw—的零点，则（）

X|

A.0VxiB.irvc{+lnx2=0C.elnx2=1

135

D.—<玉+x?v—

62

三、填空题

5.（2024・全国•模拟预测）已知函数〃尤）=（尤2-or+a）ln（x+l）,aeR的图像经过四个象限，则实数”的取

值范围是.

卜+机<0,

6.（2024•北京丰台•二模）设函数=<42mr->给出下列四个结论:

①当根=0时，函数/'（X）在（y,心）上单调递减;

②若函数/'（X）有且仅有两个零点，则〃2>0;

③当加<0时，若存在实数a,b,使得则,-4的取值范围为（2,+8）；

④已知点P（-m,0）,函数〃x）的图象上存在两点0（4乂）◎（%，%）&<々<°），Q，2关于坐标原点。的

对称点也在函数/（x）的图象上.若|尸0+|尸。』=半，则%=L

其中所有正确结论的序号是.

反思提升：

（1）已知函数的零点求参数，主栗方法有：①直接求方程的根，构建方程（不等式）求参数；②数

形结合；③分离参数，转化为求函数的最值.

（2）已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问

题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.

（3）函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图象

间的关系解决问题，提升直观想象核心素养.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•江苏一模）函数“SinpY］在区间（0,2兀）内的零点个数为（）

6

A.2B.3C.4D.5

2.（2023仞川绵阳模拟预测）记函数〃力=85（3+m（0>0,0<0<兀）的最小正周期为T,若于夏）=与,

尤=方为的零点，则。的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2024•广东湛江•二模）已知函数〃尤）=|2"一11匹g（x）=r-4|x|+2-o,则（）

A.当g（x）有2个零点时，“X）只有1个零点

B.当g（x）有3个零点时，有2个零点

C.当“X）有2个零点时，g（x）有2个零点

D.当〃尤）有2个零点时，g（x）有4个零点

4.（2024广东梅州•二模）三个函数〃0=彳3+x-3,g（x）=lnx+x-3,力（x）=e*+x-3的零点分别为a,b,c,

则a,6,c之间的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

二、多选题

5.（23-24高一上•云南玉溪•期末）已知函数"x）=sinxx-lg的所有零点从小到大依次记为%,马,，%，

则（）

A.n=20B.〃=18

C.再+/++%〃=1°D.玉+々+…+无〃=9

6.（2021•全国•模拟预测）已知奇函数"X）的定义域为R,且在（0,+8）上单调递减，若=-2）=1,

则下列命题中正确的是（）

A./⑺有两个零点B.

C./（-3）<1D.

7.（2022•重庆九龙坡•模拟预测）下列选项中说法正确的是（）

A.若幕函数过点■，曰］,则加+&=：

B.用二分法求方程3、+3x-8=0在x«l,2）内的近似解的过程中得到/（1.5）>0,/（1.25）<0,

7

则方程的根落在区间(1.25,1.5)±

C.某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩&近似服从正态分布N(95,〃)，且P(91<JW95)=0.3,

若该校1800学生参加此次检测，估计该校此次检测成绩不低于99分的学生人数为360

D.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25种

三、填空题

8.(22-23高一下,河北石家庄•开学考试)已知函数〃x)=sinx+2x+用在区间回上有零点，则实数机的

取值范围是.

9.(2024•海南省直辖县级单位•模拟预测)已知函数〃x)=sin"+f在［-1,加］内恰有3个零点，则机的

取值范围是.

10.(2022,安徽合肥•模拟预测)已知关于x的方程M+依+8=0(a*eR)在区间［2,3］上有实根，那么

/+3-1)2的最小值为.

四、解答题

11.(2024,广东,一模)已知函数<(x)=----(xwO).

X

⑴求了(X)的单调区间.

(2)讨论方程/(无)=a的根的个数.

12.(2023•北京西城・二模)已知函数f(x)=sin(2x+0)+cos2x,其中［创<］.再从条件①、条件②、条件③

中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题.

⑴求夕的值；

(2)当时，若曲线y=/(x)与直线y=恰有一个公共点，求也的取值范围.

_OJ_

条件①：T；

条件②：-1是了。)的一个零点；

条件③：〃0)=巾.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【能力篇】

一、单选题

y<CQ

1.(2024•北京海淀•一模)己知〃x)=；一函数/(无)的零点个数为加，过点(。，2)与曲线y=/(x)

lg(x+l),x>0

相切的直线的条数为“，则〃”的值分别为()

8

A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2

二、多选题

2.（2023・安徽•模拟预测）已知为R上的奇函数，且在（0,+©）上单调递增，f（-l）=/（3）=2,则下列

命题中一定正确的是（）

A./（-2）＞-2B./（x）有3个零点

C./（2