2025届高考数学一轮复习模拟卷（新课标Ⅰ卷）

高考数学一轮复习收官模拟新课标I卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.若集合A={)，|y=炉},B={%|y=ln(x-l)},则)

A.［l,+oo)B.(O,1)C.(l,^o)D.(—8,1)

1.答案：C

解析：因为A={y|y=x3}=R,B={x\y=In(^-l)}=(l,+oo),所以4口5=(1,+(»).

2.［2023届•山西阳泉•模拟考试校考］若复数z满足(4+2i)z=(3-产,则|z|=()

A.lB.V2C.y/3D.75

2.答案：D

初上匚…(3-i)2(8-6i)(4-2i)32-16i-24i-12,〜印山,zz岳4r

解析：由z=^—-=---------------=---------------------=1-21,所以z=j5,故选D.

4+2i(4+2i)(4-2i)20

3.设向量。=(2,—1),向量8=(—3,1),向量c=(l,—2),则(a+2妙c=()

A.-2B.lC.-6D.-7

3.答案：C

解析：1),8=(—3,1),.•.a+28=(—4,1),又c=(l,—2),

.•.(a+2〃>c=-4—2=—6.故选C.

4.已知tan［号■--。］=一；，贝Usin2o=()

433

A.1B.——C.-D.--

5555

4.答案：A

(、、tan-----tana1

解析：因为tan产-a=—片-----=解得tane=2,所以

t4.5兀3

171+tan——tan。

4

.-2sinorcos6Z2tana4,小4

sin2a=--------------z—=-------丁=-.故选A.

cosa+sina1+tana5

5.[2023秋•高二•陕西安康•开学考试]已知某圆锥的侧面积为扇，该圆锥侧面

的展开图是弧长为2兀的扇形，则该圆锥的体积为（）

A.-B.—C.TID.2兀

33

5.答案：B

解析：设该圆锥的母线长为/,底面圆的半径为「，由已知条件可得卜"=0兀'解得

271r=2兀,

________

r；故圆锥的高/l=J/2—产=g=2,所以该圆锥的体积为

Z=V5.

—7ir2A=—71x1x2=—.故选B.

333

6.[2023春•高一•四川•期末校考]将函数/(x)=sin[ox+m](0〉O)的图象向左平

移叁个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称，则。的最小值是()

A.-B.-C.-D.-

6432

6.答案：C

解析：记曲线C对应的函数为g(x),贝>Jg(x)=sin[o,+,+m=sin0%+10+三]].

因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以=E+](左eZ),得。=2左+g(左eZ).

因为切>0,所以0mm=；.故选C.

7.已知函数〃x)=<；；：：：：>]若关于X的不等式/(公)</(依2+1)的解集为R,

则实数。的取值范围为()

A.(-2,-l)U(-l,4)B.(-1,2)U(2,4)C.[-l,2)D.[0,4)

7.答案：D

解析：当x<l时，/(x)=e*—e在(-oo,l)上单调递增且/(x)=eX—e<〃l)=0；

当尤21时，/(x)=ln(2x—1)在[1,y)上单调递增且f(x)=ln(2x-l)>/⑴=0,

所以/(x)在R上单调递增.

12

所以由/(ar)<f(ax+1),可得依v"+j,由题可知ax-ar+l>0的解集为R,

当a=0时，0・X2一().％+1>0恒成立，符合题意;

a>0,

当"0时，则有<

A=a2-4a<0,

解不等式组得Ova<4.

综上可得，当ae[0,4)时，♦—依+1>。的解集为R.故选D.

8.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,/(3x+l)为奇函数，g(x+2)为偶函数,

1102

/(x+l)+g(l—%)=2，/(0)=--,贝UZgGfc)=()

2k=\

A.-51B2C至D.蛆

222

8.答案：D

解析：因为/(3x+l)为奇函数，所以/(x+1)为奇函数，

所以/(x+1)=—/(—%+1),/(x)的图像关于点(1,0)中心对称，〃1)=0.

因为g(x+2)为偶函数，所以g(x+2)=g(-x+2),g(x)的图像关于直线x=2对称.

由/(x+l)+g(l_%)=2,得/(—x+l)+g(l+x)=2,贝lj_/(x+l)+g(l+x)=2,

所以g(x+l)+g(l—x)=4,g(x)+g(2—x)=4,所以g(x)的图像关于点(1,2)中心对称.

因为g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g(x)+g(2+x)=4,g(x+2)+g(x+4)=4,

所以g(x+4)=g(x),所以g(x)是以4为周期的周期函数.

因为/⑴=0,/(0)=-1,所以g⑴=2,g(2)=|,g(3)=g⑴=2,

3102(c3)5409

g(4)=g(0)=4-g(2)),所以£g(A)=25x2+7+2+力+2+7=丁.故选D.

2k=i122/22

二、多项选择题

9.[2025届•江苏南通•模拟考试联考]李明每天7:00从家里出发去学校，有时坐公

交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析

得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方

差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时y都服从正态分布，则()

A.P(X>32)>P(Y>32)

B.P(X<36)=P(r<36)

C.李明计划7:34前到校，应选择坐公交车

D.李明计划7:40前到校，应选择骑自行车

9.答案：BCD

解析：由题意可得X~N(30,62),r~A^(34,22),故尸(V>32)>0.5>尸(X>32),故

A错误；尸(X<36)=尸(X<〃+cr),尸(F<36)=尸(F<〃+CT),所以

P(X<36)=P(Y<36),故B正确；P(X<34)>0.5=P(y<34),所以

P(X<34)>P(Y<34),故C正确;P(XW40)<P(X<42)=P(X<〃+2b),

P(y<40)=P(y<//+3cr),所以P(XV40)<P(yV40),故D正确.故选BCD.

10.已知函数/(x)=x3—x+1,则()

A"(x)有两个极值点B"(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2%是曲线y=/(x)的切线

10.答案：AC

解析：因为/(%)=二—x+1,所以尸(x)=3f—1,4r(x)=3x2-l=0,得x=±g.由

/,(x)=3x2-l>0,得工〉¥或彳<—理；由/。)=3必—1<0,得一〈等.所以

/(X)=x3_x+i在［£,+：),j——£上单调递增，在卜等于上单调递减，所

AT〉。，

以/(X)有两个极值点，故A正确.因为了

/(-2)=(-2)3-(-2)+1=-5<0,所以函数/(x)在R上有且只有一个零点，故B错误.

因为函数g(x)=x3-x的图象向上平移一个单位长度得函数/(%)=/一x+i的图象，函

数g(x)=3—X的图象关于原点(0,0)中心对称,所以点(0,1)是曲线/(x)=V—X+1的

对称中心，故C正确.假设直线y=2x是曲线y=/(x)的切线，切点为(%,%)，则

f

/(x0)=3x；-l=2,解得/=±1.若/=1，则切点坐标为(LD，但点(LD不在直线

y=2x上，若/=-1,则切点坐标为(-1,1),但点(-1,1)不在直线y=2x上，所以假设

不成立，故D错误.

11.已知抛物线f=4〉的焦点为RA,5是抛物线上两动点，M是线段A3的中点，

P(2,3)是平面内一定点，则下列说法正确的是()

A.抛物线的准线方程为y=-l

B.^AF+BF=8,则M到x轴的距离为3

c.若/=2而，则AB=3

D.AP+AF的最小值为4

11.答案：ABD

解析：由题意知抛物线的准线方程为y=-l,A正确；抛物线的焦点为尸（0,1）,设

4（%,%）,B（x2,y2）,贝IJM1七三，%&）由抛物线的定义知

AF+BF=yx+\+y2+\=3,所以％+%=6,所以M到x轴的距离为*产=3,B

正确；/=（一石,1一凶），豆=（%,%-1），由衣=2而，得1—%=2（%T），即

%+2%=3,又|通|=2|而所以％+1=2（%+1），即%-2%=1，解得必=2,

%=],所以钻=4尸+3/=乂+1+%+1='|，C不正确；记抛物线的准线为直线/,

过点P作PP垂直直线/于点P,交抛物线于点。，过A作A4,垂直直线/于点4,连

接P4,如图.AP+AF=AP+A4PP4，\PP,当且仅当点A与。重合时取等号，所

以（AP+AP）1mli=尸产'=4,D正确.

三、填空题

22

12.已知耳，居分别为双曲线=—[=1（a>0,b>0）的左、右焦点，P为双曲线

ab

PF2

左支上的任意一点，若&的最小值为8a,则双曲线的离心率的取值范围是

PR

12.答案：（1,3]

解析：由题知P8-尸片=2口，则

P瑙（「耳+2a『当且仅当尸耳=%，即

+4〃=8。，

-PFrPF1

PK=2a时取等号.又点P是双曲线左支上任意一点，所以P£2c-a,^2a>c-a,

所以l<eW3.

13.已知曲线/(x)=e2-21+奴-1存在两条斜率为3的切线，则实数。的取值范围

为.

13.答案：

解析：/,(x)=2e2x-2ex+a,依题意知/'⑴=3有两个不同的实数解，即

2e2"-2e*+a=3有两个不同的实数解，即a=-Ze?*+21+3有两个不同的实数解.令

"1,则/>0,所以。=-2产+2f+3a>0)有两个不同的实数解，所以y=a与

9⑺=—2/+2/+3«〉0)的图象有两个交点.研/)=—2/+2/+3=—2)—+1,因为

7

t>0，所以。⑺max=。Ig,又°(0)=3,故3<。<(故实数a的取值范围是

14.九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9

九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和(这个和叫做幻和)都等

于15,即现代数学中的三阶幻方，已知幻和等于15的九宫格共有8种.根据洛书记

载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位

置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九

宫格数据，记事件A="a+c28"，则P(A)的值为.

解析：由题意九宫格的中间位置填5；a,f,c,力位置填偶数2,4,6,8；b,d,g,

e位置填奇数1,3,7,9.因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都

等于15,所以先从2,4,6,8中任意选出一个数填入。位置，则有4个结果，

②若。填2,

则〃填8,c填6,/填4,8填7,e填1,g填3,d填9；

或力填8,c填4,/填6,人填9,e填3,g填1,d填7.

②若a填4,

则〃填6,c填2,/填8,6填9,e填7,g填1,d填3；

或/?填6,c填8,/填2,6填3,e填1,g填7,d填9.

③若a填6,

则h填4,c填2,/填8,b填7,e填9,g填3,d填1；

或力填4,c填8、/填2,人填1,e填3,g填9,d填7.

④若。填8,

则〃填2,c填6,/填4,6填1,e填7,g填9,d填3；

或力填2,c填4,/填6,6填3,e填9,g填7,d填1.

所以总的结果数共8个,其中(a,c)符合a+c28的情况有(2,6),(4,8),(6,2),

(6,8),(8,6),(8,4),共6个，所以P(A)=9=』.

84

四、解答题

15.［2024春•高二•河南驻马店•月考校考］在△A5C中，角A,B,C所对的边分

别为a,b,c,△他€：的外接圆半径为凡且cosB=|,a-42b=2RcosA.

(1)求sinA的值；

iio

(2)若△ABC的面积为一，求△ABC的周长.

25

15.答案：(1)述

10

⑵26后+20

5

解析：(1)由〃一行/?二2HcosA,

结合正弦定理一匕=—竺=27?,

sinAsinB

得sinA-V2sinB=cosA,

化简得sin「A—巴］=sin5,

故A/=3.

4

34

又cosB=—,所以sin5=—,

55

因止匕sinA=sinfB+二］=.

I4j10

(2)由(1)知sinA=7夜,cosA=cosfjB+—>1=-^-,

104J10

i7B

贝！JsinC=sin(jB+A)=sinBcosA+sinAcosB=,

由正弦定理得a:b:c=sinA:sin3:sinC=35夜:40:17^/2,

令〃=35岳(左>0),贝1」力=4。左，c=17岳，

则SMBC=La〃sinC=Lx35®x4(R><^^=上，解得左=工，

△"Be22502510

因此△极的周长为35&+40+17后=26应+2。.

105

22

16.已知椭圆二+二=1(。〉6〉0)的长轴长为4,右焦点到直线x=4的距离为3.

ab

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线y=x-g与椭圆交于M,N两点，椭圆上存在点P,使得

OP=2(W+W)(2>0),求实数2的值.

22

16.答案：(1)二十匕=1

43

⑵叵

6

2a=4,

解析：(1)由题意可得4-c=3,

a2=/?2+c2,

〃二2,

解得<b-A/3,

c=l,

22

所以椭圆的方程为土+乙=1.

43

(2)设/(%,%),N(X2，，2)，

y=x-6,

由＜丫22得7犬2—8^/§X=0,

—+^=1,

143

可得%=0,%=还，

所以“(0,-百)，\

I77J

所以赤=〃两+而)"疲，一鸣，

I77J

所以点尸1孚4—9/.

Jr广

-----Z--------A

77

因为点P在椭圆上，所以--------1---------------=],

43

整理可得12万=7,解得2=变，

6

所以实数2的值为变.

6

17.如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且。B=AB=QM=1,PB=2MD,

OWL平面A3CD,PB//DM,点N为PC上的动点.

(1)求证：存在点N,使得AM//BN.

(2)求二面角A-MP-C的正弦值.

17.答案：(1)证明见解析

⑵妪

5

解析：(1)证明：因为四边形A3CD是菱形，所以AD//BC,

又A。仁平面P3C,BCu平面P3C,所以AD〃平面P3C.

又PBHDM,DM仁平面PBC,PBu平面P3C,所以OM7/平面P3C.

又AC>n0M=。，AD,DMu平面ADM,

所以平面ADM〃平面PBC.

又AMu平面AMD,所以40〃平面P3C,

所以平面MABN与PC必有交点，且该交点为N,使40〃BN.

(2)以。为原点，DC,DM所在直线分别为y,z轴，过点。在平面ABCD内作垂直

于DC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为四边形A3CD是菱形，DB=AB,所以NZXB=60。,

又AB=DM=1,PB=2,PBL平面ABCD,

乌」,o[，A/(O,O,1),

所以C(0』,0),Bp

[22J?3・

设平面AMP的法向量为/w=(x,y,z).

m•AM=0,

则有《

m-MP=0,

(J61

(羽y,z>—,1=o,

I22J

(J—i〔Ln

(x,y,z)-,1=0,

取z=—1,则m=(0,2,—l).

设平面MPC的法向量为n-(a,b,c),

MP=Q,

则有《

n-MC=O,

(/a,,b,1c)・,1=0,

I22J取a=-5则

(见仇c)・(0,L—1)=0,

-73x0+1x2-1x11

贝1Jcos(m,n)=-----

\m\\n\A/5x^/55

所以二面角A-MP-C的正弦值为

18.已知函数/(%)=kx+lnx-^k(kGR).

(1)求函数/(x)的单调区间和最大值；

(2)设函数g(%)=/(尤)-丘+工有两个零点再，x2,证明：xi+x2>2.

%一一

18.答案：(1)当上20时，的单调递增区间为(0,+oo),无单调递减区间和最大

值；当左<0时，/(X)的单调递增区间为]0,-g],单调递减区间为,

小、=小力一％一1

(2)证明见解析

解析：(1)函数/(x)=g:+lnx-』左(左eR)的定义域是(0,+co),f'(x)=k+—.

4x

当左20时，/'(x)>0恒成立，

故/(x)的单调递增区间为(0,+oo),无单调递减区间和最大值；

当左<0时，令/'(x)>0,得0<x<—!；令/'(x)<0,得x〉一工,

kk

所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为+00

(2)证明：g(x)=f(x)-kx+—=—+]nx--k,

xx4

因为王，马为<?(X)的两个零点，所以g(%)=g(%2)=。，不妨设石<九2・

因为g，(x)=W，所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(L+O))上单调递增,

所以0<%1<1<九2・

证明再+冗2>2等价于证明>2-占，

又因为2-玉>1,x2>1,g(x)在(1,田)上单调递增，

因此证明原不等式等价于证明g(Z)>g(2-%),即需证明g(%)>g(2-%),

即要证明」-+111再-—k>^111(2一再)一3左(0<玉<1),

%]42X]4

即L+lnX]——1——ln(2—石)>0(0<为<1)恒成立.

/1-Xx'

令/z(%)=—+Inx---------ln(2-x)(0<x<1),

x2-x

则丸'(%)=-±+!——^+―=^(1~^<0(等号不恒成立)，

x2x(2-x)22-xX2(2-X)2

所以/I(X)在(0,1)上单调递减，所以/?(x)2/z⑴=l+lnl-1-lnl=0,

又当0<%<1时，丸⑺取不到0,

所以/i(x)=L+lnx——1——ln(2—x)>0在xe(0,l)时恒成立，

x2-x

因此不等式^-+ln%i>bln(2-%i)-9%恒成立，即玉+%2>2成立.

%]42%]4

19.[2025届•福建宁德•模拟考试校考]约数，又称因数.它的定义如下:若整数。除以

整数机(机W0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称机为。的约

数.设正整数a共有左个正约数，即为%,%，…吗-1，以(4</<…〈以)，

(1)当左=4时，若正整数。的左个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；

(2)当归“时，若