2025年高考数学一轮复习讲义：对数与对数函数（原卷版）

专题11对数与对数函数（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................4

【考点1】对数的运算........................................................4

【考点2］对数函数的图象及应用..............................................6

【考点3］对数函数的性质及应用7

【分层检测】................................................................8

【基础篇】..................................................................9

【能力篇】.................................................................10

【培优篇】.................................................................11

考试要求：

1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.

2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解

对数函数的单调性与特殊点.

3.了解指数函数与对数函数丁=108胡伍>0,且aWl)互为反函数.

■知识梳理

L对数的概念

如果〃=川3>0,且aWl),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logW,其中a叫做对

数的底数，N叫做真数.

2.对数的性质、运算性质与换底公式

⑴对数的性质：①“窕a="；②logM=6(a>0,且。W1).

⑵对数的运算性质

如果a>0且aWl,M>0,N>0,那么

①lOga(JW)=logo"+lOgaN；

②logo讨=log。"-logaN；

③lOgaM"="lOgaM"GR).

(3)换底公式：logab=£”(a>0,且a#l,b>Q,c>Q,且cWl).

lOgc〃

3.对数函数及其性质

⑴概念：函数y=log«x(a>0,且aWl)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+°°).

(2)对数函数的图象与性质

a>\0<a<l

y

［：=1)=log/%=1

”,0),

图象

0a。)~o

'y=log/

定义域：(0,+8)

值域：R

当x=l时，y=0,即过定点(1,0)

性质

当x>l时,y>0；当x>\时,y<0；

当0<%<1时，y<0当0<x<l时，y>Q

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

4.反函数

2

指数函数y=tf（a>0,且。关1）与对数函数y=logax（a>0,且aWl）互为反函数，它们的图象关

于直线y=x对称.它们的定义域和值域正好互换.

|常用结论

1.换底公式的两个重要结论

（l）loga"=J—（。>0,且aWl；b>0,且8Wl）.

10g。。

m/!

（2）logoZ?=~logaZ?（<7>0,且aWl；b>0；m,nGR,且加#0）.

2.对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y=l,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.'j

故0<c<d<l<a<b.

由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

*真题自测

一、单选题

1.（2023・北京・高考真题）下列函数中，在区间（0,内）上单调递增的是（）

A.7■（尤）=-lnxB.f（x）=g

C./（%）=--D./（x）=3k-11

2.(2022•全国•高考真题)已知9m=10,a=l(T-ll,b=8"-9,贝|()

A.a>Q>bB.a>b>GC.b>a>0D.b>Q>a

设Q=0.1e°」,Z7=",c=-ln0.9,则

3.（2022•全国•高考真题）()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

已知。=log52,b=log3,c=；,

4.（2022全国・高考真题）8则下列判断正确的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

5.（2021•全国•高考真题）设a=21nl.01,b=lnl.O2,C=A/L04-1.则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

6.（2021・全国•高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记

录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据工和小数记录表的数据V满足乙=5+lgV.已知某同学

视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（啊”1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

3

若2a=5〃=10,则工+：=()

7.（2021•天津・|Wj考真题）

ab

A.-1B.1g7C.1D.log710

设“（了=。°贝！匕，。的大小关系为（）

8.（2021・天津•|Wj考真题）=1.0.3]=1^0.4°.4

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

二、多选题

9.（2023•全国•高考真题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

c.P3=100p0D.P1WIOOP2

三、填空题

10.（2023•全国・高考真题）设ae（O,l）,若函数7'（%）="+（l+a），在（0,+“）上单调递增，则a的取值范围

是

11.（2023・北乐・高考真题）已知函数/(x)=4'+log2X,则/

1

12.（2022•全国・高考真题）若〃x)=lnCLH--+---6---是-奇函数，贝,b=

1-X

挛考点突破

【考点1】对数的运算

一、单选题

b=logi3

1.(2023•宁夏银川•三模)设a=ln7i,。=3一2,则（）

e

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>b>a

2.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规

4

定：100mL血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某

驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含

量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：

lg3»0.48,lg7®0.85）

、多选题

3.（2024•全国•模拟预测）已知实数a,6满足+log〃3=logsb+log。4,则下列关系式中可能正确的是

A.3a,Zje(0,+oo),使|。一切>1B.Ba,bG(0,+c6),使必=1

C.Va,Z?e(l,+co),有b<a<及D.Va,Z?e(0,l),有b<”加

4.（2024・贵州贵阳•一模）已知2，=3'=6,则实数乂丫满足（

A.(x-l)(y-l)=lB.x+y>4

c.-+->iD.Ay>4

%y

5.（2024•全国•模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，当x>0时，/（%）=2'\则

/（0）+/（-log43）=.

6.（2024•广东广州•模拟预测）"阿托秒”是一种时间的国际单位，"阿托秒”等于10-8秒，原子核内部作用过

程的持续时间可用"阿托秒”表示.《庄子•天下》中提到，“一尺之趣，日取其半，万世不竭"，如果把"一尺之

棱”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过天才能使剩下"棱”的长度小于光在2"阿托秒”内走过的

距离.（参考数据：光速为舞IO®米/秒，坨2。0.3,lg3ao.48）

反思提升：

1.在对数运算中，先利用幕的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幕的形式，使幕的底

数最简，然后用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对

数真数的积、商、幕再运算.

3.ab=N<^>b=logJV（a>0,且aWl）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互

化.

【考点2】对数函数的图象及应用

一、单选题

1.（2024・全国•模拟预测）函数〃尤）=xlnF的大致图象为（）

3+x

5

2.（2024•贵州黔东南•二模）若函数〃x）=log0（f-6+4）（a>0）的值域为R.则”a）的取值范围是（）

A.（-e,4]B,C.[4,+co）D.

二、多选题

3.（21-22高一上•河北张家口,期末）在同一直角坐标系中，函数y=。'与y=log“（尤-2）的图象可能是（）

4.（2022•湖南岳阳•一模）已知函数g（x）=log“（x+左）（a>0且"南的图象如下所示.函数

的图象上有两个不同的点则（）

6

A.a>l,k>2B.f（x）在火上是奇函数

C.在火上是单调递增函数D.当尤20时，2/（x）＜f（2x）

三、填空题

5.（2024•陕西西安•模拟预测）若直线27nx+“＞一4=0（加＞0,〃＞0）过函数y=log0（x-l）+2（a＞0,且q/l）

ri4

的定点T,则上+2的最小值为.

mn

rx2+4x+1x＜0

6.（2024•全国•模拟预测）已知函数/（尤）=；''一二则函数＞=/（/（尤））+1有_______个零点.

[log?x,x＞0,

反思提升：

1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最

高点、最低点等）排除不符合要求的选项.

2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

【考点3】对数函数的性质及应用

一、单选题

1.（2024•江苏扬州•模拟预测）设方程2，+x+3=0和方程1鸣》+》+3=0的根分别为。，4,设函数

/(x)=(x+p)(x+q),则()

A-/（2）=f（0）＜/（3）B./（0）=/（3）＞/（2）

C./（3）＜/（2）=/（0）D./（0）＜/（3）＜/（2）

2.（2021.宁夏银川.二模）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速

率C取决于信道带宽卬，经科学研究表明：C与W满足C=Wlog2（l+1），其中S是信道内信号的平均功

率，N是信道内部的高斯噪声功率，?为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不

N

改变带宽M而将信噪比U从I。。。提升至4000,则。大约增加了（）（附：坨2。0.3010）

N

A.10%B.20%C.30%D.40%

二、多选题

3.（20-21高三上•辽宁大连•期中）对于实数。，b,加下列真命题的为（）

什，八八r.,a+ma

A.若a＞b,则由B.右b>a>0,m>0,贝U------->—

b+mb

C.若a>b,则网D.若a>6>0,且|ln4=M4，贝!J〃+2〃的最小值为2&

2+x

4.（23-24高一上•黑龙江齐齐哈尔•期末）已知函数/（x）=logi—,则下列说法正确的是（)

A.函数/（X）值域为R

7

B.函数/■（%）是增函数

C.不等式〃3x—1）+/（3”<0的解集为

口。小盘M］全》…+{1］+”"1）+〃0）+〃1）+/出+~+7'。>0

三、填空题

5.（2023•甘肃平凉•模拟预测）已知事函数外幼=""的图象过点（四,2后），设。=〃Wl=/（n）,c="ln2）,

则。、仄c的大小用小于号连接为

6.（22-23高三上,湖北武汉,期末）对任意正实数。，记函数〃x）=|lgx|在［。,内）上的最小值为机“，函数

g（x）=sin—在［0,a］上的最大值为%,,若贝IJ。的所有可能值____.

反思提升：

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方

面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复

合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时栗注意数形结合、分类

讨论、转化与化归思想的应用.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•河南三门峡•模拟预测）研究表明，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的

关系为lgE=4.8+1.5M.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量

记为昂2024年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为石2,则比值目的整数部分

E2

为（）

A.4B.5C.6D.7

2.（2024・湖南•一模）已知a,beR,且a>0*>0,则必>1是lrwlnb>0的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024•甘肃武威•模拟预测）设a=0.8«",6=logo,50.8,c=logo,40.9,则凡6,c的大小关系是（）

A.b>c>aB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

f—］0x

4.（2024•四川成都•一模）函数y=lg尤的图象经过变换。：,'c后得到函数y'=〃x'）的图象，则〃x）=

［y=y+2

（）

A.-1+lgxB.1+lgxC.-3+lgxD.3+lgx

8

二、多选题

5.（2022•海南•模拟预测）下列函数最小值为2的是（）

221

A.y=x-2x+3B.y=x+—

x

C.>=/+（D.y=|lnx|+l

6.（2023・福建厦门•一模）已知实数。，b,。满足3=2嗔/，则下列关系式中可能成立的是（）

A.c>b>aB.a>c>bC.c>a>bD.a>b>c

7.（2024・河南•模拟预测）已知正数1>九则下列选项正确的是（）

2

A.log2（x+l）>log2（/+l）B.cosx>cosy

33+1+1

C.（x+1）>（j+l）D.e^>e^

三、填空题

8.（2022・上海,模拟预测）若函数〃尤）=。“（-尤2一6-1）（a>0且"1）有最大值，则。的取值范围

是.

9.（2023•江苏镇江•模拟预测）已知函数/（x）=e'+x-2的零点为。，函数g（x）=lnx+x-2的零点为6,则

e"+lnZ?=.

10.（2021•全国,模拟预测）已知函数〃尤）=/：一1°8式：+1）""0是奇函数，则g（_2）=________.

[g（x）,尤<0

四、解答题

11.（21-22高一上•四川资阳•期末）已知/（x）=log“（ar—2）（其中a>0且"1）.

（1）若a=2,/（x）<2,求实数x的取值范围；

（2）若xe[4,6],的最大值大于1,求。的取值范围.

12.（2023•四川成都•二模）已知函数/（尤）=log2（|x-l|+l尤一5|-。）

⑴当4=5时，求函数/（X）的定义域；

（2）当函数/（元）的值域为R时，求实数。的取值范围.

【能力篇】

一、单选题

1.（2024•陕西西安•模拟预测）设a,b,c都是正数，且4"=6〃=9。=，那么（）.

111111112112

A.—+—=—B.—+—=—C.—+—=—D.—+—

abcbcaabcacb

二、多选题

2.（2024•山西晋中•模拟预测）下列说法正确的是（）