2025年高考数学一轮复习：数列求和

2025年高考数学一轮复习练习题含答案解析

第4节数列求和

考试要求1.熟练掌握等差、等比数列的前〃项和公式.2.掌握非等差数列，非等

比数列求和的几种常见方法.

知识诊断•基础夯实

【知识梳理】

1.特殊数列的求和公式

⑴等差数列的前〃项和公式：

刀(ai+a”),n(«—1),

S=na\-j-^a.

n22—

(2)等比数列的前〃项和公式:

ncii，q=1,

S„='aq_ai(1—q")

n,a.

LqLg

2.数列求和的几种常用方法

(1)分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.

(2)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可以相互抵消，从而求得

其和.

(3)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这

个数列的前n项和可用错位相减法求解.

(4)倒序相加法

如果一个数列｛服｝中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,

那么求这个数列的前〃项和可用倒序相加法求解.

［常用结论］

l』+2+3+4+・T〃=—

2』2+22+...+T(〃+l)(2〃+1)

6

3.裂项求和常用的三种变形

111

(1)-

n(〃+1)n〃+1

11

(2)—dd

(2〃一1)(2〃+1)2

1

(3)

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)若数列｛斯｝为等比数列，且公比不等于1,则其前〃项和出=至二况.()

-q

(2)当〃三2时，T—〃+J.()

(3)求&=。+2展+3/H-----时，只要把上式等号两边同时乘以。即可根据错

位相减法求和.()

(4)若数列ai,及一ai,…，的一是首项为1,公比为3的等比数列，则数列｛念｝

的通项公式是。产三.()

答案⑴J(2)V(3)X(4)V

解析(3)要分。=0或。=1或aWO且aWl讨论求解.

2.数列｛念｝中，ch=/1、，则数列｛z｝的前2024项和&024=______.

n(TZ+I)

答案2024

2025

解析由题意得a=--、=―rr

nn(〃十1)nn+1

___1=2024

故&024H-----bC0242025)1

J2025-20251

n

3.已知an=2+n,则数列｛©,｝的前n项和Sn=.

答案2»+1-2+-«2+-«

22

7(1——1

解析5«=(2+22H-----F2/!)+(l+2H-----\-n)=----------------1/?(«+1)=2,,+1—2+

1—22

［层十］〃,

22

4.数列｛(〃+3>2厂1｝前20项的和为.

答案22220—2

解析&0=4-1+5-21+6-22H-----H23-219,2520=4-2+5-22+6-23H------F23-220,

,,?(1—219)

两式相减，得一&o=4+2+22+,,,+219—23-220=4H-------------------23,220=一

-1-2

22-220+2,

故5,20=22,220—2.

考点突破•题型剖析

考点一分组求和与并项求和

例1已知数列｛劣｝的通项公式为念=2〃+4,数列｛儿｝的首项为4=2.

(1)若｛儿｝是公差为3的等差数列，求证：包儿｝也是等差数列.

(2)若｛恁〃｝是公比为2的等比数列，求数列｛儿｝的前n项和.

(1)证明因为数列｛儿｝是首项为4=2,公差为3的等差数列，

所以儿=2+3(〃―1)=3〃一1,

=

所以abn2bn~^4=2(3n—1)+4=6〃+2,

所以abn+i—a6"=6(〃+l)+2—(6〃+2)=6,

所以数歹是以6为公差的等差数列.

(2)解因为｛。％｝是公比为2的等比数列，数列｛儿｝的首项为是=2,即=2〃+4,

所以a/，1=02=2X2+4=8,

所以a%=8X2〃-i=2"2.

又因为a”=2〃+4,所以%=2为+4,

所以2儿+4=2"+2,解得儿=2"+i—2,

所以4+62+63T——b6„=(21+1-2)+(22+1-2)+(23+1-2)4——H(2«+1-2)=22+

92一2〃+2

23H----F2"+i—2〃=-------------2n=2',+2—2n—4,

1-2

所以数列｛儿｝的前〃项和为2-2—2〃一4.

感悟提升1.分组转化法求和的常见类型主要有：分段型(如①.=

n,〃为奇数，②斯=2〃+3“”周期型〔如"尸‘in

2"，〃为偶数;

2.并项求和法：一个数列的前〃项和中，可两两或几个相结合求解，则称之为并

项求和.形如斯=(-1)%〃)类型，可采用两项合并求解.

训练1已知数列｛劣｝满足m+2a2+…+〃z=2〃，数列｛儿｝满足对任意正整数

机三2均有瓦”-i+b„,+bm+i=▲成立.

Clm

(1)求数列｛an｝的通项公式.

(2)求数列｛瓦｝的前99项和.

解(1)因为。1+2。2+…+〃Z=2”，

所以当时,〃1+2a2+…+(〃—1)呢—1=2(〃-1).

两式相减，得九=2,所以斯=-(〃三2).

n

又当〃=1时，01=2,也符合上式，所以a”=2.

n

(2)由(1)知[=%

因为对任意的正整数加三2,

均有狐_i+狐+狐+1=」-=?,

dm2

故数列｛瓦｝的前99项和61+62+63+64+65+66H-----P697+698+699=(61+62+63)

+(Z74+65+Z?6)+•一+(Z?97+Z?98+699)=’+'+H-----=~+-+***+^=

Q2asQ98222

33x1”].

2

考点二裂项相消法求和

例2设数列｛诙｝满足41+3a2H-----\-｛2n—1｝an—2n.

(1)求｛z｝的通项公式；

Qn

(2)求数列的前〃项和.

解(1)因为。1+3。2Hk(2〃-1)斯=2〃，①

故当〃22时，Qi+3a2+…+(2〃-3)呢—1=2(〃-1),②

7

①一②得(2〃一l)z=2,所以a=,

n2〃一1

又〃=1时，m=2适合上式，

2

从而｛斯｝的通项公式为a=----.

n2〃一1

Qn

(2)记l2〃+lj的前n项和为Sn,

由(1)知j-=-------------------------=一

2〃+1(2〃-1)(2〃+1)2n-12〃+1

则T+H+…+1--T-)=1-

2n-12〃+12«+12〃+1

感悟提升1.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如:

一西),」，、=Ji——L),裂项后可以产生连续相互抵消的项.

n<n+k)knn+k

2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数

第几项.

训练2设数列｛诙｝的前〃项和为为,且2&=3飙一1.

(1)求｛念｝的通项公式；

3"

⑵若b=,求｛儿｝的前〃项和

n(即+1)(。〃+1+1)

解(1)因为2S“=3a“一1,

所以2si=2m=3ai—1,即ai=l.

当〃>2时，2si=3..i—l,

==

则2S”-2Sn-\2an3an—3an-i,

整理得从=3,

则数列｛斯｝是以1为首项，3为公比的等比数列,

故a〃=lX3"—i=3"-1.

(2)由(1)得儿=(…—[Il3«+1

所以。=3X[[30+1-31+1]+5+132+1[+[s2+l33+1]+…+

2-

J"),

即一。113

3〃+J=3—2=33

43"+142-3«+2

考点三错位相减法求和

例3(12分)(2021•全国乙卷改编)设｛z｝是首项为1的等比数列，数歹!J｛儿｝满足儿

=y,已知m,3a2,9a3成等差数列.

(1)求｛斯｝和｛儿｝的通项公式；

(2)记Sn和Tn分别为｛斯｝和｛儿｝的前〃项和，求S„和Tn.

［思路分析］(1)设出数列｛念｝的公比，根据ai,3a2,9a3成等差数列列出方程求出

公比，可得bn；

(2)根据数列｛斯｝、｛儿｝通项公式的特征，利用等比数列的求和公式求利用错

位相减法求Tn.

［规范解答］解(1)设｛斯｝的公比为公则斯=/一L

因为Q1,3(22,9。3成等差数列，

所以6。2=。1+9。3,

所以|6aq=m+9al十①，(2分)

一应用方程的思想

即9q2~6q+1=0,解得夕=；，

故斯=,儿=七②,（4分）

一利用等比数列的通项公式

I—13。」〕③

⑵由⑴知&=--=<3d,（6分）

1—12

3

4=；+3+]+…+?，①

332333"

[+…口分）②

33233343"3"1

一①式乘以等比数列的公比

1卜口rn

①一②得1刀尸：+[+[+・-+；一号=^------一七=乩1—利一%③，（10

3332333"3"1,13n123n1

1---

3

分）

一作差转化为等比数列求和

整理得"③Q2分）

一整理求Tn

[满分规则]

❶得步骤分：

①处据条件列出方程组即可得2分，④处有错位相减求和的意识，即使后续计算

错误，也可得2分.

❷得关键分：

②处正确求出数列的通项公式是求出4的基础，此处出错，最多得2分.

❸得计算分：

③处都需要准确的计算，否则此步不得分，这也正是错位相减法的难点所在.

训练3已知等比数列｛念｝的前〃项和为S”且ai=2,S3=a3+6.

(1)求数列｛。〃｝的通项公式.

(2)设儿=log2Z,求数列｛为儿｝的前n项和T„.

解(1)设等比数列｛劣｝的公比为q.

由<71=2,63=03+6,

得ai(l+q+q2)=6+aiq2,

解得q=2,

n

所以an=2.

(2)由(1)可得bn=log2tZn=〃,

n

所以anbn=n-2,

77„=1X2+2X22+3X23H-----P〃X2”,

2T„=1X22+2X23H-----P(〃-1)2"+〃2计1,

7(1—

所以一T〃=2+22H-----F2"一"2"+1=-----------------n-2n+1=2n+l—2~n-2n+l,

1-2

所以4=(〃―1)2〃+1+2.

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

1.数列｛斯｝的通项公式是a“=(—1)"(2〃-1),则该数列的前100项之和为()

A.-200B.-100

C.200D.100

答案D

解析5ioo=(-l+3)+(-5+7)H-----F(-197+199)=2X50=100.

2.(2023•安徽名校联考)数列｛端的前n项和S„=2n+2,数列｛log2z｝的前〃项和为

T”则为0=()

A.190B.192

C.180D.182

答案B

解析Sn=2n+2,有1=2厂1+2（〃三2）,

当〃三2时，a"=S“一S/i=2〃+2—（2厂］+2）=2厂I

当〃=1时，ai=Si=2i+2=4,不满足上式,

4,〃=1,

所以a—

n2厂I2.

2,n=l,

令儿=108202,则儿=

n-l,〃22,

所以T20=2+19X（1+19）-92.

2

3.(2023,东北三校联考)已知数列｛a.｝满足对任意的正整数〃，都有ai+a2HVan

—a〃+i=0,其中ai=3,则数列｛斯｝的前2024项和是()

A.3X22024-3B.3X22023+l

C.3X22023D,3X22023+2

答案C

解析法一由ai+a2H------an+i=0,①

得。1+。2+…+a”—i—a”=0(〃N2),②

①一②，得2a〃一a〃+i=0,

即a"+i=22).

又ai1-472=0,ai=3,所以。2=3,

又。1+。2—。3=0,所以43=6,

所以数列｛呢｝从第2项起构成以3为首项，以2为公比的等比数列，

所以数列｛为｝的前2024项和

।3（1—22。23）

§2024=3=3X22023.

’1-2

法二设数列｛斯｝的前n项和为S",

则由ai+a2+…+斯—a*+i=0,

得Sn—Cln+\=0,

所以s“一(S”+1—S")=0,则£+1=25,,

所以数列｛SJ是首项为5i=ai-3,公比为2的等比数列,

所以S=3X2"F,所以52024=3X22023.

4

4.（2023・金华质检）已知数列｛念｝的前〃项和S,满足a=/+〃，则数列的前

8项的和为（）

A§B.-

78

C.&D—

910

答案C

==

解析当〃三2时，anSn—Sn-i2n,

当〃=1时，41=2也符合上式,

.•.a“=2〃(〃GN*),

44111

anan+i2n(2〃+2)n(〃+1)n〃+1

4

数列\ana„+i］的前8项的和为

5.(2023•青岛调研)已知数列｛斯｝的前〃项和是&,且满足m=3,侬=8侬-1,aik

+1=；。2左，左©N*,则S2023=()

A/2023—1B,3X22023-3

C.3X41O12-9D.5X41011-2

答案C

1

解析•二。2左=8。2左一1,。24+1二Cl2k,

2

•・・。2左+1=4。2k_1・

又=3,

・•・数列｛4201｝是首项为3,公比为4的等比数列.

V02=801=24,竺^=些±1必±1=4,

aikaik+\a2k

数列｛zR是首项为24,公比为4的等比数列.

§2023=(a1+。3+…+。2023)+(。2+44+…+。2022)

3(l—4i°i2)24(1—4°u)

=3X41012—9

1-41-4

6.(2023・广州质检)在进行1+2+3+…+100的求和运算时，德国大数学家高斯提

出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而

生成，因止匕此方法也称为高斯算法.已知数列｛呢｝满足筋消050s,机©N*),

则。1+。2+…+。m+2024=()

A.-+506B.-+506

24

C.m+506D.2m+506

答案B

解析记5=。1+。2+…+。川+2024,

口I1,2||m+2023.m+2024

贝1s=——+——-\-----1——-1-一—.

2m+40502m+40502m+40502m+4050

又s=加+2°24+加+2°23T___।21

2m+40502m+40502m+40502机+4050’

-rr-K—r/B加+2025、//Iccc八加+2024

两式相加可得25=-------------X(rn+2024)=------------,

则5=m+2024=m+5()6

44

7.已知数列｛念｝满足2z+i—a”=〃+2,ai=5,若｛念｝的前〃项和为S”则满足不

等式Sn>2023的最小整数n的值是()

A.60B.62

C.63D.65

答案C

解析由2a”+1—斯=〃+2,

得斯+i=I斯

22

/•Un+l-(〃+1)=3(斯一〃).

又QL1=4,

数歹乜的一〃｝是首项为4,公比为g的等比数列，

则即一〃=4X12j=23n,

•**««=«+23",

.*.S„=(l+2+3+-+«)+(22+2+2°+2-1+-+23^)=8-23^+^y-^.

5960

当时，出单调递增，562=1961-2-<2023,563=2024-2->2023,

故满足不等式Sn>2023的最小整数〃的值为63.

8.若人x)十;(I—x)=2,以=寅0)+月+1〃[+…+][)+八1),则数列｛念｝的通项

答案〃+1

角窣析an=/(0)+/0+/0H----h/fn]+八1),

.*.a„=y(i)++».

两式相加，得2斯=[/(0)+犬1)]+[£1+上力+…+LH+』J+卬)+川)],

••2a*2,(〃I1),••cin〃I1.

9.已知数列｛诙｝满足ai=l,且斯+1+斯=〃一1009(〃£N*),则其前2023项之和

&023=.

答案3034

解析&023=01+(。2+03)+(。4+。5)H-----1-(。2022+02023),

又-1009(〃©N*),且ai=l,

.*.52023=1+(2-1009)+(4-1009)H-----F(2022-1009)

=l+(2+4+6H-----F2022)-1009X1011

+2+2022

=1,2XI011-1009X1011=3034.

10.(2023,郑州质检)已知数歹!]｛念｝中，<7i=L。2=2,11an-an+\-an+2=an+an+i+an

+2,则。1+。2+。3+…+。2024=.

答案4047

解析因为。展07+i.a〃+2=Q〃+z+i+a〃+2,①

所以当〃三2时，有

Un—1'Cln'Cln+\—1+即+念+1,②)

①一②得(。"+2一。"—1)=0,

因为41=1,42=2,所以2a3=3+。3,

解得43=3,显然(2243^1,

于是有a篦+2—斯—1—09

于是当〃£N*时，

所以数列｛斯｝是以3为周期的周期数列.

因为。1+。2+。3=6,

所以。1+。2+。3+—+〃2024=674义6+。1+。2=4044+1+2=4047.

11.(2023・重庆名校联考)已知数列｛呢｝满足°3=；,an+i=^-.

62an+l

(i)求证：数列U是等差数列，并求数列｛斯｝的通项公式；

(2)若bn=anan+i,求数列｛儿｝的前n项和Tn.

(1)证明显然斯W0,对念+1=>^两边同时取倒数，

十1

12a+l

=n1卜2,

斯+1Clnan

即“=2

Qn

T

所以数列位是公差为2的等差数列.

又。3=1,所以-3)X2=2«,

6Cln。3

所以an=^-.

In

1卜口

1

⑵解

由已知得“I.」4n(〃+1)4

则数列｛儿｝的前〃项和

1

(4]+O+-+[«-«+1n

44〃+4

12.(2023,衡水调研)已知数列｛(/〃｝满足:ai+2a2+2?。3+…+2"1，念=16〃.

(1)求｛金｝的通项公式；

(2)令儿=log2a〃+2「i,求数列｛儿｝的前〃项和Sn.

解(1)当〃=1时，©=16,

由题可知，ai+2a2+22。3T----"2"-25_I+2"F•>”=16%,①

1+2a2+2243+…+2=

当〃巳2时，。2"an-i16(«—1),②

n

①一②得2「%”=16,：.an=2^,

<21=5n

当”=1时，16满足上式，an=2~.

5-n1

(2)d=log22+2厂=5—〃+2厂I

5„=(4+2°)+(3+21)+(2+22)H----F(5—〃+2厂】)=[4+3+2H------F(5-«)]+(2°

+2522+…+2G)=^^+2-L

【B级能力提升】

13.已知等差数列｛念｝中，俏+。5=芋+7,aio=19,贝!!数歹!J｛斯cos〃兀｝的前2024项

的和为()

A.1010B.1012

C.2023D.2024

答案D

解析设｛念｝的公差为d,

,,[2ai+6d=ai+3d+7,

则有，,

gi+9d=19,

,(71=1,

解得’a=2n—l,

d=2,n

bn=ClnCOS"71,

则bi+Z)2=aicos兀+a2cos2兀=2,63+64=031:053兀+a4cos4兀=2,........,

数列｛a.cos〃兀｝的前2024项的和为

2024

(Z)i+62)+(63+64)+…+(62023+62024)=2X—=2024.

14.(多选)(2023•长沙调研)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.

从第1行开始，第〃行从左至右的数字之和记为0”如41=1+1=2,42=1+2

+1=4,…，｛念｝的前〃项和记为S”依次去掉每一行中所有的1构成的新数列

2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…，记为｛儿｝,｛儿｝的前.项和记为5,则

下列说法正确的有()

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

A.5io=l022B.原S+J的前n项和为:------;

2斯+2—2

C.ZJ57=66D.T57=4150

答案BCD

解析对于A,从第1行开始，每一行的数依次对应(a+b)〃的二项式系数，

2(]—2")

斯=(1+1尸=2",，｛斯｝是以2为首项，2为公比的等比数列，S〃=1=

2«+1-2,.,.510=2"—2=2046W1022,故A错误；

对于B_________=1_1

''Sn-Sn+1(2"+1—2)-(2"+2—2)2〃+i—22k2—2’

2a„f1___1]f11"I

Sn-Sn+l的前〃项和为I22—223~2j+(23—224—2J+…+

L+1-22〃+2—2]=：———二，故B正确；

n+2

22-22a„+2~2

对于C,去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0,1,2,3,…，构

成一个等差数列，若项数之和“(〃+、W57,则〃的最大整数为10,杨辉三角

2

中取满了第11行，因为第12行首位为1,

所以为7取的是第12行中的第三项，则为7=02=66,故C正确；

对于D,5n=212-2,这11行中共去掉了22个1,

T57=SU-22+656+^57=4094-22+Cl2+C?2=4150,故D正确.

15.（2023•湖北重点中学模拟）已知数列｛斯｝的前〃项和为出,且2z—&=2,记数

_____________On_____________

列.（即+1）（即+1+1）.的前〃项