2025届高考数学复习压轴小题专项练习：数列综合问题（附答案）

2025届高考数学复习压轴小题专项（数列综合问题）好题练习

一、单选题

1.（2023・江苏•统考一模）已知数列｛g｝的前"项和为S",q=l,若对任意正整数"，S,“=-3a用+%+3,

S,,+%>（T）"a,则实数。的取值范围是（）

A.11,jB.卜,目C.,2,目D.（-2,3）

2.（2023秋・江苏南通•高三统考阶段练习）已知数列｛4｝满足%+2出+…+2"”"=〃-2",记数列｛为-例｝的

前〃项和为J,若"<小对任意的〃cN*恒成立，则实数（的取值范围是（）

~12111f12111「1110]（H10、

Lil10J111iojL109JUo9）

3.（2023•江苏•高三专题练习）已知数列｛%｝是各项为正数的等比数列，公比为外在%,出之间插入1个数，

使这3个数成等差数列，记公差为4,在。2通之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为《，…，

在%,之间插入〃个数，使这”+2个数成等差数列，公差为力，贝U（）

A.当0<«<1时，数列｛4,｝单调递减B.当4>1时，数列｛力｝单调递增

c.当4>《时，数列｛4｝单调递减D.当4<%时，数列｛",｝单调递增

4.（2023秋•江苏无锡•高三统考期末）已知一个等比数列的前〃项和、前2〃项和、前3〃项和分别为尸、。、尺,

则下列等式正确的是（）

A.P+Q=RB.Q2=PR

C.｛P+Q）-R=Q1D.尸2+Q2=P（Q+R）

5.（2023•江苏扬州•校考二模）已知S"是数列｛“”｝的前〃项和，且6=%=1，%=2a,i+3%_2（"23）,则

下列结论正确的是（）

A.数列｛%-%+J为等比数列B,数列｛。"+1+2%｝为等比数列

CS40=&J）D.J+「广

二、多选题

6.（2023•江苏南通•三模）1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,

怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉，准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子，然后将其

分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自

己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.

下列说法正确的是（）

A.若第”只猴子分得6“个桃子（不含吃的），则5,=4加-1（〃=2,3,4,5）

B.若第〃只猴子连吃带分共得到％个桃子，则｛a„｝（n=1,2,3,4,5）为等比数列

C.若最初有3121个桃子，则第5只猴子分得256个桃子（不含吃的）

D.若最初有左个桃子，则上+4必有5,的倍数

7.（2023•江苏•校联考模拟预测）佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列.随着项数越来越大，其后一项与

前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比.白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有

关系.记佩尔数列为｛%｝,且。i=0,a2=l,an+2=2an+1+an.则（）

A.旬,=985B.数列用-%｝是等比数列

c.="［（行+1）1_（_拒+1）"-1D.白银比为亚+1

8.（2022•江苏•高三专题练习）在□/“纥Q（“=1,2,3,…）中，内角4,4C,的对边分别为%也,C,,UAnBnCn

的面积为若。“=5,4=4,%=3,且加2=人；2c「,.JW：,则（）

A.口4AG一定是直角三角形B.｛s.｝为递增数列

c.｛s“｝有最大值D.也｝有最小值

9.（2023•江苏南通・江苏省如皋中学校考模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,

发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,21,....该数列的特点如下：前两个数均为1,从第三个数

起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列｛”,｝称为斐波那契数列，现将｛见｝中

的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为｛4｝,数列｛%｝的前n项和为£,数列｛£｝的前n

项和为北，下列说法正确的是（）

A.^2022=1348B.511000=fl1002—

C.若*=2022,则“=3033D.a；+④+a；H—+a；。。=a500a501

10.（2022秋•江苏南通•高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，羽“是圆o：/+/=/

上两个不同的动点，々是的中点，且满足西;.啊+2函2=o（〃eN*）.设％,N”到直线

/：6x+y+”2+〃=0的距离之和的最大值为巴,则下列说法中正确的是（）

A.向量加“与向量函"所成角为120。

D-若〃=黑，则数列7J]，-J的前〃项和为「‘

11.（2022秋•江苏泰州•高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）在数列｛4｝中，已知。是首项为1,

公差为1的等差数列，％。“，％。“+1--，/。（用）是公差为诡'的等差数歹!],其中〃€^4*,则下列说法正确的是（）

A.当d=l时，a2Q=20B.若%0=70,则d=2

C.若%+%+L+。20=320,则1=3D.当0<d<l时，a10（n+1）<

12.（2022秋•江苏盐城•高三盐城市第一中学校考阶段练习）已知数列｛4｝的前〃项和为5,

%=。，。,+1=ln（e""+2）-%,（〃eN*）,则下列选项正确的是（）

a„_]<eN*,

A.2a2nB.存在〃使得%=ln2

C.邑叱<22°22D.｛%,/是单调递增数列，｛%｝是单调递减数列

13.（2022秋•江苏南京•高三期末）对于伯努利数B，GeN）,有定义：稣=1,纥=£c㈤（九.2）.则（）

左=0

A.与=—B.a=

26430

C.D.%+3=0

14.（2022春・江苏苏州•高三江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知等比数列｛与｝首项q>1,公比为g,

前〃项和为S",前"项积为。,函数/（x）=x（x+%）（x+%）…（尤+。7），若/'（。）=1，则下列结论正确的是

（）

A.｛1g%｝为单调递增的等差数列

B.0<^<1

c.1s“一言，为单调递增的等比数列

D.使得雹>1成立的〃的最大值为6

15.(2023•江苏盐城•盐城中学一模)十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托

三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，

去掉中间的区间段&,|)记为第1次操作：再将剩下的两个区间0,；,1,1分别均分为三段，并各自

去掉中间的区间段，记为第2次操作：L；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均

分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若

第〃次操作去掉的区间长度记为。(〃)，则()

A.=1~B.ln[^(n)]+l<0

(p(n)2

C.9(")+9(3")>2。(2〃)D.n2(p(n)<64^(8)

16.(2023-江苏苏州•校联考三模)若数列｛aj满足：对任意的〃eN*(«23),总存在z.eN*,使

a,1=ai+aJ(i^j,i<n,j<n),则称｛。“｝是“月数列”.则下列数列是“尸数列”的有()

2

A.an=277B.an=n

17.(2023秋・江苏南京•高三南京市第十三中学校考期末)已知各项都是正数的数列｛%｝的前"项和为"，

a1

且邑=才+丁，则()

2

A.代｝是等差数列B.S„+Sn+2<2Sn+l

c1,

c.a〃+i>Q〃D.Sn~—>\nn

18.(2023•江苏南京•模拟预测)设〃N2,weN*.若qe｛0』。=1,2,…，则称序列(q,R,…,c.)是长度为

〃的0—1序列.若%=6+c?+…+c“，bn=+a2c2+-■■+ancn,贝l]()

A.长度为"的0—1序列共有2"个B.若数列｛%｝是等差数列，则"=/

C.若数列也,｝是等差数列，则%=0D.数列｛2｝可能是等比数列

19.（2023秋•江苏南通・高三统考期末）已知等差数列｛%｝中，当且仅当〃=7时，S,,仅得最大值.记数列

n

的前左项和为q,（）

A.若S6=\,则当且仅当上=13时，4取得最大值

B.若凡<s，则当且仅当先=14时，7；取得最大值

C.若英>》,则当且仅当左=15时，取得最大值

D.若立?eN*,S“=0,则当上=13或14时，7取得最大值

20.（2023春・江苏南通•高三海安高级中学校考阶段练习）已知｛为｝是等比数列，公比为心若存在无穷多

个不同的"，满足%+2=\4。用,则下列选项之中，可熊或文的有（）

A.q>。B.夕<0

C.H>1D.H<1

21.（2023•江苏扬州•统考模拟预测）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这

样的操作叫作该数列的一次“美好成长将数列1、2进行“美好成长”，第一次得到数列1、2、2；第二次

得到数列1、2、2、4、2；L；设第〃次“美好成长”后得到的数列为1、X］、X?、L、x无、2,并记

%=log2（lxX］XX2X…x/x2）,贝I］（）

A.电=5B.k=2"+\

C.«„+1=3«„-1D.数列［工］的前〃项和为:-与J

Vanan+\J25+1

22.（2022秋•江苏连云港•高三江苏省赣榆高级中学校考阶段练习）已知数列｛a„｝满足q=1,。角=甘=,

1+a”

记数列｛%｝的前〃项和为S“，贝I（）

A.｛版:｝是等差数列B.任意的〃eN*,an>an+l

439

C.----不</oo<---------D.3<Sloo<一

101210051x1011002

23.（2023春・江苏南京•高三南京市第一中学校考开学考试）已知数列｛4｝的前"项和为S,,且S.+a“=l对

于恒成立，若定义S「=S",S,⑻=久旷”（心2）,则以下说法正确的是（）

«=1

A.｛%｝是等差数列

D,存在”使得E,（血）=4为

"(1+1)!

三、填空题

24.（2022秋•江苏南通•高三统考期中）记S"为数列｛4｝的前"项和，已知对任意的〃eN*,q,+an+l=2n+l,

且存在此N*,&=52=210,则为的取值集合为（用列举法表示）

25.（2022秋・江苏扬州・高三扬州中学校考阶段练习）用g（"）表示自然数”的所有因数中较大的那个奇数,

例如9的因数有1,3,9,则g（9）=9；10的因数有1,2,5,10,则如10）=5,那么

g⑴+g（2）+g⑶+-+g（22018-l）=.

26.（2023春•江苏南通•高三校考开学考试）“0,1数列”是每一项均为。或1的数列，在通信技术中应用广

泛.设A是一个“0,1数列”，定义数列/（/）：数列A中每个0都变为“1,0,1”，A中每个1都变为“0,1,

0”,所得到的新数列.例如数列A：1,0,则数列〃⑷：0,1,0,1,0,1.已知数列4：1，0,1,0,1,

记数列4+1=/（4）,k=i,2,3,则数列4的所有项之和为.

四、双空题

27.（2022秋•江苏盐城•高三统考阶段练习）已知数列｛a“｝满足％=出=|,%+2=%+2x3"（〃eN*）,且

“=%,+*（"6*）.则数列也｝的通项公式为.若=则数列｛%｝的前〃项

28.（2023春・江苏扬州•高三扬州市新华中学校考开学考试）侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如

图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的

三等分点上.设外围第一个正方形4月的边长为1,往里第二个正方形为482c2。2,…，往里第”个正

方形为4462.那么第7个正方形的周长是,至少需要前个正方形的面积之和超过

2.（参考数据：lg2=0.301,lg3=0.477）.

4A2B、

29.（2023春・江苏南京•高三校联考期末）最早的数列从何而来，也许结绳记事便是人类最早跟数列打交道

的朴素方式，人类所认识并应用于生活、生产的第一个数列便是自然数列现有数列｛风｝满足：第一项是2°，

接下来的两项是2°，2J再接下来的三项是2°，2、于，依此类推，记A为数列｛%｝的前〃项和.则S45=,

当”>200时，若存在“7€N*）,使得s“=2”+l,则加+”的最小值为.

n=2k-1

30.（2023秋・江苏•高三统考期末）已知数列｛%｝、｛，｝满足〃=其中左eN*,{2}是公比

n=2k

a,,

为询等比数列，则£=——（用麻示）；若…=24,则夕——

参考答案

一、单选题

1.(2023•江苏•统考一模)已知数列｛%｝的前〃项和为S”，%=1,若对任意正整数"，Sn+1=-3a„+1+a„+3,

S“+%>(-l)"a,则实数。的取值范围是()

A.B.‘I,l")C.12,*|)D.(-2,3)

【答案】C

【详细分析】根据。“与S”的关系结合等比数列的概念可得进而可得q,=*,然后结合条

件可得y+。“=3-然后分类讨论即得.

【过程详解】因为S〃+I=-3%+%+3,%=1

,,3

当拉=1时，S2=-3a2+q+3,解得％=1，

当〃22时，Sn=-3an+an_x+3(/22),则an+i=-3an+l+4%-an_x,

2aa

即n+\~n=g(2%一。〃-1)，又2a2一%=；，

所以｛20m-%｝是首项为g,公比为g的等比数列，

所以则2"(川-2%=1,又2%=2，

所以｛2"%｝为首项为2,公差为1的等差数列，

n+1

则2〃%=〃+1,则氏=-^,

所以S〃+i+"〃+i=-2-^^+^^-+3=3-^,又S]+%=2=3一击，

则S.+。〃=3—3£N*),又S,+为〉(-1)”〃，

所以3-J>(T)〃〃，

当〃为奇数时，3->-a,而3-白■1,则2>-。，解得。>一2；

当〃为偶数时，3-击〉〃，而3-击之|,则。弓；

综上所述，实数a的取值范围为

故选：C

【名师点评】关键点名师点评：本题的关键是根据递推关系构造数列求数列的通项公式，然后通过讨论结

合数列不等式恒成立问题即得.

2.(2023秋•江苏南通•高三统考阶段练习)已知数列｛5｝满足%+2&+…+2"%"=〃-2”,记数列｛g-例｝的

前〃项和为S,，若$“《百。对任意的〃eN*恒成立，则实数f的取值范围是()

「12111f12111「1110](1110、

Lilioj111iojL109JU09)

【答案】A

【详细分析】利用退一作差法求得。“，求得S”的表达式，结合二次函数的性质求得f的取值范围.

【过程详解】由4+2?+…+2"T%=〃♦2",

当〃=1时，%=2,

1

当”22时，由％+2a2H----F2"'%,2"得%+2a2H-----F2"-an_}=(〃-1)•2",

两式相减并化简得a„=M+l(w>2),

也符合上式，所以％=〃+1,

令a=an-tn=n+\-tn=(\-t^n+\,

*「2=(17)("+1)+1-[(1-。"+1]=1一为常数,

所以数列也｝是等差数列，首项4=27,

f-r-.,.2-(+(1-7)”+1\-t23-t

所以Sc.=---------------------xn=-----n+-----

〃222

3T

对称轴为F3-t,

n=-------=---------

1-t2-2/

由于S“Wdo对任意的〃£N*恒成立，

所以2,解得?"老,

9.54-口〈10.51110

I2-2/

"12H-

所以才的取值范围是.

故选：A

｛S],n=l

【名师点评】与前〃项和有关的求通项的问题，可考虑利用“退一作差法”来进行求解，和%二°c

类似.求解等差数列前〃项和最值有关的问题，可结合二次函数的性质来进行求解.

3.（2023・江苏•高三专题练习）己知数列｛%｝是各项为正数的等比数列，公比为q,在可，电之间插入1个数，

使这3个数成等差数列，记公差为4,在生之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为

在角之间插入"个数，使这"+2个数成等差数列，公差为4,则（）

A.当0<q<l时，数列｛"“｝单调递减B.当“1时，数列｛"“｝单调递增

C.当《时，数列｛4｝单调递减D.当4时，数列｛"“｝单调递增

【答案】D

【详细分析】根据数列｛4,｝的定义，求出通项，由通项讨论数列的单调性.

【过程详解】数列｛%｝是各项为正数的等比数列，则公比为4>0,

由题意见+1=%+（«+1）4，得dn=巴旦二%=,

n+\n+1

0<"l时，…,有-^二与一<1,dn+l>dn9数列⑷单调递增，A选项错误；

ann+2

g>l时，4>0,餐=幽坐，若数歹|J｛Z｝单调递增，则幽土D>i,即,由〃eN*,需要

故B选项错误；

《时，%（"-1）>“闯（4-1）,解得i<<3,

~232

4>1时，力>0,由编=虱萼，若数列｛4｝单调递减，则迎力<1，即［<安=1+工，而1<?<|

不能满足<7<1+&（〃€?4*）恒成立，C选项错误；

时，%（,）<%"（,）,解得0<4<1或"|,由AB选项的解析可知，数列｛幺｝单调递增，D

选项正确.

故选：D

【名师点评】思路名师点评：此题的入手点在于求数列｛",｝的通项，根据《的定义求得通项，再讨论单调

性.

4.（2023秋・江苏无锡•高三统考期末）已知一个等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P、Q、R，

则下列等式正确的是（）

A.P+Q=RB.Q2=PR

C.(P+Q)-R=Q2D.P2+Q2=P(Q+R)

【答案】D

【详细分析】主要考察等比数列的性质，字母为主，对学生的抽象和逻辑思维能力要求比较高。

2n

a}(\-q

【过程详解】当gwi时，P=,Q=,R=

i-qi-ql-q

当q=1时，P=na、,Q=2nax,R=3〃/

Ina(2-q"-q2"-/〃

%(1一夕ax(1一0}ax

对于A,当#1时,P+Q=w―=R

l-qi-q

故A错,

对于B,当q=l时,Q2=4n2afc3n2a^=PR,故B错,

对于C,当q=l时,(P+Q)-R=+2"%-3"0]=0w4〃,；=Q2,故C错,

22

对于D,当4片1时,・""=矢口3+5小*3T-M+2),

P(0+R)=牛£2芦,/“)+"尸-2g"+2),

\-q1-q\-qQ-q)

当g=1时，P2+Q2="1；+4/a；=P(Q+R)

则尸2+。=尸(0+/),故选项D正确,

故选：D

5.(2023•江苏扬州•校考二模)已知S”是数列｛%｝的前"项和，且％=%=1,%=2al+3。“一2(/?>3),则

下列结论正确的是()

A.数列｛。“-。,向｝为等比数列B.数列｛。川+2%｝为等比数列

C.邑。=*2T3”一+(-1广

D-an

2

【答案】D

【详细分析】A选项，计算出q-&=0,故｛%-%+J不是等比数列，A错误;

774

B选项，计算出｛。角+2%｝的前三项，得到;中三，B错误;

C选项，由题干条件得到%+*=3（%+《_2），故｛4用+%｝为等比数列，得到%+%=2x3"T,故

*—1

。2+=2,%+。3=2X32,。40+。39=2x3”，相加即可求出邑0=--—,C错误;

最后求出〜勺匚

D选项，在%+1+%=2x31的基础上，分奇偶项，分别得到通项公式,

【过程详解】由题意得:牝=2%+3q=5,&=2g+32=10+3=13,

由于％-电=。，故数歹％讨｝不是等比数列，A错误；

贝。a2+2q=1+2=3,a3+2tz2=5+2=7,a4+2a3=13+10=23,

7

由于1W三，故数列｛。向+2。"｝不为等比数列，B错误；

“23时，=2%+3%_2，即。“+%=3（。“-1+%），

又4+%=1+1=2,

故｛%+1+。〃｝为等比数列，首项为2,公比为3,

故%+I+%=2X3〃T,

2

故。2+4=2,a4+a3=2x3,...,。40+。39=2x3,

1_&40o40_1

2438

以上20个式子相加得：S40=2X(1+3+3+---+3)=2X-——=----C---错误;

因为。“+1+%=2x3"-,所以氏+2+%+1=2x3",两式相减得:

%+2_%=2X3"_2X3"T=4x3".,

2A5

当"=2上时，出丘-。2*-2=4*3”T,a2t2-a2k_4=4x3-,........,%-%=4x3,

a[2左一i[2左一i1

以上式子相力口得：出上一W=4x（3+下+…+32k-3）=4x；\.

224-1_&&2左-1_1&2左-1_1

故电左=二万二+电=三二，而〃2=1也符和该式，故七二，

令2』得：a二士1丁+",

"22

aaa=4x321,

当〃=2k_1时,2k-l~2k-3=4x3，a2k-3~2k-5ax=4x3°,

以上式子相加得：&I-%=4x(3?J+32*-6+…+3。)=4x=*二!■,

故01=^———-而%=1也符号该式，故每1=^—--

Z/t11Z./V1

令2左-1=〃得：a“J'+；T)",

综上：0=3"-'+(-1)”',口正确.

"2

故选：D

【名师点评】当遇到4=〃")时，数列往往要分奇数项和偶数项，分别求出通项公式，最后再检验能

不能合并为一个，这类题目的处理思路可分别令〃=2k-1和〃=2左，用累加法进行求解.

二、多选题

6.(2023•江苏南通•三模)1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,

怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉，准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子，然后将其

分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自

己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.

下列说法正确的是()

A.若第n只猴子分得“个桃子(不含吃的)，则5b,=4%-1(〃=2,3,4,5)

B.若第〃只猴子连吃带分共得到a„个桃子，则｛g｝(〃=1,2,3,4,5)为等比数列

C.若最初有3121个桃子，则第5只猴子分得256个桃子(不含吃的)

D.若最初有左个桃子，则左+4必有5$的倍数

【答案】ABD

【详细分析】设最初有G个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为。2，。3-5，。6,则

14

C“=c„-1-l--(c„.1-l)=22),若第〃只猴子分得4个桃子(不含吃的)，则

6向=5。"-1),/>„=1(c„.1-l)(«>2),根据。“与关系即可判断A的正误;由A构造等比数列即可判断B的

正误;根据B求出数列｛"｝的通项公式，将G=3121代入求解即可判断C;根据题意，

%+%+生+4+。5+44=左,又｛g｝(〃=1,2,3,4,5)为等比数列,判断。的正误.

【过程详解】设最初有q个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为C2，，。4，。5，，则

14

C.=*-1-不(*T)=](*-1),(〃22),

若第n只猴子分得“个桃子(不含吃的)，则

%=]T)也T*T)("22),

所以%=》7)=如「=y("卬

即53=46,T-1(〃=2,3,4,5)，故A正确；

由A,5〃=4%-1("=2,3,4,5),

则5(4+1)=4(如+1),

即{4+1}(”=1,2,3,4,5)是等比数列，

若第n只猴子连吃带分共得到册个桃子，则a„=也,+1,

所以{%}(〃=1,2,3,4,5)是以g为公比的等比数歹！J,故B正确.

由B知,也+1}(〃=1,2,3,4,5)是等比数列，

所以3.($联

若最初有3121个桃子，即q=3121,

所以么=「2；+4＞图-1=255,故C错误；

木艮%+2+。3+。4+。5+4b5=4+2+。3+。4+。5+4(牝一］)=左,

因为{%}(〃=1,2,3,4,5)以I为公比的等比数列，

、41-©5-

所以％+。2+。3+。4+。5+43-1)=-----7+4a5-4=左，

一1--

4

化简得后+4=詈55,

因为％且％为正整数,

所以争EN*,

即4+4必有55的倍数，故D正确.

故选:ABD.

7.（2023•江苏•校联考模拟预测）佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列.随着项数越来越大，其后一项与

前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比.白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有

关系.记佩尔数列为｛4｝,且q=0,a2=l,an+1=2an+l+an.则（）

A.«10=985B.数列｛。用-q,｝是等比数列

,,-1

C.an=^[（V2+l）-（-V2+1）"-']D.白银比为亚+1

【答案】ACD

【详细分析】由递推公式得出生。，即可判断A；计算出-%,a3-a2,a4-a3,由等比数列的定义即可判

断B；设数列｛。,用+ZJ是公比为q是等比数列，求出q和左的值，得出％,即可判断C：由通项公式得出

—,化简后根据白银比的定义，求出白银比即可判断D.

%+i

【过程详解】对于A：因为。3=2,%=5,a5=12,a6=29,a7=70,as=169,a9=408,ai0=985,

故A正确;

对于B：因为o3-a2=1,a4-a3=3a3-a2,故B错误;

对于C：设数列｛。用+总｝是公比为9是等比数列，则%+2+总+1=9（%+1+做），

q—k=2

所以%+2=（9一后）%+i+2〃，所以

qk-1

k=-\+41k=-1-y/2

所以或«

q=1+V2q=1—V2

%=-1+叵

当时，+(—1+=1x(1+V2)/z1,

g=1+V2

k=—1—V2r—r—

*1

当「时，^+1+(-i-V2x=ix(i-V2r,

q=1-J2

n-1

解得an=^[(V2+l)-(-V2+1)"—],故C正确；

对于D：因为吐=(亚+1严-(-及+1严

(V2+iy-(-V2+iy,

«„+i

(V2+1)(|^y-(-V2+1)x(z1±ir

V2+1

V2+1

夜+1-(-拒+l)>(-3+2扬”

1-(-3+2物"

]_(_3+2行产

1-(-3+2扬"

因为-3+28e(-l,0),

所以当时，（-3+2后）"-0,—^V2+l,故D正确，

an+\

故选：ACD.

8.（2022•江苏•高三专题练习）在口4AG（〃=1,2,3,…）中，内角4,，纥,C”的对边分别为见也,4,0^5„C„

的面积为S,,若。“=5,4=4,q=3,且%：=a『；2c/，c向'。「丁’贝汁（）

A.口4纥G一定是直角三角形B.｛凡｝为递增数列

C.｛s“｝有最大值D.也｝有最小值

【答案】ABD

【解析】先结合已知条件得到%2+C--25=；（42+C“2-25）,进而得到6“2+的2=25=%2,得A正确，再利

用面积公式得到递推关系4S"/=T+S.2,通过作差法判定数列单调性和最值即可.

64

【过程详解】由加\匕叱，C「=色二丝:得，&：+的/=41等+空笠=3。「+（佃2+屋）

=^+3（a2+c〃2）,故+c〃+；-25=；也；+%2-25）,

又b；+C]2_25=0,."J+cJ—25=0,.•.勿2+的2=25=42,故口白纥Q一定是直角三角形,A正确;

%2+2C/Q/+2”2_44+2（1+°〃2）%2+物2婚

□4纥C,的面积为S“=：6,c“，而%方用2

4*4—16

a2222

n+2（b：+c：）an+4bncn_1875+16S„_1875„2

故4S2=%22

-'〃+101+10”+1=—f6—F+S'

故%—/=%+葭-/噌-笠，

"+i"644"644

又S-b“c”JJ+c:二竺（当且仅当6迪时等号成立）

n2nn44nn?

，S“+；-S"2=等-军20,又由4=4,6=3知£人“不是恒成立，即故S向＞S“，故｛s"｝为

644

递增数列，｛sj有最小值H=6,无最大值，故BD正确，C错误.

故选：ABD.

【名师点评】本题解题关键是利用递推关系得到25=gM+c“2-25）,进而得到bj+cj=25=%2,

再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.

9.（2023•江苏南通・江苏省如皋中学校考模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,

发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,21,….该数列的特点如下：前两个数均为1,从第三个数

起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列｛%｝称为斐波那契数列，现将｛%｝中

的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为｛"｝,数列包,｝的前n项和为S"，数列上｝的前"

项和为[，下列说法正确的是（）

A.品22=1348B.S]0O0=々002—1

C.若北=2022,则〃=3033D.〃；+a；+a；+…+吮='=501

【答案】ABD

【详细分析】根据斐波那契数列的特征得出数列也｝为1,1,0,1,1,0,L,再利用数列｛a｝的周期性

可得出选项A和C的正误，利用波那契数列的特征，可判断出选项B和D的正误.

【过程详解】根据斐波那契数列的特征可以看出，数列｛4｝为依次连续两个奇数和一个偶数，

所以数列也｝为1,1,0,1,1,0,L,则数列也｝为周期数列，且周期为3,

选项项A,因为％022=（1+1+0）x674=1348,故选项A正确;

选项B,因为S1000=%+。2+…+。999+々000=。3一。2+。4一+.••+。1001一1000+。1002一^1001=^1002一。2="1002一，

故选项B正确；

选项C,因为2022=（1+1+0）x1011,1011x3=3033,且既3i=l，既32=1，既33=。，

所以"=3033或"=3032,故选项C错误；

-

选项D,因a；+a；+a]+L+a；0g=%与+a；+-\------F<7500

/\2222

=〃2（Q]++,,•+。500=出生++','+。500

=…=a499a500+。500=。500。501，故选项D正确.

故选：ABD.

10.（2022秋•江苏南通•高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，"是圆O：/+/="2

上两个不同的动点，只是的中点，且满足。加jON“+2O7f=0（〃eN*）.设此,乂到直线

/：6工+>+"2+"=0的距离之和的最大值为°",则下列说法中正确的是（）

A.向量万万”与向量方▽”所成角为120。

B.砾卜〃

2

C.an=n+2n

D-若"=2，则数列｛（2J]-f｝的前"项和为1一,

【答案】ACD

【详细分析】对于A,用西;与西;表示函，结合给定向量等式计算判断；对于B,求出|可|的值即可

判断；对于C,

转化为点勺到直线/距离最大值并计算判断；对于D,求出数列｛»｝的通项，代入并利用裂项相消法计算判

断作答.

【过程详解】依题意，|西H西1=〃，而点只是弦的中点，则函=；（即+西），

2

OP„=-（OM„+2OMn-ONn+ONn）=-n+-OMn-ONn,^OMnONn+2OPn=0,

______1,-------——.OM-ON1_________

于是得。监•ON"=「"2,ces9M”,ON“>=；­=即〈。陷10M〉=120。，A正确；

2\OMn\-\ON,,|2

——►-----►1

显然口。此乂是顶角/%。乂=120。的等腰三角形，则L|=|OMJCOS600=5〃，B不正确;

依题意，点M到直线/：+y+"2+〃=0的距离之和等于点P„到直线/距离的2倍，

由知，点匕在以原点。为圆心，3"为半径的圆上，则点匕到直线/距离的最大值是点。到直线/

的距离加上半径;〃，

.\n2+n\n2+nM

而点。到直线/距离d=