2025年高考数学压轴题训练：函数概念与基本初等函数（新定义高观点选填压轴题含新定义解答题）（学生版+解析）

专题03函数概念与基本初等函数

(新定义，高观点，选填压轴题)

目录

一、函数及其表示.........................................1

二、函数的基本性质.......................................2

三、分段函数.............................................3

四、函数的图象...........................................4

五、二次函数.............................................5

六、指对幕函数...........................................6

七、函数与方程...........................................7

八、新定义、新文化题(选填题)...........................8

九、新定义题(解答题)..................................10

一、函数及其表示

1.(2024,安徽•二模)已知函数，"(x)(x4)满足〃孙)=〃x)+〃y)-1,当X>1时,

则()

A.尤)为奇函数B.若〃2x+l)>l,则—l<x<0

C.若/(2)=；,则/'(1024)=7D.若/[m=2,则(比)=1°

2.(2024•四川泸州•二模)已知"力，g(x)都是定义在R上的函数，对任意x,y满足

〃x-y)=〃x)g(y)-g(“(y),>/(-2)=/(1)^0,则下列说法正确的是()

2024

A.g(0)=0B.若〃1)=2024,则X〃w)=2024

C.函数”2x-l）的图象关于直线x=g对称D.g（l）+g（-l）=-l

3.（2024高三•全国•专题练习）设函数的定义域为R,满足了（x+2）=；〃x）,且当

xe（0,2］时，〃x）=x（x-2）,若对任意Xe|m,+oo）,都有〃则小的取值范围是

（）

A.［5,+ao）B.

「21）

C［，+8JD.

4.（23-24高三上,四川成都•期末）已知尸5,y）为函数>=产"+2/一曲图象上一动点，则

-y+y+3

J（x-1）2+（3+4）2的最大值为（）

e+5e+5

A—D——C.1D.V2（e+5）

•Ve2+8e+17*V2e2+16e+34

5.（23-24高三上•重庆・期末）已知函数/⑺满足/（x+y）=/（x）+/（y）-2,S⑴=4且

当％>0时，/（力>2,若存在X目1,2］,使得/（加-4*+〃2力=1,则。的取值范围是（）

£552J_2

B.C.D.

2588?32,3

二、函数的基本性质

X2

1.（2024•浙江丽水•二模）已知正实数石,工2，工3满足石2+2%+1=石2*,X1+3X2+1=X23,

%；十4%+1=，则工1，工2，工3的大小关系是（）

A.x3<x2<B.x1<x2<x3

C.%〈尤3〈尤2D.x2<xx<x3

2.（2024・安徽芜湖・二模）已知函数八力的定义域为R,且/（x+2）-2为奇函数，/（3x+l）

2024

为偶函数，"1）=0,则Z/伏）=（）

k=l

A.4036B.4040C.4044D.4048

3.（2024•福建漳州一模）已知可导函数/（x）的定义域为R,/］为奇函数，设g（x）

11()

是/(无)的导函数，若g(2x+l)为奇函数，且g(O)=一则£依(2左)=()

2k=i

13131111

A.—B.——C.—D.--

2222

4.(2024,湖南•二模)已知/'(x)=,+x—司,xe[a,a+2],/(x)01ax=g(m),若

W|g(m)Z13}=R,则实数。的取值范围是,

5.(2024•河北•模拟预测)已知团表示不超过x的最大整数，{%}=》-国，设“eN*,且

仁]+]卜仁}=1'贝"的最小值为；当1<〃<2024时，满足条件的所有〃值的和

S=.

三、分段函数

-xex+i,x<Q

1.(2024•全国•模拟预测)已知函数〃x)=<

Inx--，%>0,

4

从无)=[『(x)>2叭x)+4(aeR)，若函数〃(x)恰有6个零点，则实数。的取值范围是()

A.11',+00]B.gw]C.(1,+co)D.(0,+oo)

elnx/、

、---(x>0)

2.(2024高三•全国•专题练习)已知函数〃zx)=x'，,若关于x的方程

卜+l](*W0)

[〃x)T-4(x)+l-a=0有8个不相等的实数根，则实数。的取值范围为()

A.(1,272-1)B.(72-1,1)

C.(272-2,1)D.(1,20+2)

24।、4

X—CIXH--〃+—

3.(2024,天津•一模)若函数〃x)=,./恰有两个不同的零点以“，且“<〃，

2414

X+CLX---〃+一

33

则”的取值范围为.

4.(23-24高三上•湖南常德•阶段练习)已知函数Ax)和g(x)的定义域分别为2和2,若

对任意的不€，都恰有"个不同的实数看,毛,%，使得g(xJ=〃Xo)(其中

z=1,2,3,..",〃eN+),则称g(x)为了⑺的重覆盖函数”.(1)若函数g(x)=cosx(0<x<42

2X-1

是/(x)=-----,(0<x<4»)的〃〃重覆盖函数〃，贝lj〃=；(2)若

2X+1

g(x)=卜+Q"丁"+1""1为/⑸=叫]]的〃2重覆盖函数〃，记实数〃的最大值为

2+1

[log2X,X>\2

M,贝Usin[(M+1)»]=.

四、函数的图象

1.(2024•福建莆田•二模)对于函数y=/(x)和y=g(x),及区间D,若存在实数人,使

得辰+6Ng(x)对任意恒成立,则称y=〃x)在区间。上"优于"y=g(x).有

以下四个结论：

①"X)=COSX在区间R上"优于"g(x)=l-1%2;

②=tanr在区间上"优于"g(x)=sinx；

③/(x)=e*—1在区间(-1,-+<o)上"优于"g(%)=In(尤+1)；

④若J(x)=ox(xT)在区间(0,+8)上"优于"8(*)=3,则a=l.

其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

OsinTCXI0<xW2

2.(2024・陕西渭南•一模)已知/(%)=1；一一，若存在实数七(7=1,2,3,4,5),

e，x<o

5

当X,<%+1(z=1,2,3,4)时，满足/(%)=/(/)=/(电)=/(%4)=/(毛)，则的取

1=1

值范围为()

C.(-00,4]D.-p-,4

3.(2023,湖南长沙•模拟预测)已知函数的定义域为[0,+动，且

2'-l,xe[0,l）

/（%）=<log2（3-x）,xe[l,2）,函数g（尤）=〃尤）_2掾在区间[°川内的所有零点的和为16,

2/（x-2）,xe[2,+<»）

则实数。的取值范围是.

[1x1XJTI

4.（23-24高一上•吉林白山•阶段练习）已知函数〃x）=।]，，若存在实数

[%-2mx+4m,x>m

b,使得关于工的方程〃力=人有三个不同的根，则加的取值范围是.

五、二次函数

1.(23-24高一上•浙江嘉兴•期末)已知函数/⑺=e"+x,g(x)=lnx+x,若〃xj=g(%2)=%,

则西+々+2-r的最大值为（）

92e-l3e-l

A.-B.2C.-------D

42-丁

2.（2023•河南新乡•三模）设函数/（九）的定义域为R,满足了（%-2）=2〃%）,且当工£（0,2]

3

时，/（尤）=x（2-x）.若对任意xe[a,+oo）,都有成立，则”的取值范围是（）

O

75

A.—,+coB.—,+00

22

35

C.—00,-------D.—00.-------

22

3.（多选）（2024•浙江•模拟预测）二次函数y=+法+。（〃，4c是常数，且〃。0）

的自变量X与函数值y的部分对应值如下表:

X012

ym22n

3

且当x=5时，对应的函数值><。.下列说法不正确的有（）

A.aboQ

100

B.mn>----

9

C.关于X的方程ax2+6x+c=0一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在-;和0之

间

D.q。+2,%）和£”一2,%）在该二次函数的图象上，则当实数X；时，%>上

4.（2024・湖北一模）记置把虱〃x）}分别表示函数“力在可上的最大值

和最小值.则般3］{max{,+〃一2时“=.

5.（2024•广东惠州•一模）已知P（x,y）为函数，=/+：图象上一动点，则俨+：的最大

4y/x+y

值为.

六、指对塞函数

1.（2024•重庆•模拟预测）设。=log2（）242023,=log20232022,c=log020240.2023,Ijl!］（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

2.（2024,云南昆明,模拟预测）已知4是函数〃x）=xlnx-2024的一个零点，为是函数

g（x）=xe。2024的一个零点，则占的值为（）

A.1012B.2024C.4048D.8096

3.（2024•甘肃兰州•一模）已知y=〃x）是定义在R上的奇函数，且对于任意x均有

〃x+l）+〃x—1）=0,当0<xVl时，〃x）=2'-l,若川n（eo）］>f（lna）（e是自然对数的

底），则实数。的取值范围是（）

31

A4-1+2左,厂/1+2^/1n-1"&一2■卜2k

A.e<a<e（keZ）B.e2<^<e（kGZ）

,,31

「Q-1+4左,厂/-l+4^/1rx-b4&-•2*n4&

C.e<a<e（keZ）D.e2<^<e（A:eZ）

x

4.（2024,全国•模拟预测）已知16喻16-12>"=y,则一=.

y

5.（2024•北京丰台•一模）目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具.其做法是在

前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速

到一定的速度时将人造天体送入预定轨道.现有材料科技条件下，对于一个〃级火箭，在第

〃级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为v=31n行~—7,

（9+%）（9+%）（9+0,）

,n

mp+Xj

其中ai=-----13-----«=1,2,,n）.

%+X吗一班

J=i

注：7%表示人造天体质量，吗表示第J（）=1,2,,“）级火箭结构和燃料的总质量.

给出下列三个结论：

①。田24<1；

②当〃=1时，v<31nlO；

③当〃=2时，若v=121n2,则标?26.

其中所有正确结论的序号是.

6.（23-24高三上•山东青岛•期末）已知动点P,。分别在圆加：0-皿"）2+口-巾）2=；和

曲线y=lnx上，则|P9的最小值为.

7.（2024・全国•模拟预测）函数在区间[-e,T]U[l,e]上的最大值与最小值

13

之和为。+6（。>0力>0）,则一+7的最小值为____.

ab

七、函数与方程

1.（2024•甘肃武威•模拟预测）已知函数〃x）=ln;l]-办+2。有3个零点，则实数。的

取值范围是（）

A.（l,+oo）B.（2,+oo）C.(-oo,-l)D.(-oo,-2)

2.（2024•四川遂宁•二模）已知a,b,c均为正数，且工=2a-log,（a+l）2,6=（^-

a

,五’贝乩C的大小关系为（）

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

3.(2024•陕西西安•一模)己知函数/。)=4*+111彳-2的零点为3，g(x)存在零点巧，使

|占一％l<g，则才(幻不能是()•

A.g(x)=3x3-2x2-3x+2B.g(x)=4^1-2^1

5兀

C.g(x)=cos(x+二)D.g(x)=lg(5x+l)

4.（2024•湖北•二模）已知函数/（x）=ln[办+Jf+g有零点，当〃2十。2取最小值时，

2的值为.

a

5.（23-24高一上•山东济南・期末）己知函数"x）=J1,g^x）=-x+a,若

—x?—x+4,x40

函数/（X）=-g（X）有三个零点玉,无2，%,则占•马•三的取值范围是.

6.（23-24高三上•湖南常德•阶段练习）己知函数Ax）和g（x）的定义域分别为2和。2,若

对任意的不€2都恰有"个不同的实数占,马,尤3，，七,€。2,使得ga）=/®）（其中

i=1,2,3,..weN+）,则称g（X）为/（X）的“〃重覆盖函数J（1）若函数g（X）=cosx（0<x<4兀）

2X-1

是“x）=----,（0<x<4"）的"〃重覆盖函数"，贝股?=；（2）若

2*+1

g（x）=f'+为/（x）=k>g]1r■=的"2重覆盖函数"，记实数。的最大值为

[log?x,尤>152,+1

M,贝！|sin[（M+1）乃]=.

八、新定义、新文化题（选填题）

1.（2024・四川成都•模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科

研成果有"华氏定理""华氏不等式""华氏算子""华一王方法”等，其斐然成绩早为世人所推

崇.他曾说："数缺形时少直观，形缺数时难入微"，告知我们把"数"与"形"，"式"与"图"结

合起来是解决数学问题的有效途径.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的

性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征.已知函数y=〃x）的图象如图所示，则

的解析式可能是（）

--------o---------5

zNsinxz[\cosx

A./。）=3协B./。）=30°"C.=1D.〃尤）=、

2.（2024•全国•模拟预测）如何计算一个椭圆的面积？这个问题早已在约2000年前被伟大

的数学、物理学先驱阿基米德思考过.他采用“逼近法”，得出结论：一个椭圆的面积除以圆

周率等于其长半轴长与短半轴长的乘积.即$=叫6.那如何计算它的周长呢？这个问题也

在约400年前被我国清代数学家项名达思考过.一个椭圆的周长等于其短半轴长为半径的圆

周长加上四倍的该椭圆长半轴长与短半轴长的差.即C=2而+4（°-。）.若一个椭圆的面积

为8兀，那么其周长的取值范围为（）

A.[16jn_2,+oo）B.（164-2,+8）

C.（4夜兀,+>»）D.[4在无,+>»）

3.（2024•黑龙江齐齐哈尔•二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，

几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，

其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若2。+23=1，则（4"+1）（4"+1）的最小值

为（）

259925

A.—B.—C.-D.—

416416

4.（2024・贵州贵阳•一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道

路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小，

逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，

1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间r和放电电流I之间关系的经验公式：

C=I。,其中几为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数）,在电池容量不变的条件

下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h,则该

蓄电池的Peukert常数彳约为（参考数据：1g2^0.301,1g3«0.477）（）

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

5.（22-23高二下•辽宁本溪•阶段练习）2023年1月31日，据“合肥发布"公众号报道，我

国最新量子计算机"悟空"即将面世，预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达

到1024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3

个超导量子比特共有8种叠加态，L,每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加

一倍.若N=axl0上（14a<l（UeN）,则称N为1+1位数,已知1024个超导量子比特的叠

加态的种数是一个机位的数，则机=（）（参考数据：坨2。0.301）

A.308B.309C.1023D.1024

6.（多选）（2024•重庆•一模）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的

1,XGQ

函数/(x)=<被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则以下关

0,xe、Q

于狄利克雷函数/（x）的结论中，正确的是（）

九、新定义题(解答题)

1.(2024高三•上海・专题练习)设函数f(x)在［L+8)上有定义，实数。，b满足14a<6.若

在区间(。,可上不存在最小值，则称/(戈)在区间(a,可上具有性质P.

⑴若函数〃力=/+次，且/⑺在区间(1,2］上具有性质。时，求常数。的取值范围；

(2)己知/(尤+l)=f(x)+l(无21),且当14x<2时，f{x}=\-x,判别/(x)在区间(2,3］上是

否具有性质。，并说明理由；

⑶若对于14a<6的任意实数“和b；函数/(x)在区间句上具有性质P,且对于任意〃eN*,

当xe(",〃+l)时，有："(〃)-/(x)l+"(x)-/(〃+l)H/(〃)-/(〃+l)l,证明：当时，

/(2x)>f(x).

2.(23-24高一下•辽宁辽阳•阶段练习)定义：若函数“X)的值域是定义域的子集，则称“X)

是紧缩函数.

⑴试问函数g(x)=lg(10-x)是否为紧缩函数？说明你的理由.

⑵若函数刈》)=2「代二+。是紧缩函数，求。的取值范围.

⑶己知常数左>0,函数/(x)=f,左叩〃,机+2］。［“7+3,777+5］是紧缩函数，求比的取值集

合.

3.(23-24高一下•辽宁大连•阶段练习)已知函数/(x)=cosx,将函数,⑺的图象上的点纵

坐标不变，横坐标变为原来的;倍，再向右平移!兀个单位长度，得到函数g(x)的图象.

[6

⑴写出函数g(x)的解析式；

(2)试判断a=/(2sing),&=/(3sin1),c=/(3cosg)的大小

⑶如果函数尸(无)的定义域为。，若对于任意。也ce。，F(«),F(b),P(C)分别为某个三

IT

角形的边长，则称P(x)为"三角形函数".记人(x)=mg(x)+〃z+l,当定义域为[0m时，版尤)为

"三角形函数"，求实数机的取值范围.

4.(23-24高二下・江苏镇江•阶段练习)我们知道，函数y=优与＞=1。8〃真。＞0,。*1)互为

反函数.一般地，设4B分别为函数y=f(x)的定义域和值域，如果由函数y=/(x)可解

得唯一x=9(y)也是一个函数(即对任意一个yeB,都有唯一的xwA与之对应)，那么

就称函数x=e(y)是函数y=〃x)的反函数，记作x=L(y).在x=L(y)中,y是自变量，

X是y的函数.习惯上改写成y=/T(x)(xe8,yeA)的形式.反函数具有多种性质，如：①如

果y=/T(x)是y=〃x)的反函数，那么y=y(x)也是,=尸(力的反函数；②互为反函数

的两个函数的图象关于直线y=x对称；③一个函数与它的反函数在相应区间上的单调性是

一致的.

(1)已知函数y=f(x)的图象在点(2,3)处的切线倾斜角为60。，求其反函数y=厂1(力的图象

在x=3时的切线方程；

⑵若函数g(x)=log。(J?三+q(。＞0,”1),试求其反函数y=为(x)并判断单调性；

⑶在(2)的条件下，证明：当aWe时，Vxe[0,+co),h(x)＞x.

5.(2024•江苏盐城•模拟预测)根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数z=/(x,y)在

约束条件g(x，V)的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数

L(x,y,A)=f{x,y)+2g(x,y),其中4为拉格朗日系数.分别对L{x,%㈤中的元,部分求导，

并使之为0,得到三个方程组，如下：

Z,(x,y")=fx(x,y)+Agx(x,y)=0

Ly(x,y,2)=fy(x,j)+Agv(x,y)=0,解此方程组，得出解(x,y),就是二元函数z=/(x,y)在

LA(X,y,A)=g(x,y)=0

约束条件g(x,y)的可能极值点.x，y的值代入到了(尤,y)中即为极值.

补充说明：【例】求函数〃x,y)=V+w+y2关于变量X的导数.即：将变量y当做常数，

即：£Q,y)=2x+y,下标加上x,代表对自变量x进行求导.即拉格朗日乘数法方程组之

中的4，4，LA表示分别对尤,2进行求导.

(1)求函数Ax,y)=x2y2+2孙+xy2关于变量V的导数并求当x=1处的导数值.

⑵利用拉格朗日乘数法求：设实数满足g(x,y)=4/+y2+孙一「0,求/(x,y)=2x+y

的最大值.

222

⑶①若x,y,z为实数，且x+y+z=l,证明：x+y+z>1.

②设a〉b>c>0,求2/+—+—--—~10ac+25c2的最小值.

aba^a—b)

专题03函数概念与基本初等函数

（新定义，高观点，选填压轴题）

目录

一、函数及其表示........................................13

二、函数的基本性质......................................19

三、分段函数............................................24

四、函数的图象..........................................29

五、二次函数............................................34

六、指对幕函数..........................................39

七、函数与方程..........................................45

八、新定义、新文化题（选填题）..........................52

九、新定义题（解答题）..................................59

一、函数及其表示

1.（2024,安徽•二模）已知函数>丈）（"0）满足〃孙）=〃x）+〃y）-l,当X>1时，

则（）

A./（元）为奇函数B.若/（2x+l）>l,则—l<x<0

C.若〃2）二,则〃1024）=TD.若=则焉］=10

【答案】c

【优尖升-分析】根据赋值法可得了⑴=1,进而可得〃T）=f（x）,即可判断A,

根据函数单调性的定义可判断y=〃x）（xwo）在（0,+8）上为减函数，即可求解B,代值逐步

求解即可判断CD.

【详解】令x=i,y=T,/(-1)=/(1)+/(-1)-1,所以〃1)=1；

令尸一1,y=—l,〃1)=〃—1)+〃-1)一1则/(一1)=1.

令y=-i,得〃-x)=〃x),故y="x)(»o)为偶函数.A错误，

任取X[,x,e(0,+co),无1</，则匕>1，

x\

(、

则〃/)=/(%)+1/三-1<八%),故y=〃x)(xxO)在(0,+8)上为减函数.

1FJ

由己知〃2x+l)>l,可得川2x+l|)>〃l),故|2x+l|<l,解得-!<x<0,且B

错误，

若"2)=；,贝IJ〃1024)=/(*)=/(29)+〃2)-1=10〃2)-9=-4,C正确，

若电，2,则/必争出-1，4'力3-1=5,

了小Id扑/:卜=6,所以(信]=2/值>=11,故D错误，

故选：C.

2.(2024,四川泸州•二模)已知〃x),g(尤)都是定义在R上的函数，对任意x,y满足

〃x-y)=〃x)g(y)-g(x)〃y),且〃—2)=/⑴10,则下列说法正确的是()

2024

A.g(0)=0B.若〃1)=2024,则2/5)=2024

〃=1

C.函数/'(2X—1)的图象关于直线x=g对称D.g⑴+g(—l)=-l

【答案】D

【优尖升-分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、D,取

27r27T

〃x)=sin彳x,g(x)=cosyx可判断C,对于B,通过观察选项可以推断〃尤)很可能是周

期函数，结合〃x)g(y)，g(x)F(y)的特殊性及一些已经证明的结论,想到令y=-l和"1时

可构建出两个式子，两式相加即可得出〃x+l)+〃x-l)=-〃x),进一步得出/(X)是周期

2024

函数，从而可求£〃〃)的值.

〃=1

【详解】对于A,令无=y=0,可得/得"0)=0,

令"0,x=l,代入已知等式得/⑴=〃l)g(O)-g⑴〃0),

/(1)[1-g(O)]=-g(1)/(0)=0,结合/⑴/0得l-g(O)=O,

所以g(o)=l,故A错误；

对于D,因为g(O)=l,令尤=0,代入已知等式得八—y)=/(0)g(y)—g(0)/(y),

将〃0)=0,g(o)=l代入上式，得〃—(y),所以函数为奇函数.

令X=l,y=-l,代入已知等式，得〃2)=〃l)g(—l)—g⑴1),

因为〃T)7⑴,所以〃2)=〃l)[g(-l)+g(l)],

又因为〃2)=-所以-〃l)=〃l)[g(-l)+g⑴],

因为所以g(l)+g(-l)=-1,故D正确；

对于B,分别令>=-1和y=l,代入已知等式，得以下两个等式：

/(x+l)=〃x)g(T)—g(x)〃T)，/(xT)=/(x)g。)一g(x)〃l)，

两式相加易得〃x+l)+〃尤-1)=一/(无)，所以有〃x+2)+〃x)=-〃尤+1),

即〃x)=-〃x+l)-〃x+2),

有_/(x)+/(x)"(x+l)+〃xT)_/(x+l)―/(x+2)=0,

即〃％-1)=〃％+2),所以/'(x)为周期函数，且周期为3,

因为)0)=2024,所以/(—2)=2024,所以"2)=-〃—2)=—2024,/(3)«/(0)=0,

所以了(1)+/(2)+/(3)=0,

2024

所以£〃〃)="1)+〃2)+"3)++/(2024)

〃=1

=/(2023)+/(2024)=/(1)+/(2)=0,故B错误；

27rQjr

对于C®(/(x)=sin—x,^(x)=cos—x,满足“工->)=/(九)g(y)-g(%)/(y)及

所以“2尤-l)=sin争21),又〃0)=sin0=0,

所以函数/'(2x-l)的图像不关于直线x=g对称，故C错误；

故选：D.

【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利

用的点，以及利用证明了的条件或者选项;抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，

特别是有％〉双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此

过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.

3.(2024高三•全国•专题练习)设函数“X)的定义域为R,满足〃x+2)=g〃x),且当

xe(0,2］时，/(x)=x(x-2),若对任意xw［私+oo),都有-立，则机的取值范围是

【答案】D

【优尖升-分析】

由题设条件画出函数〃尤)的简图，由图象分析得出机的取值范围.

【详解】当xe(O,2］时，龙+2e(2,4］,

则/'(尤+2)=〈/(无)=3元(%_2)=5(%+2_2)(%+2_4)且_1,0］,

即当xe(2,4］时，f(x)=1(x-2)(x-4)e-1,0

同理当xw(4,6］时，〃x)=；(x-4)(尤-6)e-1,0；

当无«6,8］时,f(x)=^(x-6)(x-8)G~,0.

O|_o

以此类推，当尤＞6时，都有/(力＞-弓.

16

函数“X)和函数尸-、在(0,8］上的图象如下图所示:

1311

由图可知，f(m)=-(m-4)(m-6)=~—,me(5,6),解得m=「,

即对任意xe［；+oo］,都有"x"二，即机的取值范围是［2,+/.

故选：D.

4.(23-24高三上•四川成都•期末)已知尸(x,y)为函数y=eZ+2f-4x图象上一动点，则

-y+y+3

J(x-1)2+(y+4)2的最大值为(

e+5e+5

A.八;B.；,=C.1D.jr2(e+5)

Ve2+8e+17V2e2+16e+34''

【答案】A

【优尖升-分析】先观察出函数关于X=1对称，在根据所求的式子可以判断X>1时比X<1的

值要大，所以只需研究X>1的情况即可，把所求的式子经过换元，适当的变形转化为复合

函数问题，其中一个内层函数又是两点斜率问题，借助数形结合思想和导数的几何意义即可

求出最值.

x+y+3

【详解】由函数解析式可知函数丁关于x=i对称，设2="])2力+4『，不妨设

x=n(n<l)

_几+y+3-〃+y+5〃+y+3

则J(〃一](；(y+4)2，当x_2n(n<l),^(1-ra)2+(J+4)25/(ra-1)2+(j+4)2)

即当x>l时z的值要大于x<l时z的值，所以只需研究x>l的情况即可，

b

当x>l时，y=e%-1+2x2-4x,设％—l=a,y+4=Z?,t=—

a

22

2a+lab+b22

则/+户=[+q7=+二I,

abt

根据复合函数单调性可知：re(0,1)时，z?递增，当，e(l,”)，Z?递减.

f=?=三，所以/的几何意义是函数y=e，T+2/-4x上一点与点(1,T)的斜率，

设过点(l,f的切线与函数j=e'-'+2x2-4x的交点坐标(即切点)为(M,e"T+2疗一4m)

(m>1),y=e^'+4.r-4,

所以切线的斜率Z=e"T+4加-4,切线方程为y-(e"i+2加-4时=(e"T+4帆-4)(x-加)，

把点(LT)代入切线方程整理得：

(em-1+2时(加一2)=0,所以〃?=2或e"T+2加=0,设〃祖)=尸+2m,f(m)=尸+2>0,

所以/(㈤在(1,+8)单调递增，所以yW)>〃i)=3,

即e*i+2m=0不合题意，所以%=2,此时切线的斜率上=e"T+4"z-4=e+4,

如图:

yt

IXx)=er-'+2x2-4x

B(2,e)

°ijx

口1,-4)

根据数形结合思想可知f的范围为[e+4,+e),所以当/=e+4时，z?最大,

2_e+5

此时z=e+4+_-_，e~+8e+17'

e+4

故选：A

【点睛】方法点睛：式子较为复杂的最值问题需要经过适当的变形求解，求函数的最值或值

域常用方法有：

(1)换元法；

(2)函数单调性法；

(3)复合函数法；

(4)数形结合；

(5)导数法；

(6)基本不等式.

5.(23-24高三上•重庆•期末)已知函数〃无)满足〃尤+y)=〃x)+〃y)—2,"1)=4且

当%＞0时，”力＞2,若存在了＜1,2],使得/(加―4x)+〃2x)=l,则〃的取值范围是()

21]F15]「52]F12~

I2」\_28J|_83j|_23J

【答案】D

【优尖升-分析】

根据给定条件，探讨函数“X)的单调性，再结合赋值法求出了(-卞=-1,并由单调性脱去

法则，转化为二次方程在[1,2]上有解即得.

【详解】任取和马,且占＜%，则马-玉＞。，而当x＞。时，/(%)＞2,于是/。2-再)＞2,

又/(x+y)=/(x)+/(y)—2,因止匕)=/[X]+(龙2—占)]=/(尤1)+/(%—大)一2＞/(图),

则函数/(x)是增函数，而了(62-4x)+/(2x)=f[(ax2-4x)+2x]+2=/(ax2-2x)+2=1,

于是了("2-2X)=-1,令尤=y=0,得〃0)=2,令x=l,产一1,得/(T)=0,

令x=Ty=-l,得/(-2)=-2,^x=-2,y=-l,得f(-3)=-4,

3333

令无=>=一3，得/（_万）=_1,即有/（62_2彳）=/（_/）,因此加一2%=-万，

4r-311

原问题即2a在[L2]有解,令"—£[1],

xx2

241412

贝！J2q=—3产+4]=—3（，_§）2+§在/w[,,1]时有角轧从而2QG[1,§],G