2025年高考数学热点题型突破：切线问题综合11类题型汇编

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近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年甲卷第6题，5分

2024年新高考/卷第13题，5分

(1)求在某处的切线

2023年甲卷第8题，5分

考察导数的几何意义，切线

(2)设切点求过某点的切线以及公切线

的相关计算求值求参

2022年/卷第15题，5分

(3)利用切线的条数求参数范围

2021年甲卷第13题，5分

2021年/卷第7题，5分

QLZEJ

题型一求在曲线上一点的切线............................................................1

题型二求过某点的切畿...................................................................2

题型三巳如切线斜率求分数..............................................................2

题型四通过切线求曲畿上的点到直线距离最小值...........................................3

题型五音偶画数的切线斜率问题..........................................................4

题型六切线斜率总值掠园问题............................................................5

题型七公切线问题......................................................................6

题型八由切线条数求分救他国............................................................7

题型九两条切线平行、基直、豆合问题.....................................................8

题型十与切线有关的参数范围我最值问题.................................................9

题型十一牛幅选代法...................................................................10

(热点题型)

题型一求在曲线上一点的切线

S基础知识

Juo=/(g)

函数y=f(x)在点A(XQ,/(g))处的切线方程为g——(g)=广(g)(劣一g),抓住关键\k=f\xo)

1.(2024年高考全国甲卷数学(文))曲线/(土)=/+一1在(0,—1)处的切线与坐标轴围成的面积为

()

A工B心C.\D.-容

62

2.(2024年高考全国甲卷数学(理))设函数川乃=&+2尤产，则曲线沙=/(乃在(0,1)处的切线与两坐

l+xz

标轴围成的三角形的面积为()

A-B.1c4D-f

3.已知曲线/(0=工11改：在点(1,/(1))处的切线为Z,贝也在沙轴上的截距为()

A.-2B.-1C.1D.2

4.(23-24高三・福建宁德・期末)已知函数/(①)在点c=-1处的切线方程为x+y-l=0,则:(—1)+

f(T)=()

A.—1B.0C.1D.2

求过某点的切线

o基础知识

【方法技巧】

设切点为P(xOf%),则斜率k=r(g),过切点的切线方程为：y—yo=f(xo)(x—x0),

又因为切线方程过点A(a,b),所以b—yo=f'(*u)(a—x0)然后解出g的值.

5.(2024.全国.模拟预测)过坐标原点作曲线/O)=宙(砂—2/+2)的切线，则切线共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

6.(2022年新高考全国/卷T15)曲线g=皿⑶过坐标原点的两条切线的方程为,.

7.已知直线g=e/—2是曲线g=ln力的切线,则切点坐标为()

A.(《，T)B.(e,l)C(?,1)D.(0,1)

8.(2024・山西吕梁•二模)若曲线/(2)=Ina;在点P(g,yo)处的切线过原点0(0,0),则x0=.

9.(2019•江苏卷)在平面直角坐标系力中，点A在曲线y=Imc上,且该曲线在点A处的切线经过点(

—e,—1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.•M

10.（23-24高三・广东•期中）过点P（l,l）作曲线U=炉的两条切线［,l2.设Z1，勾的夹角为。,则tan。=

()

c9

B-1JC-l3D-i

题型三已知切线斜率求参数

s基础知识

已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切

线的斜率;②切点在曲线上;③切点在切线上.

11.（2024•湖北武汉•模拟预测）已知曲线/⑺=Inrr+二在点（1j⑴）处的切线的倾斜角为名，则a的

CLO

值为.

12.（2024.贵州六盘水.三榭已知曲线夕=22—31na:的一条切线方程为夕=—1+m,则实数m=（）

A.-2B.-1C.1D.2

13.（2024.全国.高考真题）若曲线夕=6。+多在点（0,1）处的切线也是曲线夕=ln（c+l）+a的切线，则a

14.（23—24高三.山西晋城.期末）过原点O作曲线/（刀）=吩—姐的切线，其斜率为2,则实数a=

（）

A.eB.2C.e+2D.e—2

15.（2024•四川•模拟预测）已知馆>0,n>0,直线^=上力+恒+1与曲线g=lnrc—九+3相切，则馆十九

e

16.（23—24高三.安徽合肥.期末）若函数/（力）=上”与g（R）=e"-。—b在力=1处有相同的切线，则a+

x

b=（）

A.-1B.0C.1D.2

17.（2024•河北沧州・模拟预测）已知直线=k/是曲线/（2）=6计1和gQ）=InN+Q的公切线,则实数a

■一%■碘切线求曲线上的点到直线距离最小值•••

s基域知识

利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.

18.（23-24高三.安徽.阶段练习）已知P是函数/（乃=e/+〃图象上的任意一点，则点P到直线x—y—

9=0的距离的最小值是（）

A.3V2B.5C.6D.572

19.（23—24高三•广东惠州•阶段练习）已知焉？在函数/（M=e2，+e+9的图象上，则P到直线2:3c一,

-10=0的距离的最小值为.

20.（23-24高三・河南南阳•阶段练习）点P是曲线/（⑼=代上一个动点，则点P到直线多一y+2=0的

距离的最小值是（）

A.B.工C.D.4

8444

21.（23-24高三•河北石家庄•阶段练习）曲线y=ln（3c-2）上的点到直线3必—0+7=0的最短距离是

（）

A.V5B.V10C.3V5D.1

22.（23-24高三・河南•阶段练习）最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达

到事先规定的最优目标的方案,这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我

们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，

请你利用所学知识来解答:若点P是曲线,=31nx--^-x2上任意一点,则P到直线4c—24+5=0的

距离的最小值为.

23.（2024•山西朔州•模拟预测）已知4B分别为曲线？/=2e，+a;和直线y=3c—3上的点，则\AB\的最

小值为.

题型五奇偶函数的切线斜率问题

s基M知识

奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.

24.已知/Q）为奇函数，且当①V0时，f⑸=且，其中e为自然对数的底数，则曲线”乃在点（1,/（1））

ex

处的切线方程为

25.（2024•福建福州•模拟预测）已知函数/（1）是偶函数，当比＞0时，/（2）=土3+2宓,则曲线沙=/（/）在灸

=—1处的切线方程为（）

A.g=—5N—2B.y=—5x—8C.y=5x+2D.y=5x+8

26.（2024.湖北.一模）已知函数/（力）为偶函数，其图像在点（1,/（1））处的切线方程为力―2g+l=0,记

〃为的导函数为（（为，则r（—1）=（）

A.—B.C.—2D.2

27.已知/Q）是奇函数,当力V0时，f（x）=,则函数/Q）的图象在力=1处的切线方程为（）

A.2%—g+l=0B./—2g+1=0C.2c—g—1=0D.rc+2g—1=0

28.（23-24高三・河南洛阳・期末）已知函数gQ）为奇函数，其图象在点（Q,g（Q））处的切线方程为2x—y

+1=0,记g（力）的导函数为人力）,则g，（—Q）=（）

A.2B.-2C.~~D.—

29.（2024・山东济宁•三模）已知函数/（6）为偶函数，当力V0时，/（①）=ln（—/）+炉,则曲线y=f（x）在点

（1,/（1））处的切线方程是（）

A.3%—g—2=0B.36+g—2=0C.3c+g+2=0D.36—g+2=0

30.（2024•海南海口•二模）已知函数/（c）的定义域为五，/0+1）是偶函数，当时，/（工）=

ln（l—2为,则曲线y=在点（2,/（2））处的切线斜率为（）

99

A.■—B.——C.2D.—2

55

31.（23-24高三・广东深圳•期中）已知函数/（力）=与偶函数g（x）在交点（1,^（1））处的切线相同,则

函数gQ）在力=—1处的切线方程为（）

A.ex—y+e=QB.ex-\-y—e=QC.ex—y—e=QD.ex+y+e=Q

题型六切线斜率取值范围问题

S基地知识

利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.

一般地，直线的斜率与倾斜角的关系是:直线都有倾斜角，但不一定都有斜率

32.点P在曲线夕=炉一2+1■上移动，设点P处切线的倾斜角为%则角a的范围是（）

O

A-[°-f]B管，普］

33.（2021•河南洛阳•二模）已知点P在曲线"=炉一立上移动，设点P处切线的倾斜角为a•,则角Ma的取值

范围是

34.过函数/3)=]e2"-2图像上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角范围为()

35.(22-23高三•江苏镇江•阶段练习)点P在曲线夕=炉一与1+:上移动，设点P处切线的倾斜角为

O4

%则角a的范围是()

题型七公切线问题

s基马知识

公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横

坐标的方程组，通过解方程组进行求解.

公切^问题主要有以下3类题型

(1)求2个图数的公切线

解题方法:设2个切点坐标,利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解

(2)2个函数存在公切微,求参数篦国

解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题

(3)已知两个函数之间公切畿条数,求参数范围

解题方法:设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题

36.(浙江绍兴二模T15)与曲线y=e。和y=一手都相切的直线方程为.

37.(2024.广东茂名.一模)曲线y=Inc与曲线0=靖+2a①有公切线，则实数a的取值范围是()

A.(-℃,-y]B.C.(―co,]]D.",+8)

38.(2024•福建泉州•模拟预测)若曲线9=式与,=加。(±W0)恰有两条公切线，则t的取值范围为()

A-(°4)B.(!，+8)

C.(―8,0)U号,+8)D.(—8,0)U囿•••

39.(23-24高三.江西吉安・期末)函数/(⑼=2+Imr与函数g{x)=e，公切线的斜率为()

A.1B.±eC.1或eD.1或e?

40.已知直线y=ax+b(aER,b>0)是曲线/(必)=e"与曲线g(rr)=Inc+2的公切线，贝！Ja+b的值为

41.已知直线Z与曲线=〃和&：?/=—工均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为

X

42.已知函数/(力)=mx+lnx,g(x)=d一馆力，若曲线5=/(6)与曲线沙=g(c)存在公切线，则实数m

的最大值为.

43.(2024.湖南长沙.三模)斜率为1的直线Z与曲线夕=InQ+a)和圆靖+靖=卷都相切，则实数a的值

为()

A.0或2B.-2或2C.-1或0D.0或1

44.(长沙雅礼中学月考(六))已知函数/(t)=21na;,g⑸=g2—工―若直线y=2a;—b与函

数U=/(c),y=g(x)的图象均相切，则a的值为；若总存在直线与函数夕=/(尤)，y=g(x)图

象均相切，则a的取值范围是

题型八由切线条数求参数范围

S基地如识

设切点为P{x0,%),则斜率/c=r(zo),过切点的切线方程为：y—yo—f'(xo)(x—XQ),

又因为切线方程过点A(a,b),所以b—伙,=/(0))(a—0))然后解出&)的值,有多少个解对应有多少条切线.

45.(2022年新高考全国/卷数学真题)若曲线夕=Q+a)e?有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是

46.(2024.河南信阳.模拟预测)若过点(La)仅可作曲线夕=xe£的两条切线，则a的取值范围是.

47.(2024届广东省六校高三第一次联考T8)已知函数/(4)=—炉+2〃—如若过点P(l.t)可作曲线0=

f(x)的三条切线，则力的取值范围是

48.(23-24高三・湖北武汉•阶段练习)已知过点A(a,0)可以作曲线y=的两条切线，则实数a

的取值范围是()

A.(l,+oo)B.(—oo,-e)U(2,+oo)

C.(—oo,—2)U(2,+8)D.(—oo,—3)U(1,+8)

49.（2024届•广州中山大学附属中学校考）过点（3,0）作曲线/Q）=力1的两条切线，切点分别为

31，/31））,（力2，/（力2）），则力1+62=（）

A.—3B.—A/3C.A/3D.3

50.（2024.宁夏银川.二模）已知点F（l,m）不在函数/（力）=x3—3mx的图象上,且过点P仅有一条直线与

/（力）的图象相切，则实数小的取值范围为（）

Ad。，“：,4）B.（―8,0）U（1,+8）

C-（°'j）U（"，+8）D.U（y,+oo）

51.（2024•内蒙古•三模）若过点（a,2）可以作曲线y=ln工的两条切线，则a的取值范围为（）

A.（-oo,e2）B.（-oo,ln2）C.（0,e2）D.（0,ln2）

52.已知点A在直线x—2上运动，若过点4恰有三条不同的直线与曲线g=炉—力相切，则点A的轨迹

长度为（）

A.2B.4C.6D.8

53.若曲线/（/）=且有三条过点（0,a）的切线，则实数Q的取值范围为（）

ex

A.（0,5）B,（0,^）C.（oA）D.（0,羊

54.若过点（a,b）可以作曲线g=lnc的两条切线，则（）

A.e6>0>aB.lna>0>&C.e6>a>0D.lna>6>0

55.（2024高三・辽宁本溪•期中）若过点（1,6）可以作曲线g=ln（x+l）的两条切线，则（）

A.In2<fe<2B.6>ln2C.0<b<ln2D.b>l

题型九两条切线平行、垂直、重合问题

o基础知识

利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为一1.

•••

56.(2024•河北邢台・二模)已知函数/(%)=x2+21nx的图像在4(电J(g)),83,/(力2))两个不同点处的

切线相互平行，则下面等式可能成立的是()

A.xr+x2=2B.力1+/2=*C.xrx2=2D.xrx2=

OO

57.已知函数,(6)=(Q—3)63+(a—2)炉+(Q—1)力+a若对任意gCR,曲线g=/(力)在点(g,/(g))

和(―3,/(—力。))处的切线互相平行或重合，则实数a=()

A.0B.1C.2D.3

i

58.(2024.辽宁.二模)已知函数%=a;2的图象与函数％=a?(a>0且a¥l)的图象在公共点处有相同的

切线，则a=，切线方程为.

59.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(c)=(c+a)2+Inc的图象上存在不同的两点A,_B,使得曲线y=

/(宓)在点处的切线都与直线2+29=0垂直,则实数a的取值范围是()

A.(—oo,1—A/2^)B.(1—y/2,0)C.(—co,1+A/2)D,(0,1+V2^)

60.(23—24高三.辽宁.阶段练习)已知函数e。)，曲线夕=/(比)上存在不同的两点，使得曲线

在这两点处的切线都与直线y=c平行，则实数小的取值范围是()

A.(1—e-2,1)B.(—1—e-2,—1)C.(—e-2,0)D.(1—e-2,+oo)

61.(2024.河南.三模)已知函数/(⑼=[(①+专/口>0,点人，B在曲线"=〃⑼上(人在第一象限)，过

x3,x<0,

A,B的切线相互平行，且分别交“轴于P,Q两点，则器的最小值为.

62.(2024.北京朝阳.一模)已知函数/(N)=/sin2力.若曲线g=/(2)在点AQ/Qi))处的切线与其在点

石(电,/(力2))处的切线相互垂直,则g—电的一个取值为.

题型十与切线有关的参数范围或最值问题

s基础如识

利用导数的几何意义以及利用导数研究函数单调性，从而求出相关式子的取值范围.

63.(2024•全国•模拟预测)若直线y=2刀—b与曲线/(c)=e2。—2aMa>~1)相切，则b的最小值为

()

A.—eB.—2C.—1D.0•••

64.（2024・重庆•模拟预测）已知直线g=aa;+b与曲线,=e工相切于点（g,e苑），若gG（―8,3）,则a+b

的取值范围为（）

A.（-03,e]B.（-e3,e]C.（0,e）D.（0,e3]

65.（2024.广东广州.模拟预测）已知直线夕=kt+b恒在曲线夕=lnQ+2）的上方，则?的取值范围是

（）

A.（1,+co）B.（~^~,+00）C.（0,+8）D.（春,+8）

66.已知直线g=岫+b与函数/⑺=-^-x2+\nx的图象相切，则k—b的最小值为.

67.对给定的实数6,总存在两个实数%使直线g=QN-b与曲线g=lnQ-6）相切，则b的取值范围为

题型十一牛蟆迭代法

S基地知识

数形结合处理

68.（23-24高三.河南郑州.期中）“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高

次方程的根.如图，r是函数/（乃的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数g,

XX,电，…，叫,其中必1是/⑺在£=判处的切线与C轴交点的横坐标，*2是/⑺在t=立1处的切线

与刀轴交点的横坐标，…，依次类推.当|x„-r|足够小时，就可以把彩的值作为方程/（乃=0的近似

野，g=4,则方程/（c）=0的近似解g

O

69.（2024.山东潍坊.三模）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图，方程f⑸=0的根就是函数

f（x）的零点r,取初始值g,/（工）的图象在点（g,/（g））处的切线与非轴的交点的横坐标为小f⑸的

图象在点（X,f（X））处的切线与轴的交点的横坐标为力一直继续下去，得到了宓…,为，它们越来

11C2,1,2,•••

越接近设函数/Q）="+bc,g=2,用牛顿迭代法得到的=[,则实数b=（）