2025高考物理复习教案：磁场中的动态圆模型

第十一章磁场

专题十五磁场中的动态圆模型

核心考点五年考情命题分析预测

“平移圆”模型

本专题内容为解决带电粒子在有界磁场中运动的模型归

纳，单独考查的可能性不大，但在解决大量带电粒子在

“旋转圆”模型

磁场中的运动问题时，会使解题更加方便快捷.

2020：全国预计2025年高考可能会通过与带电粒子在磁场中做圆周

“放缩圆”模型

IT18运动有关的现代科技，考查带电粒子在有界匀强磁场中

“磁聚焦”与2021：湖南运动的临界与极值问题.

“磁发散”模型T13

题型1“平移圆”模型

同种带电粒子速度大小相等、方向相同，入射点不同但*X*****

在同一直线上.粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周X

适用条件运动的半径相同，若入射速度大小为W，则圆周运动半\\\

径厂=哼，如图所示（图中只画出了粒子带负电的情境）

qB

轨迹圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆圆心在同一直线上，H直线与入

圆心共线射点的连线平行

界定方法语率径为7=篝的圆进行平禄T从而探索粒子运动的临界条产

垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用，则粒子

经过磁场的区域（阴影部分）可能是（c）

XXXXX

茄子演

粒子源粒子源

R

一一工―_…

：LUi：UJi

寂播通了演

c.n

解析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A

点，最右端发射的粒子落在B点，故选C.

和子源

题型2“旋转圆”模型

同种带电粒子速度大小相等，方向不同.粒子进入匀强磁场①

时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，圆周转向相乙工总

适用条件同，圆心位置不同，轨迹不同.若粒子射入磁场时的速度为第

vo,则粒子做圆周运动的轨迹半径为R=噂，如图所示（图飞上工-

qB磅、…，'

中只画出粒子带正电的情境）

如图.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆的圆心在以：:

轨迹圆

入射点为圆心、半径R=翳的圆上

圆心共圆

将半径为尺=吟的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转，从而悠粒子至药

界定方法qB

的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法

2.[2023四川德阳期末]如图所示，竖直平行线MN、P。间距离为a,其间存

在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界产。），磁感应强度大小为8,MN上

。处的粒子源能沿不同方向释放速度大小相等、方向均垂直磁场的带负电粒

子，己知粒子的电荷量为q,质量为九粒子间的相互作用及重力不计，其中

沿0=60。射入的粒子，恰好垂直PQ射出，则（D）

A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为百。

B.粒子的速率为陋

m

C.沿9=60。射入的粒子，在磁场中的运动时间为您

3qB

D.P。边界上有粒子射出的长度为2百a

解析粒子沿9=60°射入时，恰好垂直PQ射出，则粒子在磁场中转过30°,如图甲所

2

示，由几何关系有Rsin30°=a,解得R=2a,由洛伦兹力提供向心力有qvB=m上,则v

R

=码£故AB错误.沿0=60°射入的粒子，在磁场中的运动时间为t=四丁丁=工义2"=

m36012v

—,故C错误.如图乙所示，e=0°时，粒子从PQ上离开磁场的位置与B点的距离

6v6qB

为6,当e增大时，粒子从PQ上离开磁场的位置下移，直到粒子运动轨迹与PQ相

切；9继续增大，则粒子不能从PQ边界射出；粒子运动轨迹与PQ相切时，由半径R=2a

可知，粒子转过的甬度为60°,所以出射点在PQ上O点的水平线下方巡a处；所以PQ

边界上有粒子射出的长度为2百a,故D正确.

XTJ.

XX义'、¥

\B

x0

题型3“放缩圆”模型

同种带电粒子速度方向相同，大小不同.粒子进入匀强磁场时，这些带电粒

适用条件

子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化

如图所示（图中只画出粒子带正电的情境），速度v越大,

轨迹圆

运动半径越大.带电粒子沿同一方向射入磁场后，它们运动轨

圆心共线

迹的圆心在垂直入射速度方向的直线PP'上:：

以入射点P为定点，圆心位于直线PP上，将半径放缩确定运动轨迹，从

而探索出粒子运动的临界条件，这种方法称为“放缩圆”法

3.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为。和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与

圆柱轴线平行，其横截面如图所示.一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场.已知电子

质量为机，电荷量为e,忽略重力.为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，

磁场的磁感应强度最小为（C）

解析为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆

周运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r,轨迹圆圆心为M,磁场的磁感应

强度最小为B由几何关系有+r=3a,解得r=^a,电子在匀强磁场中做匀速圆周

运动有evB=m些，解得B=?巴，选项C正确.

r4ae

题型4“磁聚焦”与“磁发散”模型

原理图像证明

如图甲所示，大量同种带正电的粒

四边形3为菱形，是

子，速度大小相同，平行入射到圆

6特殊的平行四边形，对边

形磁场区域，不计粒子的重力及粒

平行，必平行于AO

磁聚焦子间的相互作用，如果轨迹圆半径

.（即竖直方向），可知从

与磁场圆半径相等（R=r）,则所

A点入射的带电粒子必然

有的带电粒子将从磁场圆的最低点

经过B点

B点射出

如图乙所示，有界圆形磁场的磁感

所有粒子运动轨迹的圆心

应强度为2,圆心为0,尸点有大

与磁场圆圆心。、入射

量质量为优、电荷量为q的带正电

点、出射点的连线为菱

粒子，以大小相等的速度v沿不同

形，也是特殊的平行四边

磁发散方向射入有界磁场，不计粒子的重

形，OiA、0殂、03c均平

力及粒子间的相互作用，如果带正

图乙行且等于P。，即出射速

电粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场

度方向相同（均沿水平方

半径相等，则所有粒子射出磁场的

向）

方向平行

4.如图所示，半径为R的;圆形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为

B,磁场的左边垂直无轴放置一线形粒子发射装置，能在OWyWR的区间内各处沿x轴正方

向同时发射出速度相同、带正电的同种粒子，粒子质量为加、电荷量为q,不计粒子的重

力及粒子间的相互作用力，若某时刻粒子被装置发射出后，经过磁场偏转击中y轴上的同

一位置，则下列说法中正确的是（D）

A.粒子都击中。点处

B.粒子的初速度为詈

2m

C.粒子在磁场中运动的最长时间为千

qB

D.粒子到达y轴上的最大时间差为焉一苴

解析由题意，某时刻发出的粒子都击中y轴上一点，由最高点射出的粒子只能击中（0,

R）,可知击中的同一点就是（0,R）,A错误；从最低点射入的粒子也击中（0,R）,

由几何关系可知粒子做匀速圆周运动的半径为R,由洛伦兹力提供向心力得qvB=m匕，则

速度v="2B错误；偏转角最大的粒子在磁场中的运动时间最长，显然从最低点射入的

m

粒子偏转角最大，为90：故其在磁场中的运动时间最长，时间t=^T=^X空空=您，C

44qB2qB

错误；从最高点直接射向（0,R）的粒子到达y轴的时间最短，则最长与最短的时间差为

ARTtmm八十『女

At=t—=——,D正确.

v2qBqB

朕基础练知识通关

1.如图所示为边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD,带电粒子从A点沿

AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从

4。的中点尸垂直射入磁场，则从。C边的M点飞出磁场（M点未画

出）.设粒子从A点运动到C点所用的时间为小从P点运动到M点所用

的时间为益.带电粒子重力不计，贝Li：叁为（C）

A.2：1B,2：3C.3：2D.1

解析画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向

下平移，粒子做圆周运动的半径为R=L,从C点射出的粒子运动时间为

R

tl=-;由P点运动到M点所用时间为t2,圆心角为cos0则

4R2

T

8=60°,故t2=g所以£=今=|，C正确.

26

2.[2021全国乙]如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量

为加、电荷量为q（q>0）的带电粒子从圆周上的加点沿直径V0N/

方向射入磁场.若粒子射入磁场时的速度大小为V1,离开磁场时速度M\xxOx

\XXXX/

方向偏转90。；若射入磁场时的速度大小为V2,离开磁场时速度方向'..XX」，

偏转60。.不计重力，则”为（B）

B-TD.V3

解析设圆形磁场区域的半径为R,粒子的运动轨迹如图所示，沿直径

MON方向以速度vl射入圆形匀强磁场区域的粒子离开磁场时速度方

向偏转90°,则其轨迹半径为rl=R,由洛伦兹力提供向心力得qvlB

=m或，解得vl=避；沿直径MON方向以速度v2射入圆形匀强磁场

r-im

区域的粒子离开磁场时速度方向偏转60°,由几何关系得tan30°=-,可得其轨迹半径为

r2

r2=V3R,由洛伦兹力提供向心力得qv2B=m吱，解得v2=渔蟠，则以=:=立，B正确.

丁2??11?2V33

3.［多选］如图所示，空间中存在一半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖

直放置的足够长的感光板.大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点尸以速率v沿不同方向

垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子.粒子质量为"3电荷量为

q,不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力.关于这些粒子的运动，以下说法正确的是

(ACD)

A.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的时间越短

B.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的时间越长

C.若粒子速度大小均为v=幽,出射后均可垂直打在MNk

m

D.若粒子速度大小均为v=蟠，则粒子在磁场中的运动时间一定小于胃

mqB

解析对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，轨迹对应的

圆心角越小，由1=21=也可知，运动时间越短，故A正确，B错误.粒子速度大小均为v

211qB

=幽时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径r=虻=R,根据几何关系可知，

mqB

入射点P、O、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO平

行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上；根据几何关

系可知，轨迹对应的圆心角小于180°,粒子在磁场中的运动时间tV^T=吧，故C、D正

2qB

确.

4.［2023豫北名校联考/多选］如图所示，直角三角形A3C区域内有一方向垂直纸面向里、磁

感应强度大小为8的匀强磁场，NA=30。，48=L在4点有一个粒子源，可以沿AB方向

发射速度大小不同的带正电的粒子.己知粒子的比荷均为k,不计粒子间相互作用及重力，

则下列说法正确的是（CD）

A.随着速度的增大，粒子在磁场中运动的时间变短久

B.随着速度的增大，粒子射出磁场区域时速度的偏转角变大p\

C.从AC边射出的粒子的最大速度为竽

D.从AC边射出的粒子在磁场中的运动时间为三；

解析

从4c边（在磁场中偏转角度e相同，B错误

射出的《„

粒子1在磁场中的运动时间仁整相同，A错该

空还，C正确

能力练重难通关

5.［多选］如图所示，正方形abed区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，0

点是cd边的中点.一个带正电的粒子（重力忽略不计）从。点沿纸面以

垂直于cd边的速度射入正方形区域内，经过时间如刚好从c点射出磁场.

现设法使该带电粒子从。点沿纸面以与Od成30。角的方向（如图中虚线所示）且以各种不

同的速率射入正方形区域内，那么下列说法正确的是（AD）

A.该带电粒子不可能从正方形的某个顶点射出磁场

B.若该带电粒子从油边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能为|加

C.若该带电粒子从be边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能为|而

D.若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定为，

解析带电粒子以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c

点射出磁场，则知带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T=2t0.如图

所示，随粒子速度逐渐增大，轨迹由①一②一③一④依次渐变，由图可以

"AB

知道粒子在四个边射出时，不可能从四个顶点射出，故A正确；由几何关

系可知粒子从ab边射出时经历的时间小于半个周期t0,从be边射出时经历的时间小于

-T,从cd边射出时轨迹所对的圆心角都是300°,经历的时间为二=也，故B、C错误,

363

D正确.

6.如图所示，在屏的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里.P

为屏上的一个小孔，PC与MN垂直.一群质量为相、带电荷量为一q的粒子（不计重力）,

以相同的速率v从尸处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域.粒子入射方向在与磁场B垂直的

平面内，且散开在与PC夹角为9的范围内.则在屏上被粒子打中的区域的长度为

（D）

.2mvC

A.——XDXX：XXX

qBD

X.、XX：XX,x

n2mvcos3、:，/

x火、gx-jqe,,义x

xxxx

MP

qB

qB

解析当粒子初速度方向与MN垂直时，粒子打中屏MN上被粒子打中的区域的最右端，

到P点的距离xl=2r=刎；当粒子初速度方向与PC夹角为9时，粒子打中屏MN上被

qB

2mvcos0

粒子打中的区域的最左端，到P点的距离x2=2rcos9=f故在屏MN上被粒子打中

qB

的区域的长度为X1—x2=2m",D正确.

qB

7.[1形化/多选]如图所示，纸面内有宽为工、水平向右飞行的带电粒，二T

子流，粒子质量为相，电荷量为一q,速率为％,不考虑粒子的重力及粒|--

子间的相互作用，要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框带电粒了流

内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是下列选项中的(其

中员=安，A、C、D选项中曲线均为半径为L的;圆弧，B选项中曲线为半径为;的圆)

qL42

(AB)

B=B,B=2B„B=B„B=2B„

ABCD

8.如图所示，正方形区域abed内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab=l,Oa=

0.4/,大量带正电的粒子从O点沿与边成37。角的方向以不同的初速度vo射入磁场，不

计粒子重力和粒子间的相互作用.已知带电粒子的质量为如电荷量为分磁场的磁感应强

度大小为8,sin37°=0.6,cos37°=0.8.

(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；

(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求vo的取值范围.

答案(1)理皿(2)^<v0<—

90qB4m9m

解析(1)粒子从次?边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲

所示

有物物=遇，又7=陋，解得了=地

RVQBq

图申

又由几何关系得。=74。，则粒子在磁场中运动的最长时间

_360°—74°,丁143nm

360°90qB

(2)粒子轨迹与4d边相切时，如图乙所示，设此时初速度为voi,轨迹半径为Ri,由几何

关系可得

R+Risin37°=0.4/

又密知=等，解得知=詈

1Ri4m

粒子运动轨迹与cd边相切时，如图丙所示，设此时初速度为"02,轨迹半径为&,由几何

关系可得

&+&cos370=/

创新练素养通关

9.[4024湖北武汉部分学校调研/多选]如图所示，在