2025届新高考数学一轮复习特训：空间直线、平面的平行 （含答案）

2025届新高考一轮复习特训空间直线、平面的平行

一、选择题

1.已知相，〃表示两条直线，a，。，7表示平面，下列命题中正确的有()

①若二。/=加，且加〃几，则[〃/?；

②若根，〃相交且都在平面a、B外,mlla,mH[3,nila,nll/3,则口〃/?；

③若mlla,mHp,则alip；

④若mHa,mil(3,且mlln,则all0.

A.l^bB.2个C.3个D.4个

2.如图广为平行四边形ABC。所在平面外一点，片为AD的中点尸为尸。上〜点，当B4//

PF

平面£»方时,』=()

1

D.-

2

3.已知加，〃是空间中两条不同的直线，/是两个不同的平面，则下列说法错

误的是()

A.若冽_La,nila,则根_L〃B.若根_La,mlln,则〃_La

C.若,n10,mLa,则。〃/?D.若加_La,mVn,则M/a

4.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖席.在如图所示的鳖席

A-5CD中,AB,平面BCD,BDLCD,E,F分别为BC,AD的中点，过EF的截面a与

AC交于点G,与BD交于点“，AB=1，若〃截面a，且CD//截面a，四边形GEHF

是正方形，则CD=()

A

A.lB.lC.-D.2

22

5.已知/,机，〃是三条不同的直线,a,0,y是三个不同的平面，则下列命题中正确的为

()

A.若lllm^ocllP，/J_a3则mV/3

B.若则〃

C.若a_1_尸,，_Ly,则ally

D.若必m,mLn,lua,nua，则m±a

6.设tz,B是两个不同的平面，加，/是两条不同的直线，且(/n，=/，贝U

"mill"是"mH[3JLm//a”的()

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

7.如图，在正方体A5CD-4用£2中，°为底面ABCD的中心,P是。口的中点，设Q是

CG上的点，当点。在位置时，平面D.BQ//平面PAO,().

A.Q与C重合B.Q与G重合

C.Q为CG的三等分点D.Q为CG的中点

8.设/是直线，a,4是两个不同平面，则下面命题中正确的是()

A.若〃/a,////?,则(z〃夕B.若〃/a,/_!_/,则

C.若/a工B,则〃/aD.若〃/a,aL(3,则/J_/?

二、多项选择题

9.如图，已知正方体ABCD-A及G2的棱长为2,点M为CC［的中点，点P为正方形

4耳G。上的动点，则（）

A.满足MP〃平面BD4］的点P的轨迹长度为0

B.满足〃p_LAM的点P的轨迹长度为2也

3

C.存在唯一的点尸满足NAPM=-

2

D.存在点P满足E4+pw=4

10.下列说法不正确的是（）

A.若直线a,6没有交点，则a,6为异面直线

B.若直线0〃平面a,则a与a内任何直线都平行

C.若直线a,平面a,平面a〃平面p,则直线平面/3

D.如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

11.如图，一块边长为10cm正方形铁片上有四个以。为顶点的全等的等腰三角形（如

图1），将这4个等腰三角形裁下来，然后用余下的四块阴影部分沿虚线折叠，使得A,4

重合,3,B'重合CC'重合Q,D,重合,6，鸟，鸟，A重合为点R得到正四棱锥O-ABCD

（如图2）.则在正四棱锥O—.CD中，以下结论正确的是（）

PAO

二，

图1图2

A.平面Q4C，平面08。

B.AD〃平面0BC

C.当AP=2cm时，该正四棱锥内切球的表面积为gMcm2）

D.当正四棱锥的体积取到最大值时,AP=4（cm）

三、填空题

12.如图，在棱长为3的正方体ABCD-A4GA中，航在线段上，且

CM=；3C，N是侧面CDQG上一点，且〃平面则线段的最大值为

13.如图，棱长为2的正方体ABCD-A4C1。中，E,P分别是线段4c和AG上的

动点.对于下列四个结论:

①存在无数条直线EPH平面AA}ByB；

②线段EP长度的取值范围是［2,2g］；

③三棱锥P-ACE的体积最大值为g；

④设E,尸分别为线段与。和AG上的中点，则线段EP的垂直平分线与底面的交点构

成的集合是圆.

则其中正确的命题有.

14.已知直线m,n,平面a,夕，若夕，mca,nu/3,则直线m与n的关系是

四、解答题

15.如图,四棱锥P—ABCD中,B4=PB=AB=A£)=2,5C=4，AD//BC，ADJ_AB，AC

与交于点。，过点。作平行于平面上钻的平面a.

(1)若平面a分别交PC，5C于点瓦厂,求△OEF的周长；

(2)当/>£>=20时,求平面a与平面PCD夹角的正弦值.

16.如图,已知点P是平行四边形ABCZ)所在平面外的一点,E、尸分别是PA、50上的

点且E、歹分别是P4、的中点.求证：Ef7/平面P8C.

17.如图，在正方体ABCD-A4££>i中,E为8月的中点.

(2)求直线AAi与平面所成角的正弦值.

18.如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中,d_L平面是尸£)的中点.

⑴求证：Pfi〃平面"C；

(2)求证：平面PDC，平面PAD-

19.如图，P。是三棱锥P—ABC的高，PA=PB,AB±AC,E为P3的中点.

(1)证明：0E〃平面必C.

(2)若NABO=NC8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—AE—3的正弦值.

参考答案

1.答案：A

解析：对于①，若。口了=根，，ri/="，且则。〃区或相交，故①错误；

对于③和④，。与，也可能相交，均错误；

对于②，设机，〃相交确定平面y,根据线面平行的判定定理知。/夕，pily,根据平

行平面的传递性得知.

故选：A.

2.答案：D

解析：连接AC交5E于G,连接PG,

QPA//平面EB尸,Q4u平面PAC

平面PACI平面BEF=FG,

:.PA//FG,

“FFAG_

故:一=—①

FCGC

又•••AD〃6C4为AD的中点，

AGAE1„

——=——=—②

GCBC2

PF1

由①②可得

FC2

故选:D.

3.答案：D

解析：对于A,当几〃。时，过〃作平面B,使则〃///,因为加_L。，

Iua,所以加所以加_L〃，故A正确；对于B,由线面垂直的性质知B正确;

对于C,因为阴〃几，n10,所以加_L/?,又m_Lo,所以口〃/?,故C正确；对于

D,当机_La,zn_L〃时，〃可能在平面a内，故D错误.故选D.

4.答案：B

解析：如图所示：

A

F

过ER的截面a与AC交于点G,与3。交于点"，则截面a即为四边形GEHR,

又因为A3//锻面a,ABu平面ABC,平面ABC口平面a=GE，

ABu平面ABD，平面ABD[｝平面e=HF,所以AB//GE//HF,

又CD〃截面a，同理可得,CD//GF〃石H，

因为在△ABC中,E为线段BC的中点，所以线段GE是△AB。的中位线，

因为在中产为线段A。的中点，所以线段族是的中位线，

所以点E,H分别是线段的中点，所以线段EH是△BCD的中位线，

所以CD=2EH，又四边形GEHP是正方形，所以a)=2£H=2GE=AB=L

故选:B.

5.答案：A

解析：是三条不同的直线,a,/3,7是三个不同的平面，

对于A,若all/3,则由线面垂直的性质得故A正确；

对于B,若ma,a///3，则l//p或/u分，故B错误；

对于C,若与/平行或相交，故C错误；

对于D,若/J_爪，和J_〃，/ua,“<=a,则机与a平行、相交或mua,故D错误.

故选：A.

6.答案：C

解析：当加〃/时，机可能在a内或者0内，故不能推出加〃夕且加〃a.

当加〃夕且加〃a时，设存在直线〃ua,nU(3,豆nlIm,因为〃〃/月，所以用/户,根

据直线与平面平行的性质定理，可知“〃/,所以加〃/.

故"m///"是"mll13且mlla"的必要不充分条件.

7.答案：D

解析：在正方体中，

因为。为底面ABCD的中心,P是。2的中点”

所以PO/AB2，

设Q是CG上的点，当点Q在CG的中点位置时，PQUAB,

所以四边形ABQP是平行四边形，所以AP//BQ,

因为APnP0=P，BQnB2=B,

AP,pou平面APO,BQ,BD[u平面BQDX,

所以平面D.BQ//平面PAO,

故选:D.

8.答案：B

解析：A：若〃/a,〃/，，则M/尸或相交，故A错误；

B：若l〃a,1工/3,由线面平行和垂直的性质可得tzJ_/7,故B正确;

C：若I1/3,a，B,则〃/a或/ua,故C错误；

D：若〃/a,aV/3,贝U/，尸或/〃尸或/u，，故D错误；

故选：B.

9.答案：AC

解析：对于A,取4G的中点。,2G的中点N,又点〃为eq的中点，

由正方体的性质知MQHA.D,NQ//BD,MQ[}NQ=Q,A^D^BDD,

所以平面MQN//平面BDA,，又MPu平面MQN,.L〃平面BDA,,

故点P的轨迹为线段加0=4n=血,故人正确；

以D为原点，分别以DA,DC,DD｝为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则A(2,0,0),M(0,2,1),设P(x,y,2),且0VX42，0VyV2,

AP=(x-2,y,2),MP=(x,y-2,l),AM=(-2,2,1)

对于B,AM.MP=-2x+2(y-2)+l=-2x+2y-3=0,^y=x+-,

又0WxW2,0<y<2,则点P的轨迹为线段族,«0,：21/\,2,21

且所=、日3=也，故B错误；

V442

对于C,AP-MP=(%—2)x+(y—2)j+2=x2—2x+y2—2j+2=(x—1)"+(y—1)"

显然，只有x=l,y=l时,Q.砺=o,即/,秘，故存在唯一的点P满足/APM=，故

C正确；

对于D,点M关于平面43cA的对称点的为加'(0,2,3),三点共线时线段和最短，

故P4+PM2AM'二亚彳^^:JI7>4,故不存在点「满足Q4+PM=4,故D错误.

故选:AC

10.答案：AB

解析：对于A,直线a,6没有交点，则直线a,人为平行直线或异面直线，故A错

误；

对于B,直线a〃平面a,则。与a内任何直线都没有交点，则。与a内直线可能

为平行直线或异面直线，故B错误；

对于C,直线a,平面c,则e内一定存在两相交直线，不妨设为机典满足

由平面a〃平面0,过机作一平面与0相交，交线设为加，

则加〃加，同理过“作一平面与，相交，交线设为"，则必7”，

则加'，〃'相父'则a_1_加,a_!_〃'，

故直线ad_平面B，故C正确；

对于D,如果空间中两个角的两条边分别对应平行，根据等角定理可知，这两个角相

等或互补，故D正确，

故选：AB

11.答案：ABD

解析：对于A,连接。尸,在正四棱锥o—ABCZ)中,Q4=0C，由折叠可得，尸为AC的中点,

所以

因为四边形ABC。为正方形，所以即APLBD，

因为BOPIOP=O，BD，OPu平面OBD,所以AP，平面OBD，

因为APu平面。4。所以平面。4C，平面0B。，所以A正确，

对于B,因为AT)//3C，ADz平面0BC，6CU平面08C，所以AD〃平面OBC，所以B正确,

对于。当”=25时，因为四边形他。为正方形，所以43=2也，

因为在图1中,为等腰直角三角形，所以A2=2,所以=2,

因为正方形铁片的边长为10,所以°4=后，=用

所以△OAB中边上的高为

JOA2-^AB^=g_2=Zi，0p=do曾—AP?=,34—4=而,

所以%.ABc»=gx；x4x4x而

设内切球的半径为厂,则VO_ABCD=|SABCD-r+4x|sAOB-r,

所以8y=—x-x4x4r+4x-x—x2A/2X4忘厂，解得r=,

332325

所以该正四棱锥内切球的表面积为4a2=4J画]=生（cn?）,所以C错误，

55v7

对于D,设AP=%，则OA=J（5—工、+52，OP=7（5-x）2+52-x2=依-10尤，

2

所以V0_ABCD=gx2xx2xxgV50-10x=x小一x，

令y/5^x=fe（0,行），则VO^ABCD=（25—10产+/»,令y=（25—10产+六）人

则y=（25-30/+5?）=（/—5）（/—1）,

令了=0,则〃=5（舍去），或r=i，

当0</<1时,y'>0,当1<产<5时,了<。

所以当y=1，钎=4时,y有最大值过0,所以D正确，

3

12.答案：V14

解析：如图，

线段C。上取一点E,使得CE=-CD,在线段。2上取一点F,使得D.F=-DD.,

3131

连接ME，EF，CDj

mCMCED[F1匚匚2,

因为=不=亍打=£，所以ME//BD，EFIICD[,

nCC/JUUXJ

又ABHCD、,所以EF〃AB,

因为ME.平面AB。，mu平面所以ME〃平面ABD,

同理，因为EFa平面4由），45U平面43。，所以EF〃平面4友），

又MECEF=E，所以平面MEF〃平面A3。，因此，N在线段所上.

因为=，产+4=虚,^F=A/F+3?+?=V14(

所以线段MN的最大值为V14•

故答案为：V14

13.答案：①③

解析：对①：过P作PK//4耳，KE〃BB[交B]C于■E,连接EP,则EP〃平面明用5,

因为尸点再AG上运动，故满足条件的直线中有无数条.所以①正确；

对②：当E与用重合，P为中点时，EP=42,所以£?长度取值范围是[2,26]

是错误的；

对③：

因为直线AC〃平面AB。，所以「到平面AB1。的距离为定值，是正方体体对角线的

所以当E与四重合时，底面积最大，此时P-ACE的体积最大，为

3

VP-ACE=1X^X(2^)=所以③正确；

对④，当E,P位置确定时，线段EP的垂直平分线构成一个平面，它和底面的交点应

该是一条直线，所以④错误.

故答案为：①③.

14.答案：平行或异面

解析：由题意M/6，mua,nu0

故直线m与n没有交点

故直线机与〃平行或异面

故答案为：平行或异面

15.答案：⑴4

⑵地,

5

解析：（1）由题意可知,四边形ABCD是直角梯形，

:.Z\AOD与ACOB相似，又AD=-BC,

2

AO=-OC,OD=-OB,

22

因为过点。作平行于平面的面a分别交PC，BC于点瓦E

即平面OEF〃平面以5，平面。石尸。平面必。=所,平面依。「平面PAB=PB，

平面OMn平面=平面总平面PAB=PA，

平面OE歹「平面ABC=OF,平面ABC。平面PAB=AB，

由面面平行的性质定理得OEHPA,OF//AB,EF//PB,

所以△中与△OEF相似，相似比为3:2,即丝=廿=必=之，

OFOEEF2

因为△BIB的周长为6,所以△OEF的周长为4.

（2）•.•平面a〃平面从8，二平面a与平面PQ）的夹角与平面Q4B与平面PQ）的夹角相

等，

AD=2，PA=2，PD=2C，：.PD2=AD2+B42'

又4£>，45,48口%=4,4比上4<=平面^钻，二ADJ_平面

ADu平面ABC。，二平面PAB，平面ABCD，

取AB的中点G,因为△ABC为等边三角形，.'PG，AB，平面PABC平面ABCD=AB，

PGu平面MB,PGJ_平面ABC。，

以A点为原点,A3所在直线为x轴,A£）所在直线为y轴，过点A与PG平行的直线为z

轴，

建立如图所示空间直角坐标系，

则A（0,0,0）,r＞（0,2,0）,p（l,0,73）,C（2,4,0）,15=（0,2,0）,DC=（2,2,0）,DP=（1,-2,73）,

设平面PCD的法向量3=（x,y,z）,

则匡小，即尸2y=：,

DPn=0[x-2y+yj3z=0

取x=l,则3=（1,—

A。_L平面me,.•.9是平面e钻的一个法向量，

设平面a与平面PC。夹角为。，则35。=吗5=」=立,所以sine=35，

|AD||H|A/555

所以平面a与平面PC。夹角的正弦值为35.

5

16.答案：证明见解析.

解析：因为在平行四边形ABCZ）中尸是5。的中点，

所以歹是AC的中点，

因为E是24的中点，所以EF〃PC，

又EF平面PBC，PCu平面PBC，

所以所〃平面PBC

17.答案：（1）证明见解析；

（2）

3

解析：（1）［方法一］:几何法

如下图所示：

在正方体ABCD-4男£。中,ABHA\B［且A3=4用,\BJIC.D,且凡用=CR,

ABIIC.D,且A3=G。，所以,四边形ABC.D,为平行四边形，则BCJIAD1,

BQ（Z平面ADtE,ADlu平面ARE,BCJ/平面AQE；

【方法二］:空间向量坐标法

以点A为坐标原点,A。、AB>AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间

直角坐标系A-xyz,

设正方体ABCD-AKGR的棱长为2,则A（o,o,o）、4（。，。，2）、n,（2,0,2）>

£（0,2,1）,宿=（2,0,2）,荏=（0,2,1）,

设平面A*的法向量为分=（3z）,由[〃"'设得[2X+2Z=。，

I，[n-AE=012y+z=0

令2=—2，贝1%=2,丁=1,贝1为=（2,1,—2）.

又向量西=（2,0,2）,普工=2x2+0xl+2x（—2）=0,

又•••5C].平面A2E，。3C]〃平面A'E；

（2）[方法一]:几何法

延长CQ到£使得C[F=BE，连接EF，交用G于G,

又•••CQ/BE,，四边形3E/G平行四边形，二8£//所，

又；BCJ/AD,,:.ADJ/EF，所以平面ADXE即平面ADXFE,

连接D]G，作CXH1Z>1G,垂足为H,连接PH，

•••FC]1平面A51GD1，D[GU平面AB1G2，Dfi,

又：FQHC[H=G，直线D[G1平面GFH,

又直线DXGu平面D[GF,平面D[GF±平面CXFH,

G在平面RGF中的射影在直线FH上,直线FH为直线FC】在平面DXGF中的射

影,NC/"为直线/a与平面QGF所成的角，

根据直线FCJ1直线AA，可知ZQFH为直线441与平面ADiG所成的角.

7vl?

设正方体的棱长为2,则C[G=GF=1,D1G=5：.CIH=/=忑,

'_3

，切=J1+飞

sinZC1FH=1^=|

即直线AA与平面A"E所成角的正弦值为土

3

［方法二］:向量法

接续（1）的向量方法，求得平面AQE的法向量3=（2,1,-2）,

-----►〃.42

X-.-M=（o,0,2）,­•--<«,M>=^=-^=--,

直线AA|与平面AD|E所成角的正弦值为三.

3

［方法三］:几何法+体积法

如图，设用G的中点为E延长A4，AE,D尸易证三线交于一点P-

因为54//441,EF//A2，

所以直线AA］与平面所成的角,即直线31E与平面PEF所成的角.

设正方体的棱长为2,在△PEF中，易得PE=PF=非，EF=也.，

可得S“EF=(

由咚棱鸭-PEF=/棱细-叱，得由“《X/XlxlxZ,

整理得4“=2.

13

所以sinNB^EH=殳乜=2.

B［E3

所以直线AA与平面A'E所成角的正弦值为工.

3

［方法四］:纯体积法

设正方体的棱长为2,点儿到平面AED｝的距离为h,

在△AEQ中,人£=火，*=2枝,D、E=3,

,加CD,E2+AE2-AD^9+5-8A/5

cosZAED.=---------------=------==—,

2D.EAE2x3xV55

所以sinZAED,=孚，易得S^AED)=3.

V

由“.向=At-AED,，得-5村q4，4用=3〃，解得〃=t，

a?

设直线AA与平面AER所成的角为6，所以sine=/-=3.

1193

18.答案：(1)证明见解析;

(2)证明见解析.

解析：（1）连接5。交AC于点G,连接EG.

四边形ABCD是矩形,,G是的中点.

又E为。。的中点,PB//EG-

•;EGu平面EAC,P6.平面EAC,〃平面E4c

⑵上4_L面ABC。，CDu面ABC。,，CD.

ABCD