2025高考数学专项复习：等比数列（含答案）

2025高考数学专项复习第七章数列第三节等比数列

课标解读考向预测

预计2025年高考会从以下两个角度来考查：

1.理解等比数列的概念.(1)等比数列及其前〃项和的基本运算与性质，

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.可能与等差数列综合出题，难度较小；(2)等

3.了解等比数列与指数函数的关系.比数列的综合应用，可能与函数、方程、不

等式结合考查，难度中档.

必备知识——强基础

知识梳理

1.等比数列的概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于画同一个常数,那么

这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然#0).

数学语言表达式：卫=画式w22,q为非零常数).

〃〃一1

(2)等比中项：如果在。与6中间插入一个数G,使a,G,6成等比数列，那么G叫做a与b

的等比中项.此时32=画磴.

提醒:⑴“G2=a)”是“a,G,6成等比数列”的必要不充分条件.

(2)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.

(3)等比数列的奇数项符号相同，偶数项符号相同.

2.等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列｛a.｝的首项为可，公比是分则其通项公式为斯=画力仁1；

nm

通项公式的推广：an=amq~.

(2)等比数列的前n项和公式：当q=l时，Sn=nai；当申时，S“=画也［：):.

3.等比数列的性质

已知｛斯｝是等比数列，S,是数列｛斯｝的前〃项和.

(1)若女+/=m+〃(左，I,m,n€N*),则有内回=叵同生皿.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即公，ak+m,诙+2如…仍是等比数列，公比为

画贮.

（3）当行一1,或q=—1且〃为奇数时，S„,S2„-Sn,S3,,—S2“，…仍成等比数歹U,其公比为画

心

常用

1.若数列｛斯｝,｛勿｝（项数相同）是等比数列，贝IJ数列｛w｝（分0）,｛%|｝,｛届｝,［十，｛。,瓦｝,

（到也是等比数列.

2.由斯+i=qa”，q半0,并不能立即断言｛斯｝为等比数列，还要验证内加.

3.在运用等比数列的前"项和公式时，必须注意对q=l与分类讨论，防止因忽略4=1

这一特殊情形而导致解题失误.

4.三个数成等比数列，通常设为*尤，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为千，・

xq,xq5.

5.若已知等比数列｛④｝,公比为q,前九项和为S"则二^-=言/+为=勿〃

-W0,^1）,即S”为关于〃的指数型函数，且q"的系数与常数项互为相反数.

6.｛斯｝为等比数列，若am…则T”，景,要，…成等比数列.

7.若｛诙｝为正项等比数列，贝U｛logca"｝（c>0,存1）为等差数列.

8.若｛斯｝为等差数列,则｛ca〃｝（c>0,存1）为等比数列.

9.若｛斯｝既是等差数列又是等比数列=｛诙｝是非零常数列.

10.（1）项的个数的“奇偶”性质，在等比数列｛④｝中，公比为/

①若共有2”项，贝!IS假：S奇=q；

②若共有2n+1项，则%包=%

3偶

n

（2）分段求和：Sn+m=Sn~\~qnSm=q=&—一为公比）.

11.等比数列的单调性

当4>1,句>0或5<0时,｛%｝是递增数列；

当q>l,m<0或0<q<l,的>0时，｛“”｝是递减数列；

当4=1时，｛诙｝是常数列.

诊断自测

i.概念辨析(正确的打“卡，错误的打“X”)

(1)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是〃=℃.()

(2)数列｛斯｝为等比数列，则S4,Ss-S4,S12—S8成等比数列.()

⑶满足总I=M(，7€N*,q为常数)的数列｛为｝为等比数列.()

(4)如果数列｛诙｝为等比数列，则数列｛In斯｝是等差数列.()

答案(l)x(2)x(3)x(4)x

2.小题热身

(1)已知各项均为正数的等比数列｛诙｝的前4项和为15,且的=3。3+46，则侑=()

A.16B.8

C.4D.2

答案C

fai+ai<7+ai<72+<7i<73=15>

解析设各项均为正数的等比数列｛斯｝的公比为小贝乂42,解得

团1=1，

1一2所以。3=。可2=4.故选C.

(2)若等比数列｛跖｝的前”项和S〃=3"+b,则6=()

A.3B.1

C.-1D.0

答案C

解析当”=1时，ai=Si=3+6,当九22时，a“=S”-S"—i=(3"+6)-(3Li+b)=23Li,当

6=—1时,。1=2适合a”=2・3"-i,｛斯｝是等比数列.当厚一1时，的不适合a“=2・3"-i,｛an｝

不是等比数列.故选C.

(3)(人教A选择性必修第二册4.3.1练习T2改编)在等比数列｛a“｝中，的=2,s=8,则°5=()

A.5B.±5

C.4D.+4

答案C

解析,底=°3。7=2义8=16,，。5=±4.又。5=a3q2>。，，。5=4.故选C.

(4)(人教A选择性必修第二册432练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13,

积等于27,则这三个数为.

答案1,3,9或9,3,1

。+北的=13，卜=3，g=3，

解析设这三个数为*a,aq,贝R解得＜1或＜°，这三个数为1,

qaq=41q=3，

\^a---aq—21，["3

3,9或9,3,1.

考点探究——提素养

考点一等比数列基本量的运算

例1(1)(2023•全国甲卷)设等比数列｛斯｝的各项均为正数，前w项和为S“，若©=1,$5=

5加一4,则$4=()

15「65

AA-TB.g

C.15D.40

答案C

解析由题意知l+q+q2+g3+g4=5(]+q+g2)—%gp^3_|_^4—即以g—2)(q+l)(q

+2)=0.由题意知4>0,所以q=2,所以$4=1+2+4+8=15.故选C.

39

(2)在等比数列｛斯｝中，43=5，$3=1，则。2的值为()

3

A.2B.—3

C.—D.—3或方

答案D

解析由S3=ai+〃2+〃3=〃3(9-2+9一1+1),得/2+g-1+1=3,即2/一夕―i=0,解得夕=

1或4=一所以42='=1或一3.故选D.

【通性通法】

等比数列基本量运算的解题策略

等比数列的基本量为首项at和公比q,通常利用已知条件及通项公式或前n项和

方程思想

公式列方程(组)求解，等比数列中包含⑶，q,n,an,S“五个量，可“知三求二”

当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用的，q表示，寻求两者间的联系，

整体思想

整体代换即可求解

分类讨论若题目中公比q未知，则运用等比数列前〃项和公式时要分q=l和qWl两种情

思想况进行讨论

【巩固迁移】

1.(2024•福建泉州中学阶段考试)记S,为等比数列｛斯｝的前〃项和，若〃5一。3=12,丽一。4=

24,贝噜=()

A.2"-1B.2-21-"

C.2一2"-1D.21-"-1

答案B

CU5—-a1q2=12，[。1=1，

解析解法一：设等比数列｛斯｝的公比为4,则由彳_53_解得4所

一。4—a、q-a、q—24，[q—2，

以S.=m=2"_1,如=0八=2"一1,所以拿=记=2—2~故选B.

1q斯z

解法二：设等比数列｛斯｝的公比为4,因为詈琮d：5二｝=春券2,所以尸2,所

(1-g")

以4=:渭=裂=2—2广”.故选B.

UnCliqZ

2.(2023•全国甲卷)记&为等比数列｛砺｝的前〃项和.若8s6=7S3,则｛斯｝的公比为.

答案V

解析若q=l,则由8s6=7S3得8・6m=7-3ai,则的=0,不符合题意，所以#1.当g1时，

因为8s6=753，所以8-一仁一=7.-W—,即8(1—q6)=7(l一或)，即8(1+«3)(1一

g3)=7(l—q3),即8(l+q3)=7,解得q=—/

考点二等比数列的性质及其应用(多考向探究)

考向1等比数列项的性质

例2⑴在各项都为正数的等比数列｛诙｝中，已知0＜勾＜1,其前〃项之积为T”，且/2=々，

则G取得最小值时，n的值是.

答案9

解析由T12=(5，得牛=1,即。7。8。9。10。11。12=(。900)3=1,故。9。10=1，因为。1。18=。9。10,

则0018=1，由于得。18＞1，所以等比数列｛&｝是递增数列,故0。9＜1＜为0，则及

取得最小值时，n=9.

12

(2)(2023・湖南师大附中模拟)在等比数列｛斯｝中，的+〃2+。3+。4+。5+。6+。7+〃8=5，〃4。5

2n.,1,1,1,11111,1,1

=—£，则—+—+—+—+—+—+—+——________•

5aia2a3a4。5〃6〃7〃8

答案一6

j。1+恁+〃2+〃7+。3+〃6+〃4+〃5

解析3・・•在等比数列｛斯｝

a\ai。3。4。5"6Cl7〃8〃1〃8a2a7a3a6〃4〃5

22.,5

中，。4。5=一亍贝U。1。8=。2。7=。3。6=。4〃5=—亍・••原式=—](〃1+。2+〃3+〃4+。5+。6+〃7

+〃8)=_|x*-6.

【通性通法】

利用项的性质的解题策略

在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若

策略一

m+n=p+q=2k,贝4Pq=〃针，可以减少运算量，提高解题速度

在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此

策略二

外，解题时注意设而不求思想的运用

【巩固迁移】

3.公比不为1的等比数列｛念｝满足〃5〃6+。4〃7=8,若〃2am=4,则根的值为（）

A.8B.9

C.10D.11

答案B

解析•公比不为1的等比数列｛斯｝满足。5〃6+〃4〃7=8,，恁恁=团劭二%又“2。加=4,.二？

+加=5+6=11,解得机=9.故选B.

4.（2023•北京东城区模拟）设等比数列｛斯｝满足〃I+〃2=48,04+05=6,则公比q=,

10g2（〃l〃2〃3…斯）的最大值为•

答案115

解析因为。1+。2=48,所以由〃4+。5=6,可得夕3（的+〃2）=6,^3=g,9=3.由。1+。2=48,

1mn_1__

6n546n

可得。1+于1=48=〃1=32,所以an=32-\^J=2~flog2（«i6Z2«3...an）=log2（2-2-...-2~）=

2n(11—n)e“(11—九)1，11Y,121*.

Iog22=-------2-------，因为-----2-------=—，"一句+~^~，及€N,所以〃=5或6时,

n（11一九）

・有最大值，为

215.

考向2等比数列前n项和的性质

例3（1）（2023・新课标II卷）记S〃为等比数列｛诙｝的前〃项和，若&=—5,S6=21S2，则&

=()

A.120B.85

C.-85D.-120

答案C

解析解法一：设等比数列｛斯｝的公比为必若4=1,则S6=6m=3x2〃i=3S2,与题意不符，

tf(1一/)a\(1一成)a\(1一/)…

所以疗1；由&=-5,§6=2]§2可何，\=—5,=21x"①，

由①可得，1+如+/=21,解得“2=4,所以&=-；1;.=幻；4)x(l+/)=_5x(l

+16)=-85.故选C.

解法二：设等比数列｛。〃｝的公比为夕，因为S4=—5,S6=21S2，所以行一1,否则S4=0,从

而S2,S4-S2,S6-S4,S8—S6成等比数列,所以(一5—S2)2=S2(21S2+5),解得S2=-1或S2

=不当512=-1时，S2,S，—Sz,5r6-$4,&—$6,即为一L—4,—16,Ss+21,易知战+21

=-64,即S8=—85；当$2=1时，54=。1+。2+。3+。4=(。1+〃2)(1+/)=(1+/)S2>0,与S4

=-5矛盾，舍去.故选C.

(2)已知等比数列｛斯｝共有2〃项，其和为一240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比4

答案2

S奇+5偶=—240,S奇=—80,—160

解析由题意，得，解得，S『T6。，所以打工=-80=2-

S奇一S偶=80,

【通性通法】

等比数列的性质分类

类型一通项公式的变形

类型二等比中项的变形

类型三前n项和公式的变形

提醒：应用时根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.

【巩固迁移】

5.等比数列｛%｝的前〃项和为S”若—1,贝卜=()

A.2B.-2

C.1D.-1

答案A

解析设等比数列的公比为q,当4=1时，S"=mii，不符合题意；当仍4时，等比数列的前

w项和公式为?_"〃）=_，•/+—,依题意义=八2『1—1=%2—1,即1+（一

]—q1—q1~q22

1）=0,解得f=2.故选A.

6.（2024•湖南岳阳一中月考）已知正项等比数列｛斯｝的前n项和为Sn,且S8-2S4=5,则o

+aio+au+ai2的最小值为.

答案20

解析在正项等比数列｛斯｝中，S„>0,因为S8—254=5,则S8—S4=5+S4，易知叉，S「SA,

S12—S8是等比数列，所以（&—S4）2=S4,（Si2—Sg）,所以Sn~S^=q=5^+84+

10》2\S+10=20（当且仅当S4=5时取等号）.因为〃9+010+111+〃12=S12—S8，所以。9

+〃io+〃ii+〃i2的最小值为20.

考向3等比数列前〃项和最值问题

例4（多选）（2024.河北涿州模拟）设等比数列｛斯｝的公比为9，其前〃项和为％,前〃项积为

CLKY）^1

Tn,并满足条件〃2023〃2024>1，、7<。，下列结论正确的是（）

“2024—1

A.S2023Vs2024

B.〃2023〃2025—1<0

C.“024是数列｛4｝中的最大项

D.数列｛〃｝无最大项

答案AB

。20231

解析当“<0时，”2023。2024=。布234<。，与已知矛盾；当时，。2023>1，。2024>1，7

02024-1

>0,与已知矛盾，故且。2023>1，0<。2024<1，故52024>$2023，A正确；。2023a2025

—1=血24—1<0,B正确；办23是数列｛%｝中的最大项，C,D错误.故选AB.

【通性通法】

涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.

【巩固迁移】

7.（2023•安徽安庆模拟）已知等比数列｛。“｝的公比为q,前“项和为S",若q>0,则须薨的

最小值是.

答案2、”一1

2

名刀+匚上啊S1+S3〃1+〃1+〃2+〃32+q+q2(q+1)—(q+l)+2

解析由题意知,---------9---------=夕+1+

台一1,又q>0,则〃+1+皆^—1N2限一1，当且仅当〃=也一1时，等号成立.即笠3

的最小值是2吸一1.

考点三等比数列的判定与证明

例5%为等比数列｛斯｝的前〃项和，己知。4=9“2，$3=13,且公比g>0.

⑴求斯及当；

(2)是否存在常数九使得数歹U｛S.+2｝是等比数列？若存在，求出入的值；若不存在，请说明

理由.

解⑴易知行1,

a\qi—9a\q’

ai(1—cP)—1'

由题意可得〈、=13,解得.

Il—q[q=3，

q>0'

.1-3"3”—1

•"a—3",S—~.T-=5-

nni—Jz

⑵假设存在常数加使得数列｛S〃+4｝是等比数列，

N+丸=2+1,82+4=4+4,83+4=2+13,

.,.(A+4)2=G+1)(A+13),

解得力=/此时5〃+3=m<3〃，

5„+I+||x3"+1

则——r=-j—=3,

S"+\2x3"

故存在常数使得数歹«S"+3是以方为首项，3为公比的等比数列.

【通性通法】

等比数列的判定与证明的方法

提醒：(1)在解答题中证明一个数列为等比数列时，一般用定义法与等比中项法，判断一个数

列是等比数列，有通项公式法及前力项和公式法，只用于选择题、填空题中的判定.

(2)如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可.

(3)判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.

(4)在利用递推关系判定等比数列时，要注意对w=l的情形进行验证.

【巩固迁移】

8.(2024•江西抚州一中质检)已知数列｛斯｝，｛d｝满足ai19bi2，2Q〃+I〃八+2人〃，2bfi+i

(1)证明：数列｛斯+儿｝,｛斯一6"｝为等比数歹U;

(2)记S”为数列｛斯｝的前"项和，证明：

证明(1)依题意

2bn+\=^an+bn，②

3

又“1+历=办0,

二｛斯+6”｝是首项为3家公比为3)的等比数列,

①一②，得。〃+1—瓦+1=;(斯―瓦).

又0一加=$0,

，｛斯一瓦｝是首项为士，公比为〃的等比数列.

,3<3Y-1

w=X

(2)由⑴得，an~\~^2\4j'

课时作业

基础巩固续

一、单项选择题

1.已知等比数列｛诙｝中，。5=9,。3。8=知。2,则。2〃6=（）

A.27B.9

C.±9D.±27

答案A

解析因为数列｛斯｝为等比数列，所以。3。8=〃2。9=81〃2，可得。9=81,因为45=9,所以

〃59

/=9,/=3,〃3=/=1=3,所以〃2。6=〃3。5=27.故选A.

2.（2023・天津高考）已知｛斯｝为等比数列，8〃为数列｛诙｝的前〃项和，即+i=2S〃+2,则。4的

值为（）

A.3B.18

C.54D.152

答案C

解析解法一：因为an+i—2Sn~\~2,所以当几22时，斯=2S〃—1+2,两式相减，得斯+i—an

=2斯，即斯+1=3斯，所以数列｛斯｝是公比4=^^=3的等比数列.当几=1时，〃2=2SI+2

=2（2I+2,又〃2=3的，所以3〃i=2ai+2,解得〃1=2,所以〃4="I/=2X33=54.故选C.

解法二：设等比数列｛诙｝的公比为q,因为a〃+i=2S“+2,所以公比曲,且牛"=2勾

1q

「_一20

2。]2alI1]—q[a[=2，

+2=一卢%〃+卢L+2,所以〈。所以《。所以〃4=。浮=2x33=54.故选

i-qi-q,o卜=3，

Il-q

3.（2024・开封模拟）等比数列｛如｝的前几项和为S〃=32E+r,贝Ur的值为（）

A-3B--I

C.gD.一g

答案B

解析因为y=32〃一1+r=gx9〃+r,由等比数列前〃项和公式中9〃的系数与常数项互为相反

数，可知r=—g.

4.已知数列｛〃〃｝是等比数歹ll，为其前n项和，若〃1+〃2+。3=4,。4+〃5+。6=8,则S12=（）

A.40B.60

C.32D.50

答案B

解析数列S3,S6—S3,S9—S6，S12—S9是等比数列，即4,8,S9—S6JS12—S9是等比数列，

・・.SI2=4+8+16+32=60.故选B.

5.(2023•广东汕头模拟)数列｛〃〃｝中，处=2,am+n=afnan,若四+1+。左+2+…+四+io=2*—2§,

贝IJk=()

A.2B.3

C.4D.5

答案C

解析〃i=2,。加+〃=斯四/，令机=1,则即+i=〃i斯=2斯，・•・｛“〃｝是以。1=2为首项，q=2为

2Al(1—210)

公比的等比数列，・・・4〃=2x2Li=2〃.又以+1+队+2+…+〃叶10=215—25,・,・--------..........=

1—2

215-25,即2时1(210—1)=25(21°—1),・・・2K1=25,.・・2+1=5,・,•攵=4.故选C.

2

6.(2024•苏北四市模拟)已知函数启)=百百，且等比数列｛斯｝满足。2〃2023=1，则尬1)+加2)

+…+/(〃2024)=()

A.2024B.1012

C.2D.2

答案A

解析易知_/（无）+《0=］；/+彳苛1=2,又。2a2023=1，所以02023=~，则+八。2023）=_/（。2）

+人£^=2,因为｛斯｝为等比数列'所以。1"2024=42。2023=…=。1012。1013=1，所以五。1)+大。2)+...

+黄。2024)=1012x[/(fl2)+A«2023)]=2X1012=2024.故选A.

7.(2024•重庆八中阶段考试)记&为等比数列｛诙｝的前"项和,已知5=8,O4=-b则数列

｛S"｝()

A.有最大项，有最小项

B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项

D.无最大项，无最小项

答案A

解析根据题意，等比数列｛斯｝中，<21=8,<24=-1，则^3=^=—则q=~2,则SK=

ai(1-g")2

.若n为奇数，则S”=V此时有

i-q3

2

Si>S3>...>S„>-y；若W为偶数，则斗=号(1—玄)，此时有S2Vs4<…<S"(竽，所以数列｛SJ有

最大项多，最小项&.故选A.

8.(2023•河南郑州高三第二次质量预测)已知正项数列｛©,｝的前n项和为Sn,且的=2,S„+i-(Sn

+1—3")=Sg+3"),贝。$2023=()

A.32023—1B.32023+1

答案

解析因为S“+i(S,+i—3")=斗(8+3"),所以能+i—30S"+I=S£+3〃S“即的+1—SW=3"S“+I+

35,所以⑸+i+S”)(S”+i-&)=3"(S.+i+S.),因为数列｛诙｝的各项都是正项，即S“+i+S>0,

a4〃

所以S“+i—S,=3",即a“+i=3",所以当”》2时，笠+一1=点尸7=3,所以数列｛斯｝从第2项起,

斯J

〃(]—〃2022)

构成以02=3为首项，4=3为公比的等比数列，所以S2023-1+=I2——=2+

3x(1—32022)32°23+i

一.故选D.

二、多项选择题

9.(2023我名一模)已知等比数列｛斯｝的前n项和为S”公比为q，则下列说法中正确的是()

A.若q>l,则。

3

B.若〃i=l,9=不则&=4—3斯

C.右*。4+〃7=2,。5。6=8,则〃1+〃10=-7

D.若。1=1,〃5=4的，则斯=2"-1

答案BC

解析对于A,若。1<0且q>l,则1<0,・'・。篦+i—a〃=a〃(q—1)<0,即即+i<a〃，A错

_国1_3

3<3V-11—W—I斯

误；对于B,*.*d!i=1,〃=不~9S〃=-==4—3斯，B正确；对于C,

1-41-4

由〃5。6=。4。7得。4〃7=-8,又。4+。7=2,•**6Z4=4,〃7=-2或。4=—2,〃7=4,——/或

夕3=-2.当/:一义时，a\+6ZIO=^1+6Z4^6=_^Y+4X^—=—7；当夕3=—2时，。1+〃10=》

~2

—2

+〃4夕6==^+(—2)乂(-2)2=—7,C正确;对于D,V«i=L〃5=4〃3，.•・q4=4q2,得夕=一：

2或4=2,・••斯=(-2)〃-1或诙=2"一1,D错误.故选BC.

10.(2024•江苏苏州期中)已知等比数列｛〃〃｝的公比为公前几(H€N*)项和为义,前服z€N*)

项积为G，若〃1=无，75=76，则1()

A.q=2

B.当〃=6时，S,取得最大值

C.当且仅当力=6时，〃取得最小值

D.的正整数〃的最大值为12

答案AD

解析对于A,因为公=6，所以°6=£=1,因为/=宾=32,解得q=2,故A正确；对

于B,因为内>0,q>l,所以数列｛斯｝是各项为正的递增数列，所以S”无最大值，故B错误；

对于C,因为的=方，a6=l,q=2,所以1W“W5时，0<斯<1,w27时，«„>1,所以当〃=

(1—2〃一1

5或〃=6时，G取得最小值，故C错误；对于D,S=—ax:~~--=/一，T=aiara...an

nl-q2n3

n（〃一1）〃2-11」」2-11」M-11八+10

=0/+2+.一+"-1=（2-5产22=22,因为&>〃，所以今4>22,即2"—1>22,

2

“,“一尸°n2-lln+101,13-^12913+J129人目，在

所以2”—2~>1,即力>-----2-------，所以----2-----<n<------2-----，正整数”的最大值

为12,故D正确.故选AD.

三、填空题

11.设a为等比数列｛诙｝的前w项和，若ai=g,ai=a6,则为=.

答案号

.（[_5）铲（1—35）

解析由屈=期得（削3）2=.炉，整理得4=齐3.所以$5=0I；=-三一=号.

12.（2023•全国乙卷）已知｛斯｝为等比数列，a2a4a5=的。6，〃9。10=—8,则。7=.

答案一2

解析设｛。〃｝的公比为式存0），则（22。4。5=的。6=。2/恁4，显然。,*0,则＜24=『，即。口3=7,

则aiq—1,因为a9aio=-8,则-8,则q'=（g5）3=—8=（—2）',则炉=—2,则

。7=。口,炉=炉=-2.

13.（2024•江西南昌二中阶段考试）设｛a“｝是公比为4的等比数列，|切＞1,令6n=a”+l（w=l,

2,...）,若数列｛加｝有连续四项在集合｛-53,—23,19,37,82｝中，则6g=.

答案一9

解析｛6〃｝有连续四项在集合｛-53,—23,19,37,82｝中,小=斯+1,则a”=儿一1,｛斯｝

有连续四项在集合｛—54,—24,18,36,81｝中.又｛斯｝是等比数列，等比数列中有负数项，

则q＜0,且负数项为相隔两项，等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺

—244463—54

序排列上述数值为18,-24,36,—54,81,相邻两项相除，得一寸=一不一万=-5,

loJ-24230

38]332

=-],二^=一]，显然一24,36,—54,81是｛斯｝中连续的四项，9=一]或9=一

3

；・此种情况应舍去），.•・4=-.・.6g=-9.

14.（2023・湖南益阳一模）已知数列｛〃〃｝中，（21=1,即+1=^—若bn——三，则数列｛儿｝

乙ClnClnZ

的前n项和Sn=.

.4"+6"—1

答案——9—

1

Q”---

解析由诙+尸,一有斯+i—。=2—十=2・一即+1—2=/一十=），=将上述两式相

乙Un乙ClnUn乙Cln乙Cln

（an一2]

除得到包乌=I，所以jzi是以（为公比，以二|=—2为首项的等比数列，所以

斯一2cCY-c3”右724〃一1缶2o2n]4〃-12n

----[=-2•⑷,即=2-2+平-1，从而"〃=一1—?—•所以Sn=~~i~3X~—=—于

an~2~'

4〃-14〃+6〃-1

9=-9•

四、解答题

15.（2024•广西柳州模拟）已知各项都为正数的数列｛斯｝满足an+2=2an+i+3an.

⑴证明：数歹!J｛斯+%+1｝为等比数列；

13

⑵若〃1=1,〃2=］，求｛斯｝的通项公式.

解（1）证明：因为〃八+2=2斯+1+3念,

所以。〃+2+。〃+13（。〃+1+〃八），

因为｛诙｝中各项均为正数，

所以1+Cln>0j

Q/7+2+1

所以，

。〃+1+

所以数列｛斯+斯+1｝是公比为3的等比数列.

(2)由题意知斯+斯+1=31+〃2)3〃-1=2'3"-1

因为an+2—2an+1+3an,

所以斯+2—3斯+1=—（即+1—3斯），

因为〃2=3的，

所以。2—3〃i=0,

所以。〃+1—3斯=0,

故斯+1=3斯，所以4〃〃=2x3"-i,

n

即an=^x3~\

16.（2022・新高考H卷）已知｛为｝为等差数列，｛为｝是公比为2的等比数列，且〃2—岳=。3一必

=仇一"4.

（1）证明：ai=bi；

（2）求集合｛向勿=而+〃1,l〈znW500｝中的元素个数.

解（1）证明：设数列｛斯｝的公差为d,

4i+d—2b\—a\~\-2d—4/7i，

a\~\~d—2/?i=8/7i—(ai+3d)‘

解得所以命题得证.

klkl

⑵由⑴知，仇=的=$所以bk—am+ai＜^bix2~—ai+（m—l）d+ai，即2~—2m,亦即m

=2^2€[1,500],

解得2WKS10,

所以左=2,3,4,....10,

故集合伏瓦=砺+/，l（mW500｝中的元素个数为10-2+1=9.

素养提标

17.（多选）（2023•山东济南二模）已知数列｛斯｝中，1=1,硒"+i=2”，“2N*,则下列说法正

确的是（）

A.〃4=4B.｛〃2"｝是等比数列

C.a2n—-1=2"1D.-1+。2〃=2"+1

答案ABC

解析'/til—1,。"。"+1=2",；.。2=2,的=2,。4=4,由。”斯+1=2"可得斯+1。”+2=2"।

Cln

｛｛｝

=2,42〃｝，3,-1分别是以2,1为首项，2为公比的等比数列，.•.42“=22厂1=2",a2n-

n1

1=12厂1=2"一1,：.a2n-a2„-i=2~,々2"-1+02"=32厂1力2”+1.综上可知，A,B,C正确，D

错误.故选ABC.

18.（2024•广东揭阳阶段练习）已知正项数列｛斯｝中，的=5,且忌+i—2届一斯+1斯+诙+1—2a”

=0,S,为其前"项和，若存在正整数小使得为[〈专成立，则7”的取值范围是.

答案（0,+oo）

解析由已知后+i—2若一+Q+斯+i—2。〃=0,得（即+1—2斯）（斯+1+斯+1）=0,由于an＞0j

所以斯+1—2诙=0,即〃〃+1=2斯，即数列｛斯｝是首项为5,公比为2的等比数列，所以斯=5x2"

=52—1

一ISn=—2（"）＞由三变形为2—m既不因为存在正整数小使得

•成立，所以2f＜传）,由于等=W7=1+痣7，所以1＜等W2,所以2-相＜2,

\.✓max，_L/1

则相＞0,即加的取值范围为（0,+oo）.

第四节数列求和

课标解读考向预测

数列求和是高考考查的重点知识，预计2025年高考会

1.熟练掌握等差、等比数列的前〃项

考查等差、等比数列的前〃项和公式以及其他求和公

和公式.

式，可能与通项公式相结合，也有可能与函数、方程、

2.掌握数列求和的几种常见方法.

不等式等相结合，综合命题，难度适中.

必备知识——强基础

知识梳理

数列求和的几种常用方法

1.公式法

(1)等差数列的前〃项和公式

①已知等差数列的第1项和第n项求前n项和S尸"；

rj(VI——1)

②已知等差数列的第1项和公差求前n项和Sn=nai+2d.

⑵等比数列的前〃项和公式

当q=l时，Sn=nai；当分1时，

①已知等比数列的第1项和第n项求前n项和5=号二幽；

i-q

/7i(1—a")

②已知等比数列的第1项和公比求前n项和S尸1Q.