2025届高中数学一轮复习专练：函数

函数

一、选择题

1.设函数〃x)=log2[Ma-力]在(2,3)上单调递减,则。的范围是()

A.B.3<a<4C.3<a<4D.3<a<4

—x~~ctx—9,尤K1

2.已知函数/(x)=4在R上单调递增,则实数a的取值范围为()

—,x>l

A.[-5,0)B.(—oo,—2)C.[-5,-2]D.(-oo,0)

3.下列各组函数中，表示同一函数的是()

A./(x)=l,g(x)=2B./(X)=y/x-l-y/x+1,g(x)=yjx2-l

X

c.f(x)=X,g(x)=(Vx)2D./(x)=--,g(x)=x+l(x#1)

x-1

4.已知函数f(x)J：2I:"是奇函数，则/目=()

A/4-X2

A.--B.—C.2D.-2

33

-3

5.已知函数7•(x)=XG，x〉0,则〃〃_]))=()

x2+2,x<0,

A.-3B.3C.-2D.2

6.已知函数/⑴满足和(I+2)=27(%),且当%«0,2]时,/(x)=—+2%-3,则

A.2B.4C.6D.8

7.已知函数〃x）=『：+3a，*“°在定义域R上是减函数,则实数。的取值可以为（）

[%-ax+l,x<0

A.lB.-C.lD.2

32

8.下列各组函数为同一函数的是（）

A.于(x)=E，g(x)=(G)2

B-/(x)=l，g(x)=%°

C/(x)=x，g(x)=^

D./(x)=x+l,g(x)=±_^l

X~1

二、多项选择题

9.下列函数为奇函数的是()

A./(%)=/B.f(x)=x5C./(x)=x+-D,f^=-L

XX

10.设外力是定义在R上的奇函数，且“X)在(0,+8)上单调递减，/(-7)=0,则

()

A./(%)在(-8,0)上单调递减

B./(8)<0

C.不等式/(司>0的解集为(-8,-7)U(O,7)

D./(%)的图象与x轴只有2个交点

11.下列各对函数中，图像完全相同的是()

A.丁=^/^"与y=|x|B.y=———^与y=x+l

-x-1

C.y=二与y=x(xw0)D.y=A/X2-1与y=Jx-l.A/X+1

x

三、填空题

12.设/(x)是定义在R上的奇函数，当％<0时,〃x)=2f—x,则〃3)=.

13.若偶函数/⑴对任意都有/0+3)=-卷,且当％目-3,-2］时,/。)=4y则

“2024)=.

—X—］九<0

14.设函数/(%)='-，若则%的取值范围是__________.

Jx,x>0

四、解答题

15.某公司销售甲、乙两种产品，根据市场调查和预测，甲产品的利润y(万元)与投

资额X(万元)成正比，其关系如图⑴所示；乙产品的利润y(万元)与投资额X(万

元)的算术平方根成正比，其关系式如图(2)所示，

(1)分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资额的函数；

(2)若该公司投资a(a>0)万元资金，并全部用于甲、乙两种产品的营销，问：怎样分配

这。万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少？

16.已知函数/(x)=£zZ_(qeR)是奇函数.

2X+1

⑴求实数。的值；

⑵用定义法证明函数/(x)在R上是减函数；

(3)若对于任意实数不等式f(产-同+/(I-)<0恒成立，求实数k的取值范围.

17.已知函数=—(xe[l,+oo)).

(1)根据函数单调性的定义证明函数/(%)在区间[1,W)上单调递减；

⑵若/(/)>/(2a+3),求实数a的取值范围.

18.已知定义域为R的函数〃司=|^^是奇函数.

(1)求。力的值；

(2)用定义证明"％)在上为减函数；

(3)若对于任意/eR,不等式/(r―2/)+/(2/—女)<。恒成立，求上的取值范围.

19.已知函数〃x)=>+1经过两点.

bx+a\22)

⑴求函数/(%)的解析式；

(2)判断函数/(%)在(0,1)上的单调性并用定义进行证明；

(3)若/(%)〈加对任意xe［；,g］恒成立，求实数m的取值范围.

参考答案

1.答案：D

解析：由题意知x(a-x)>0在(2,3)上恒成立,且函数8(耳=可。-力在(2,3)上单调递

减，

又因为g(力的图象开口向下,对称轴方程为x=|,

[£<

由g(x)的图象可知12—2，解得3WaW4.

方⑶一,

故选：D.

2.答案：C

—1之—(JX—9,%12

解析：因为函数/(%)=〃在R上单调递增,所以〃<0,

—,x>l

屋-1-47---

I11

解得-5WaW-2,

故选：C.

3.答案：D

解析：A./(x)=l的定义域为R,g(x)=二的定义域为｛x|xwO｝,定义域不同；

B./(x)=Jx-1-Jx+1的定义域为｛*x』l｝,g(x)=6-1,的定义域为｛尤|x4-l或

x»l｝,定义域不同；

C"(x)=x的定义域为R,g(x)=(«)2的定义域为｛x|x>0｝，定义域不同；

尤2—1

D./(X)=-----=X+1的定义域为｛x\XH1｝,g(x)=x+l(xW1)的定义域为[x\Xw1｝定义

x-1

域和解析式都相同,是同一函数.

故选：D.

4.答案：A

解析：•.・函数/(%)=一一"是奇函数,；J(0)=0,即厚口=0,解得。=2,

V4-x2V4-0

-g

故选：A.

5.答案：D

解析：由题意可得/(T)=(-l)2+2=3,则/(/(-1))=/(3)=3-1=2.

6.答案：D

解析：由题意可得d|)=2“)=4/J)=4x(4+l-3)=8.

7.答案：A

解析：由题意可得—2>0，解得OWaw1L

,3

一0+3aW0~-ax0+1

故选项中A正确,B、C、D错误.

故选：A.

8.答案：C

解析：对于与g(x)=(4)2(x»O)的定义域不同,.,.不是同一函数;

对于B,/(九)=1(九cR)与g(x)=xO=l("O)的定义域不同，,不是同一函数；

对于C,/(%)=eR)与g(%)=正"eR)的定义域相同，对应关系也相同,.♦•是同一

函数；

21

对于D,/(x)=x+l(xeR)与g(%)=三二(xwl)的定义域不同，，不是同一函数.

故选：C.

9.答案：BC

解析：对于A,定乂域为R,因为/(一力=(一=/(%),

所以〃可=/为偶函数，所以A不符合题意，

对于B,定乂域为R,因为/(—尤)=(―=_尤5=_/(尤)，

所以/(力=%5为奇函数，所以B正确，

对于C定义域为{小#0},

xA

因为=-X+—+=-/(x)，

XX

所以7(x)=x+^为奇函数，所以C正确，

对于D,定义域为卜上0。｝,

因为〃-六鼻?二:二〃》)，

(一町x

所以/(x)=3为偶函数，

X

所以D不符合题意，

故选：BC

10.答案：ABC

解析：可作满足题意的下图(不唯一)，仅参考

对A：因为“力是定义在R上的奇函数，且〃尤)在(0,+8)上单调递减，

由奇函数的性质有/(力在(-8,0)上单调递减，故选项A正确；

对B：因为“力是定义在R上的奇函数，且“力在(0,转)上单调递减，/(-7)=0,

所以/⑺=-/(-7)=0，

所以/⑻<“7)=0，故选项B正确；

对C：由选项A与题意可得“可>0的解集为(―8,—7)U(0,7)，故选项C正确.

对D：由题意，/⑺=—/(—7)=0，又/(%)是定义在R上的奇函数，

所以"0)=0，

所以“司的图象与X轴有3个交点，故选项D错误；

故选:ABC

11.答案：AC

解析：对于A.两个函数是同一函数.故图象完全相同.A正确；对于

r2-1

B,尸L^=x+l("l),两个函数的定义域不同，不是同一函数,B错误；对于

x-1

C,y=土=%(%。0).两个函数是同一函数，故图象完全相同.C正确;对于D,y=&—1的

x

定义域为(-8,-i]U[L+«0,y=的定义域为[L+8),二者定义域不同,不是同

一函数，故D错误，

综上.故选AC.

12.答案：—21

解析:因为当时,/(%)=2X2一x,

^^/(-3)=2X(-3)2-(-3)=21,

又因为/(x)是定义在R上的奇函数，

所以/⑶=—/(—3)=—21,

故答案为:―21

13.答案：—8

解析：因为小+3)=-所以/S+6)=—元匕=——V=/(%),

/⑴-痔

所以f(x)的周期为6，且为偶函数，即/(-%)=/(力，

当xe[-3,-2]时,/(x)=4x,/(2024)=/(337x6+2)=/(2)=/(-2)=-8・

故答案为:―8

14.答案：(ro,-2)U(l,+°°)

..,_,—f—X—1,X0

斛析：因为

[Vx,x>0

对于/(%)>1,分2种情况讨论：

若"0,7(%)=-%-1>1,解可得/<-2,

若%=5y^">1,解可得%>i,

综合可得：％0<-2或％0〉1,

故/的取值范围是(Y0,-2川(1，+°°)；

故答案为：(YO,-2)U(1，+°0)-

15.答案：⑴g(x)=；«(x20)

(2)当时，乙产品投资5万元，甲产品投资万元，该公司可获得最大

利润，最大利润为丝土竺万元.

16

解析：(1)由题知，甲产品的利润函数为/(x)=g*..O)

乙产品的利润函数为g=my[x(x>0)-

由题知，函数/(九)经过d点(1.8,0.45)，有0.45=1.瓯攵=；，

所以“X)=；x(x20)-

函数g(x)经过点(9,3.75)，有3.75=m眄,由左=(，

所以g(x)=>0).

⑵设乙产品的投资金额为x(0<xW。)万元，则甲产的投资金额为3-尤)万元.

所获得总利润为y万元，则y=—Vx+—(a-x),(0<x<«)，

'44

令t=&，则x=/，y=3+%aT2)=函数图象开口问上,

IA744^/444

5

对称轴为/=——J,

2x—2

4

所以当。<7时'

当,=&,即x=a时，y有最大值;

当时，函数在10,口上递增，

22J

在仅，血上递减，当/=』，即％=竺时，y有最大值"±竺.

(2」2416

综上得：当时，乙产品投资日万元，甲产品投资、-5]万元，该公司可获得

最大利润，最大利润为加士竺万元.

16

当血”3时，乙产品投资。万元，甲产品不作投资，该公可可获得最大利润，最大利

2

润为:后万元：

当«〉工时，乙产品投资至万元，印产品投资「一竺1万元，该公司可获得最大利

24I4)

润，最大利润为出士至万元

16

16.答案：(1)。=1；

(2)证明见解析；

(3)左21或左4—3

解析：(1)由函数/(x)=1^；(aeR)是奇函数,可得：7(0)=0,

即：/(0)=\1=0,〃=1；

（2）由⑴得：—2，任取£R,且不<%2,

2A'+1

12年1—2*2（2*-2演）

则/(七)一/(尤2)=

2』+12*+]—（2为+1）（2次+1），

Xj<x,2也一2为>0，即：/（%（）-/（X）=->---0--,--------------

212（2X1+1）（2"22+1）

/(%1)>/(x2)，即/(X)在R上是减函数;

(3)/(%)是奇函数,二不等式f(r-fo)+/(l-z)<0恒成立等价为

/(r-^)<-/(1-0=/a_1)恒成立，

/(%)在R上是减函数,二『一(4+i)/+i20恒成立，

设g⑺=/—(左+»+1,可得当AW0时,g⑺20恒成立，

可得（左+1）2—420,解得左21或ZW—3,

故左的取值范围为：左或左W—3.

17.答案：（1）证明见答案

⑵[L3）

解析：⑴任取》1〉工221,

UJll\f()=._____X1=X/；+1--X?_(♦-xja，-1)

人W八2万石F石一(xf+i)(xf+i)-(%r+1)^+1)

因为％］>x231,贝!!(jcf+1)(x；+1)>0,%-石<0，xtx2-1>0,

则/(%；)-/(x2)<0,故f(x)在［1,+0°)上单调递减.

⑵由⑴得,/(X)在［1,+co)上单调递减，

a1>\a<-1或。>1

所以,42a+321，解得a2—1,

a1<2tz+3-1<«<3

所以iWa<3,即所求范围是[1,3）.

18.答案：（l）a=l,6=1

⑵答案见解析

（n

（3）一0°，一1

解析：为R上的奇函数,

b-2°

0,可得6=1，

八°)2°+a

又〃-1)=-〃1),，

1-2-1=_匕解得。=1

2।+a2+a

1-2%

经检验当Q=1且6=1日寸,“X)

2'+1

满足〃->三；="=-小）是奇函数，

故a—l,b—1.

1-2