2025高考数学压轴导数大题训练：函数中的同构问题（学生版+解析）

专题11函数中的同构问题

考情分析

近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将不

同的式子通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方

法，这体现了转化思想.此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，

或利用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.

解题秘籍

(一)同构函数揭秘

同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比如

1+尤与x+ln尤属于“跨阶函数“，而e'+lnx属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解，一般

是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函数问题

转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：/a)=xeXJ(x)=;dnx,

/(JC)=x+e',/(x)=x+Inx,/(x)=e%-x+a,/(x)=lnx-x+a等，在一些求参数的取值范围、零点个数、

不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数等问题中常通过构造同构函数求解.

利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；尤=m，"=111上友工=产1*f=6，/，等.

X

【例1】(2024届江苏省苏州市高三下学期三模)已知函数〃x)=lnx+依+l,aeR.

⑴讨论的单调性；

⑵当aW2时，证明：^^<e2x.

X

【解析】(1)函数〃%)=依+以+l,aeR的定义域为(0,+8),且/(无)=，+。.

X

当时,Vxe(0,+oo)，V〈x)」+a>0恒成立,所以/(x)在区间(0,+力)上单调递增;

当时，令„='+〃=1+=0,解得X=-L,

xxa

当x《0,-J时，1(%)>0J(x)在区间［上单调递增,

当时，尸(x)<OJ(x)在区间上单调递减.

综上所述，当时，/(X)在区间(。,+8)上单调递增；

当a<0时，/(x)在区间上单调递增，在区间,上单调递减.

(2)当时，因为尤>0,所以要证工只要证明生上生上14e?，即可,

无x

即要证lm:+2x+14xe2*,等价于e2Mll"21nx+2x+l(*).

令g(x)=e"—x—l,则g<x)=e*-l,

在区间(-%。)上,g'(x)<0,g(x)单调递减；在区间(0,+功上，g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以g(x)2g@=e0-0-l=0,所以e，2x+l(当且仅当X=0时等号成立)，

所以(*)成立，当且仅当2尤+lnr=0时，等号成立.

又/?(%)=2》+111%在(0,+00)上单调递增，=--1<0,//(1)=2>0,

所以存在使得2毛+1吗,=0成立.综上所述，原不等式成立.

【例2】(2024届重庆市南开中学高三上学期第质量检测)已知函数/(力=32+]标+依在x=l处的切线/和

直线x+y=0垂直.

⑴求实数。的值；

⑵若对任意的圣马40,2],x产/，都有"即一"」)了；+<>〃成立(其中e为自然对数的底数)，求

e1-e^

实数相的取值范围.

【解析】(1)由函数/(%)=f+111*+依，可得/'(x)=2x+，+a,可得/'⑴=a+3

因为函数在x=l处的切线/和直线x+y=0垂直，所以广(1)=1,

即a+3=1,解得a——2.

(2)解：不妨设0<玉<々<2,贝Ijd—e超v0,

因为对任意的为々6(0,2],X产无2,都有了区)一/(%)-X：+只>m成立,

x,%2

可得/(为)一/(%2)一+兀；〈根(e*—e®),即/(xj-xf-me</(x2)-xf-me,

设g(x)=/(x)-f-〃M，贝i」g(X)<g(尤2)，故g(x)在(0,2]单调递增，

从而有g'(x)=1-2-me^>0,即租V-2]在(0,2]上恒成立,

设〃(»=/[-2),则现《〃⑴而。，

因为〃'(尤)=-2)+[一[)=e-•①<才V2),

令〃(x)>0,即2/一彳一1=(2》+1)(彳-1)>0,解得1<%W2,

令〃（x）＜0,即2/-尤—l=（2x+l）（x—l）＜0,解得Ovxvl,

所以/z（x）在（0,1）单调递减，在（1,2］单调递增，

又因为以1）=一，故耳力在（0,2］上最小值/幻而广一，所以机〈―，

实数机的取值范围是1一双-，.

（二）尤e*型同构

【例3】（2024届广西贵港市高考模拟预测）已知函数〃x）=aem「nx+ln"+l.

X

（1）当。=1时，请判断了（X）的极值点的个数并说明理由；

⑵若/（x）＞2a2-a恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】（1）当。=1时，/（x）=e，一巴"，xe（0,+s）,

X

x

所以/'（X）=/+吗=『e：lnx,令依无）=+lnx,贝।"（尤）=（尤?+2%）e+

XXX

当xe（0,+co）时，〃（x）＞0,在（0,+8）上单调递增，

又以；）=手一出2＜。，3）=e,；/（x）存在唯一零点看,且不€（；,1）,

当尤€（0,飞）时，f\x）＜0,/（x）在（0,%）上单调递减,

当xe(尤o，+co)时，f\x)>0,/(x)在(与,+00)单调递增.

/(x)有一个极小值点％,无极大值点.

(2)/(x)=ae"-lnX+lnfl+1^2a2—a恒成立，

/.axe"-[ln(ax)+l]^2«2x-〃元恒成立，/.axe"-[ln(ax)+1]+ax^lc^x恒成立.

令t=ax,贝lJ/£(0,+8),「.2qKe'一山’+1+1恒成立.

t

设g(x)=e"-见出.，由(1)可知g(%)的最小值为g(%).

x

-lnA,)

又以不)=x：e与+Inx0=0,毛砂=^-=---lnx0=-eInx0.(*)

七%

设m(x)=xe”,当%>0时，加(%)=(%+1把"〉0,「.皿%)在(0,+8)上单调递增,

.XQE(―,1),XQ>0,—Inx0>0,

当1

由(*)知加(％)=加(一In%),.•.%=—in%,即e°=1.

%

...g(x°)=e』一^^」一匕=1,

X。4X()

:.2a<M=2,.\a<l,又a〉0,的取值范围为(。』.

(三)(%+〃)Inx型同构

]nY

【例4】(2023届福建省宁德市高三高考前最后一卷)已知函数〃尤)=丁+〃?(相€中.

⑴讨论函数/(x)的零点的个数；

ax.1\

(\修/⑺(.+1)，求实数〃的取值范围.

【解析】(1)令/(%)=电m+机=0,则更三=一相，记g(x)=电工则g<x)=，

X,XXlX?'

当x>e时,g'(x)<0,此时g(x)在(e,+oo)单调递减,

当0〈尤<e时,g'(x)>0,此时g(x)在(0,e)单调递增，

故当x=e时，g(_r)取极大值也是最大值g(e)=：,

又g(l)=0,而当l<x时，g(x)>0,故当0<x<l时，g(x)<0,当1<无时，g(x)>0,作出g(尤)的图象

如下：

因此当-加时，BPm<--,g(x)=T”无交点，此时“X)无零点，

ee

i]

当-机=&或-m《0时，即根=一一或加之。，g(x)=-机有一个交点，此时/(%)有一个零点,

当。＜-777＜』时，即二＜〃Z＜0,g（X）=TH有两个交点,此时〃力有2个零点,

ee

综上可知：当冽＜」时，"X）无零点，

e

当初■或相WOy（x）有一个零点，当」＜〃z＜。，“X）有2个零点，

ee

(ax.i\

1得〃刈优+1)等价于:

对任意尤>0,恒有方(e6+1)NInf(尤2+1),

令网x)=(x+l)lnx,则不等式等价于产(产)2网炉),

y_1_1

由于k(x)=ln%+----,

令加⑺=hix+"I川⑺=工一二二%为1,

xxxx

当0<x<1,加⑺<0,制%)单调递减，当1>1,<'(尤)>0,加(%)单调递增,所以F'(%)=m(x)>m(l)=2>0,

故外力在（0,+。）单调递增，

由F（e^）＞尸任）得e-＞好对任意x＞0恒成立，

两边取对数得办N2Inxn3N皿对任意x＞0恒成立,

2x

故（尤）所以故。的范围为02工。

2'-2eee

（四）e"+双+〃型同构

【例5】（2024届福建省漳州市高三上学期质量检测）已知函数/（%）=敏+%+1.

⑴讨论了（九）的单调性；

X—1

⑵当x＞l时，/（x）＞ln----+x,求实数。的取值范围.

a

【解析】（1）依题意，得r（x）=ae"+l.

当a20时，f\x）＞0,所以/（九）在（-co,+8）单调递增.

当Q＜0时，令/'（%）＞0,可得％〈一ln（-a）；令/'（x）＜0,可得%＞-ln（-a）,

所以/（九）在（-8,-ln（—々））单调递增，在（―ln（-a）,+oo）单调递减.

综上所述，当时，/（九）在（-8,+8）单调递增；当〃＜0时，/（九）在（-哈-皿-々））单调递增，在（-ln（-a）,+oo）

单调递减.

Y—1x—1

(2)因为当x>l时，/(%)>In--------1-x,所以〃e"+x+l>ln-------Fx,

aa

即elnex+x+1>ln(x-1)-In«+x,

即ex+hlfl+\na+x>ln(x-1)+x-1,

即ex+hlfl+x+lna>e^+lnCx-1).

令h(x)=Qx+x,则有h(x+Ina)>/z(ln(x-1))对Vxe(1,+oo)恒成立.

因为〃(%)=1+1>0,所以久%)在(f,+8)单调递增，

故只需％+lna>ln(%_l),

即Ina>ln(x-1)一％对Vx£(1,+久)恒成立.

12-x

令产(%)=ln(x—1)—%,贝I」厂'(％)=-----1=——，令尸'(x)=。，得x=2.

x—1x—1

当X£(l,2)时，Ff(x)>0,当X£(2,4W)时，/<九)v0,

所以产(%)在(1,2)单调递增，在(2,+8)单调递减，

所以尸(x)4尸⑵=一2.因此ln，>_2,所以。>之.

e

(五)Inx+ta+b型同构

【例6】(2024届江苏省宿迁市高三下学期三模)已知函数于(X)=ln(x-a)+)9a一4%(a>0).

⑴若曲线y=/(%)在X=2处的切线的方程为％+y="求实数b的值；

(2)若函数/(%)Wlna+2a恒成立，求。的取值范围.

【解析】(1)因为/(%)=In(%一a)+J9a-4x(。>0),函数的定义域为3争，

12

所以/。)=------^==,

x-aV9a-4x

由曲线y=/(x)在X=2处的切线的方程为x+y=〃，得八2)=-1,

19

所以/'(2)=^-------『卞

2-。V9cz-8

12819

设h(a)=------/(―<a<2)/(a)=-------y+-----------/>0

2-aJ9a-89(«-2)2(9a-8)j9a_8

所以函数Ka)是(，2)上的递增函数，又h(l)=-1,

12

所以方程^-----=有唯一解，=1,

所以f(%)=ln(x—1)+J9-4r,f(2)=1,

所以切点坐标为(2,1),代入直线方程=h得人=3.

_____、9a

(2)/(x)=ln(x-a)+^J9a-4x(a>0),定义域为31],

.12y/9a-4x-2(x-a)

f⑴=--------7==---------/，

x-ay/9a-4x(x-a)<9a一4x

______-2

设gO)=\/9a-4x-2(x-a),所以g'(%)=/一2v。，

79a-4%

所以g(%)在3今)上递减,又g(a)=&£>0,且(?)=-罟<。，

所以当工£3%。)时,g(x)>0,即八%)>0,函数当%)递增,

Q/j

当入£(为与时，g(x)vo,即r(X)<0,函数递减,

所以函数/(X)的最大值Znax(%)=于@0)=ln(%0-〃)+J9a—4%,

又g(%o)=屈-4%-2ao一。)二0，所以,9a-4/二2®-a),

所以Znax(%)=/(%0)=1n(/一。)+2(%0-。)，

因为/(%)wIna+2〃恒成立，即ln(%0-a)+2(尤0-a)WIna+2a恒成立，

设/i(x)=lnx+2x,则"(%)=:+2>0,所以/Z(%)递增，

0/7

所以九即％o<2〃恒成立，因为g(')在(。,1)上递减，且冢/)=0,

所以只需g(2a)W0恒成立，即右-2aW0,又a>0,所以a'g.

(六)利用单调函数定义同构

【例7】(2024届贵州省六盘水市2024届高三下学期三诊)若函数/(%)在可上有定义，且对于任意不同

的药,%2w［a,b］,都有|〃%)-/(%2)|<无居-马|，则称"X)为［见习上的絮类函数”

⑴若/(x)=%2,判断了(x)是否为［L2］上的“4类函数”；

91

⑵若〃司=711尤+6+1)》+7为［1,同上的“2类函数”，求实数a的取值范围；

⑶若/⑺为［L2］上的“2类函数”且〃1)=〃2),证明：%,x2e［l,2］,|/(^,)-/(^)|<1.

【解析】(1)函数〃力=/是［1,2］上的“4类函数”，理由如下：

不妨设外,马41,2］,所以2</+%<4,

|/@)-"々)|=忖T|=|(%f)(而+%)|<4,-引,

所以/(x)=V是［1,2］上的“4类函数”；

2112

(2)/(%)=—lnx+(a+l)x+—,/'(%)=--^+―+Q+1,

exxex

由题意知，对于任意不同的公々e［Le］都有—〃9)|<2|%-百，

不妨设玉</，则一2(龙2-芯)</(%)一〃％)<2(%—西)，

故〃西)+2为<“彳2)+2彳2且〃孑)一2M>y(x2)-2x2,

所以/■(x)+2x为［l,e］上的增函数，/(x)-2x为［l,e］上的减函数，

所以对任意的xe［Le］,即—2W/'(x)V2,

121?

由「(x)V2naV-y—二+1,令g(x)=F—二+1,贝I］。4g(无)1nl“，xe［l,e］,

xexxex

令工=得y=〃-L+i在上单调递增，8⑴=1-4，

xLeJeLeJe

i?、12

由/'(%)2—2=a-----3,令"(x)=3-----3,

xexxex

Iri-io「1-

只需,xe［l,e］,令—=fe-,1得>=产一乡一3在一,1单调递增，

111axx|_eJe|_e

所以〃(4^=始)=一2-：，综上所述,实数a的取值范围为'-2-3r1

(3)证明：因为/(X)为［L2］上的“2类函数”，所以|〃不)-/5)|<2］玉-引，

不妨设<2,当上一马|<g时，］〃石)一/(%2)|<2卜-即<1；

当3<%-到<1时，因为〃1)=〃2),-l<X1-x2<-1

所以|〃%)-〃%)|=|〃匕)-〃1)+/(2)—〃々)臼〃%)-〃1)|+|〃2)—〃々)|

<2(X1-1)+2(2-X2)=2(X1-X2+1)<2^-1+1^|=1,

综上所述，”,马e［l,2］,I”%)-〃寸|<1.

典例展示

【例1】(2024届西省九江市高三第三次统考)已知函数/(xHeE+eSgeR,且-0).

⑴讨论的单调性；

(2)若方程/'(x)=x+xT有三个不同的实数解，求。的取值范围.

【解析】⑴解法一：f(x)=«(eOT-e-)g(x)=«(em-e-),

则g，(x)=储d+1)>0,g⑺在R上单调递增.

又g(O)=O,.•.当x<0时，g(x)<0,即/'(x)<0；当x>0时，g(x)>0,即/'(x)>0

.••/(X)在(-8,0)上单调递减，在(0,+s)上单调递增.

①当a>0时，由/得无<0,由r(x)>0得尤>0

.•"(x)在(-双。)上单调递减，在(0,+“)上单调递增

②当a<0时，同理可得〃力在(-8,0)上单调递减，在(0,+启)上单调递增.

综上，当awO时，在(-8,0)上单调递减，在(0,+。)上单调递增.

(2)解法一：由/(x)=x+xT,得em+efx+xT,易得尤>0

令/?(x)=e*+eT,贝！］6(依)=/?(欣)，又、/7(%)=6、'+b为偶函数，画)=/z(|lnx|)

由(1)知网力在(0,+8)上单调递增，二画=|lnr|,即3=间有三个不同的实数解.

令根(无)=@二加(x)=^~密，由〃z'(x)>0,得0<x<e;由加(x)<0,得X>e,

.,.〃z(x)在(0,e］上单调递增，在(e,+8)上单调递减，且〃2⑴=O,〃z(e)=!

.•.y="(x)|在(0』上单调递减，在(l,e］上单调递增，在(e,+动上单调递减

当x.0时，m(x)->+oo；当xf+8时，m(x)^0,故0<同

解得一*<0或。故”的取值范围是卜：,0卜(0,J

解法二：由/(x)=x+xT得em+efx+x-,易得x>0,

令〃(力=尤+/,则〃⑴在(0,1)上单调递减，在(1,+e)上单调递增.

由/7(即)=/7(对，得y=天或产=/,

两边同时取以e为底的对数，得or=lnx或"=-lnx,

.•.阿=|lnx|,即|一卜时有三个不同的实数解，下同解法一.

【例2】(2024届江苏省徐州市邳州市高三上学期月考)已知函数/(尤)=(/+l)ln./一分.

⑴若。=1,求尸(力的最小值;

⑵若方程/(%)=ca^-x1有解，求实数a的取值范围.

【解析】(1)当a=l时，/(X)=+l)]nx—X?—x,

f'{x}=2xlnx—x^---1,设g(x)=/'(x),贝!]g，(x)=1+21nxy.

g'(元)在(0,+8)上单调递增，且g'⑴=0,

所以xe(O,l)时,g'(x)<0,广(X)单调递减，

时,g'(x)>0,f(x)单调递增,所以〃x)1nto=

(2)/(力=oxe2ax一/即2(/+1)比尤=2ax(e2ax+1),

即，+1)111彳2=[2"+1)111/方，设/z(x)=(x+l)lnx(尤>0),贝1"2，)=/巾2")

11Y—1

h'(x)=lnx+l+—,设相(x)=lnx+l+—(x>0),贝!Jmz(x)=——,

XX

所以X£(O,1)时，mf(x)<0,加(%)单调递减，

XE(1,+X)时，m(%)>0,加(尤)单调递增，

所以根(x)>m(l)=2>0,即/z'(x)>0,"(%)在(。,+8)上单调递增，

所以方程〃司=返2以-%2有解即x2=e2-在(0,+。)上有解，

2ar=21n尤有解，即〃=生二有解，设〃(力=生2(％〉0),则"(x)=l

XXX

x<0,e)时，〃(%)单调递增，

xc(e,4w)时，"(x)<0,〃(%)单调递减，所以=L

e

当xf0时，〃(x)f-oo,所以。<!,即实数。的取值范围是.

eIe_

【例3】(2024届陕西省西安市部分学校高三上学期考试)已知函数〃x)=lnx-办-

X

⑴当a=2,求〃x)的极值；

(2)若/(力4-e"恒成立，求。的取值范围.

【解析】(1)当a=2时/(x)=lnx-2x-‘，xe(0,+oo),

则广⑺」—2+—十+1」(1)卜1),

所以在(0,1)上用x)>0,〃x)单调递增，在(L+s)上/'(力<0,/(x)单调递减，

当x=l时〃尤)取得极大值，/(1)=0-2-1=-3,故〃力的极大值为-3,无极小值.

(2)由7可得Inx-ox-LV-b"，则lnx-工Wox-e-",即Inx-Lwlne"———.

xx%e"

令g(无)=ln龙一J,JJJlJg(x)<g(eQ),

因为g(x)在(0,+8)上单调递增，所以x<e,则

令〃(x)=T，则〃(x)=上等，

在(0,e)上〃(尤)>0,人(无)单调递增,在(e,+oo)上〃(x)<0,用⑺单调递减,即人(尤)max=无⑻=L

所以。2工，则〃的取值范围为-,+®\

eLe)

【例4】(2024届安徽省六校教育研究会高三上学期素质测试)己知函数/(x)=ae，-x(e是自然对数的底

数).

⑴讨论函数〃x)的单调性；

⑵若8(%)=觉'(尸1)-111%+〃h有两个零点，求实数。的取值范围.

【解析】(1)因为/(x)=ae=x,所以/'(x)=ae*T,

当aWO时，r(x)<0,所以〃力在R上单调递减;

当a>0时，令/,%)>0得犬>—Ina；令/'(x)<0得％v—Ina,

所以/(力在(f,-In。)上单调递减，在(-In欣)上单调递增.

综上，当a«0时，f(%)在R上单调递减,无增区间；当a>0时，/(%)在(fo,-Ina)上单调递减,在(-ln〃,+oo)

上单调递增.

(2)由题意且(％)=3炉(％-1)一111%+/(%)=0¥©"-111兀一兀二0¥&，-111(屁，)(％>0)有两个零点，

令"xex,(x>0),则7'=(l+x)e*>0在(0,+e)上恒成立，所以"xe，在(0,+e)上单调递增，

故t>0,所以g（x）=<2xe，-ln（尤e*）有两个零点等价于T（r）=aL有两个零点,

等价于0=片有两个不同的实数解’等价于'="与〃⑺有两个交点,

贝/7'（力>0得0</<e,"«）<0得t>e,

所以〃⑺=乎在（0,e）上单调递增，在（e,+o））上单调递减，又〃（e）=/=g,力⑴=0,

当r趋向于0且为正时，〃⑺趋向于负无穷大，当f趋向于正无穷大时，力⑺趋向于0,如图:

由图可知，要使y=。与如）=叱有两个交点，则0<a<L

te

所以实数。的取值范围为。

e

【例5】（2024届重庆市渝北中学高三上学期月考）已知函数〃x）=；/+Hn（x_l）,

8（司=4）+,卜+尤.

⑴当a=-l时，求函数“力的极值；

⑵若任意看、941,内）且为*%，都有g&）-g（，>i成立,求实数。的取值范围.

玉—x2

【解析】（1）当a=—l时，/（x）=1x2-ln（x-l）,其中xe（l,伊），

112-—7

贝!1/'（尤）=彳尤----;=r'/r".令/'（尤）=0,解得x=-l或无=2,

2x-12^x-nl）

又因为x>l,所以x=2,

列表如下：

X（1,2）2（2,+00）

/（X）—0+

单调递减极小值单调递增

因此了(元)有极小值/(2)=1,无极大值.

(2)解：因为g(x)=〃x)+—+尤，"X)=)炉+aln(x—1),

所以g(x)=aln(x-l)+!+x,其中xe(l,+co),

对VX］、&且工产々，不妨设玉>%,则玉-尤2>。，

得到g(西)-g(玉:)〉^一^，化为g(E)—玉〉8(%)一%，

设/z(x)=g(x)-x且函数/z(x)的定义域为(1,+8),

所以〃(力=如(尤-1)+4在(L+°o)为增函数，

即有〃'(x)=含一5W0对x>l恒成立，即对任意的x>l恒成立,

设夕(x)=［^,其中xe(l,+»),贝1］夕〈力=彳「，

令夕3>0,解得l<x<2,令0(x)<O,解得x>2,

所以e(无)在(1,2)上单调递增,在(2,+8)上单调递减，

所以。(无)最大值9(2)=，，因此实数。的取值范围是心

【例6】已知函数/(x)=x—〃lnx,(QeR)

⑴请讨论函数/(%)的单调性

(2)当xeJ+e］时，若eXN：(ln(lnx+x+l)+l)恒成立，求实数4的取值范围

【解析】⑴f(x)=l-V=^(x>0)

XX

当a40时，/(尤)>0,7(x)在(0,+8)上递增

当。>0时，在(0,a)上/(x)<0,/⑴单调递减

在(a,+w)上/'(x)>0,/(X)单调递增

(2)原式等价于xe*=eM'+xN〃ln(lnx+尤+1)+1)

设f=lnx+x,xe|,+coj

由(1)当。=一1时，/O)=lnx+x为增函数，,

e

二等式等价于et"ln«+1)+1),恒成立，

4.(2024届全国统一考生押题卷)已知函数〃x)=(x—2)e”,g(x)=«xln(*(a>0).

⑴求曲线y=/(x)在点(2,〃2))处的切线方程.

⑵当。=1时，讨论函数g(x)的单调性.

⑶若“X)2g(力-2/对任意x71,口)恒成立，求实数。的取值范围.

5.(2024届山东省部分学校高三上学期联考)已知函数〃x)=aln(x+l)-ax.

⑴当aw0时，讨论“X)的单调性；

X+1

⑵当x>-l时，〃x)〉G-e+〃恒成立,求实数a的取值范围.

X+1

6.已知/(%)=x2ex一〃(％+2Inx)

⑴当“=e时，求“X)的单调性；

⑵讨论〃尤)的零点个数.

7.已知函数/(x)=e"-alnx,aeR.

⑴当。=0时，若曲线y=/(x)与直线'=近相切于点P,求点P的坐标；

⑵当a=e时，证明：/(x)>e；

(3)若对任意x«0,y),不等式〃x)>alna恒成立，请直接写出“的取值范围.

2x_-1

8.(2023届广东省深圳市光明区高三二模)已知函数〃力="尸的图象在(L/0))处的切线经过点

(2,20.

⑴求。的值及函数的单调区间；

⑵设g(x)=竺二，若关于x的不等式加g(x)<e2"-1在区间(1,+s)上恒成立，求正实数4的取值范围.

lux

9.己知“无)=j|一・，g⑶=a+；lnx,aeR

⑴当xe(l,"o)时，求函数g(H的极值;

⑵当a=0时，求证：f(x)>g(x).

10.(2023届海南省海口市龙华区高三一模)已知函数/(力=里+1.

x—1

⑴讨论函数“X)的单调性；

(2)已知彳>0,若存在xw(l,+co),不等式—zu---------:—Nlnx成立，求实数彳的最大值.

(Ve)+1尤T

11.(2023届吉林省长春外国语学校高三上学期考试)已知函数〃x)=e*-依(e是自然对数的底数).

(1)当。=1时，求"X)的极值点；

⑵讨论函数Ax)的单调性；

⑶若ga)=e'(x-1)-alnx+〃x)有两个零点，求实数。的取值范围.

12.已知函数/(x)=eX,g(x)=sinx.

⑴求g(x)=sinx在x=0处的切线方程；

(2)求证:g(x)-g,(x)+l<x-/(x)-lnx.

⑶当xe[0,句时，g(x)-2[/(%)-l]<7};ln(x+l),求实数小的取值范围.

13.已矢口函数/z(x)=Ae*—〃u,g(x)=lnx+x+l.

⑴当7"=1时，求函数可力的单调区间：

(2)若%(x)..g(x)在xe(O,y)恒成立，求实数机的取值范围.

14.已知函数/(%)=xex-ax-a\nx.

(1)若。=6,求〃尤)的单调区间；

⑵是否存在实数。，使对xe(O,刈)恒成立，若存在，求出。的值或取值范围；若不存在，请说明

理由.

15.已知函数/(x)=ov+lnx+l.

⑴若/(丈)在(。,”)上仅有一个零点，求实数a的取值范围；

⑵若对任意的尤>0,”x)Vxe2x恒成立，求实数a的取值范围.

16.已知函数〃力=。^,其图象在％=e处的切线过点(2e,2d).

⑴求a的值；

(2)讨论的单调性；

(3)若；1>0,关于x的不等式X#(x)4e2〃-1在区间工也)上恒成立，求彳的取值范围.

专题11函数中的同构问题

考情分析

近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将不

同的式子通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方

法，这体现了转化思想.此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，

或利用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.

解题秘籍

(一)同构函数揭秘

同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比如

e“'+x与x+lnx属于“跨阶函数"，而e'+ln尤属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解，一般

是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函数问题

转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：/(x)=xe，'J(x)=xlnx,

/(x)=x+e',/(x)=x+lnx,=e*-x+a,〃x)=lnx-x+a等，在一些求参数的取值范围、零点个数、

不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数等问题中常通过构造同构函数求解.

利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；尤二阴二工二^^二年工:1山二兰二/一爪等.

X

【例1】(2024届江苏省苏州市高三下学期三模)已知函数〃x)=lnx+ar+lMwR.

⑴讨论F(x)的单调性；

⑵当a<2时，证明：^-<e2x.

X

【解析】(1)函数/(x)=lnx+ar+l,aeR的定义域为(0,+动，S.f'(x)=-+a.

当a»0时，Vxc(0,+8)，r(x)=L+a>0恒成立，所以了(力在区间(0,+功上单调递增；

当a<0时，4f'(x]=-+a=]^=0,解得》=_工，

xxa

当xe(o,-：J时，尸(x)>0J(x)在区间(0,-J上单调递增，

当时，r(x)<0J(x)在区间卜，+“)上单调递减.

综上所述，当a20时，/(力在区间(0,+8)上单调递增；

当a<0时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.

(2)当“42时，因为尤>0,所以要证工@Me?，，只要证明胆生口Ve?，即可，

XX

即要证lnx+2%+l4xe2x,等价于已2A以之lnx+2%+1(*).

令g(%)=c4-％-1,则/(尤)二炉一1,

在区间(-8,0)上，g'(x)<0,g(x)单调递减；在区间(0,+8)上,/(九)>0名(尤)单调递增，

所以g(%)2g(0)=e°-0-l=0,所以e"Nx+l(当且仅当x=0时等号成立)，

所以(*)成立，当且仅当2%+lnx=0时，等号成立.

又/z(x)=2x+lnx在(0,+8)上单调递增，彳：］=：—1<0,%⑴=2〉0,

所以存在使得2x°+lnx°=。成立.综上所述，原不等式成立.

【例2】(2024届重庆市南开中学高三上学期第质量检测)已知函数〃力=f+血+依在x=l处的切线/和

直线彳+y=0垂直.

⑴求实数。的值；

⑵若对任意的&A2c(0,2］,玉片毛，都有了二)一修了；+、>〃z成立(其中e为自然对数的底数)，求

e'-e2

实数机的取值范围.

【解析】(1)由函数/(%)=炉+1«%+依，可得/'(x)=2x+^+a,可得/'(1)=。+3

因为函数在x=l处的切线/和直线x+y=0垂直，所以广(1)=1,

即a+3=1,解得Q=—2.

(2)解：不妨设0<%<%«2,贝！Je~—e为vO,

因为对任意的外,々«°，2］，％产%，都有于")一彳二)「X；+¥>山成立,

%1X2

可得了(%)—/(42)—^+xfvm(e'i—e，,即/(西)一%；-me</(x2)-xf-me,

设g(x)=/(x)-炉-me*,则g(&)<g(X2)，故g(x)在(0,2］单调递增，

从而有g'(x)=1-2-me^>0,即租V-2]在(0,2]上恒成立,

设〃(»=/[-2),则现《〃⑴而。，

因为〃'(尤)=-2)+[一[)=e-•①<才V2),

令〃(x)>0,即2/一彳一1=(2》+1)(彳-1)>0,解得1<%W2,

令〃（x）＜0,即2/-尤—l=（2x+l）（x—l）＜0,解得Ovxvl,

所以/z（x）在（0,1）单调递减，在（1,2］单调递增，

又因为以1）=一，故耳力在（0,2］上最小值/幻而广一，所以机〈―，

实数机的取值范围是1一双-，.

（二）尤e*型同构

【例3】（2024届广西贵港市高考模拟预测）已知函数〃x）=aem「nx+ln"+l.

X

（1）当。=1时，请判断了（X）的极值点的个数并说明理由；

⑵若/（x）＞2a2-a恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】（1）当。=1时，/（x）=e，一巴"，xe（0,+s）,

X

x

所以/'（X）=/+吗=『e：lnx,令依无）=+lnx,贝।"（尤）=（尤?+2%）e+

XXX

当xe（0,+co）时，〃（x）＞0,在（0,+8）上单调递增，

又以；）=手一出2＜。，3）=e,；/（x）存在唯一零点看,且不€（；,1）,

当尤€（0,飞）时，f\x）＜0,/（x）在（0,%）上单调递减,

当xe(尤o，+co)时，f\x)>0,/(x)在(与,+00)单调递增.

/(x)有一个极小值点％,无极大值点.

(2)/(x)=ae"-lnX+lnfl+1^2a2—a恒成立，

/.axe"-[ln(ax)+l]^2«2x-〃元恒成立，/.axe"-[ln(ax)+1]+ax^lc^x恒成立.

令t=ax,贝lJ/£(0,+8),「.2qKe'一山’+1+1恒成立.

t

设g(x)=e"-见出.，由(1)可知g(%)的最小值为g(%).

x

-lnA,)

又以不)=x：e与+Inx0=0,毛砂=^-=---lnx0=-eInx0.(*)

七%

设m(x)=xe”,当%>0时，加(%)=(%+1把"〉0,「.皿%)在(0,+8)上单调递增,

.XQE(―,1),XQ>0,—Inx0>0,

当1

由(*)知加(％)=加(一In%),.•.%=—in%,即e°=1.

%

...g(x°)=e』一^^」一匕=1,

X。4X()

:.2a<M=2,.\a<l,又a〉0,的取值范围为(。』.

(三)(%+〃)Inx型同构

]nY

【例4】(2023届福建省宁德市高三高考前最后一卷)已知函数〃尤)=丁+〃?(相€中.

⑴讨论函数/(x)的零点的个数；

ax.1\

(\修/⑺(.+1)，求实数〃的取值范围.

【解析】(1)令/(%)=电m+机=0,则更三=一相，记g(x)=电工则g<x)=，