2025届山东青岛高三11月调研数学试卷（含答案）

数学试题

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号

条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.若集合A={—2,—1,0,1,2},B={x|ln（l-x）＜2},则4口43=（）

A.{2}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{-2,-1,0}

2.已知a,b都是实数，那么“a〉6”是“〉血”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

只要将函数y=cos12x+gj的图象（

3.要得到函数y=sin2x的图象,)

TV7T

A.向右平移二个单位B.向左平移乌个单位C.向左平移二个单位D.向右平移？个单位

661212

4.已知平面向量Z,B满足同=2同=2,且cos,则B在Z方向上的投影向量为（）

1-1一1-1-

A.—aB.一aC.—aD.一a

6633

5.函数/(%)=/"COS71X的大致图象为（)

6.“克拉茨猜想”又称“3〃+1猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个

猜想：任给一个正整数力如果〃是偶数，就将它减半；如果〃是奇数，就将它乘3后加1.不断重复这样的

运算,经过有限步后，最终都能够得到1.若〃经过5次运算后首次得到1,则〃的所有不同取值的和为()

A.16B.32C.37D.5

7.若正数m万满足2+1082〃=3+1083匕=1086(〃+“)，则,+()

JJab

A.128B.108C.2D.1

8.定义在R上的函数/(x)对V%i,x2G[0,+8),都有一</+Xix2+君，且

x1-x2

f(x)-f(-x)=2x3,则不等式/(x)+l+3%>/(l+x)—3/的解集为()

A.[-]+ooJB.C.[―D.[一吟一句

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.已知三条直线/,m,n和三个平面a,B,y,则(

A.若/〃加，I//n,则加〃〃B.若/ua,al。,则/_L£

C.若/〃0，/〃力，则D.若0门£=/，lLY,则a_Ly

10.已知函数=Jsin%+Jcosx,贝U()

JT

%=；是、=〃力图象的一条对称轴

A./(x)的定义域2伍2左兀+万(GZ)B.

C.”X)在区间],上单调递增3

D.的最大值为2%

11.已知实数X,y满足(x—丁)2+1+/-4=0,则()

A.x+yW2B.x+y2-2y12C.x-y，———D.x-yW———

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.已知等差数列{a“}(〃eN*)中q,a2,成等比数列，a5=13,则为=.

13.已知曲线丁=e*在x=-1处的切线与曲线y=o+lnx相切，则“=.

14.已知集合A={3,4,…,”+2}(“23,neN*),若集合MqA,且M中的所有元素之和为奇数，称

M为A的奇子集，则A的所有“奇子集元素之和”的总和为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(13分)

设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acosC=2。-Gc

(1)求A；

,V3-1

(2)若c=2,AABC内切圆半径r=------,求a.

2

16.(15分)

已知数列{aj满足：4=；，2〃a“+i=(〃+1)4,neN*.

(1)求数列{4}的通项公式；

⑵记印表示不超过尤的最大整数，2-,求2

k=}Lk=l_

17.(15分)

如图，在四棱锥尸-A2CD中，底面ABCD为矩形，PD=AD=1,平面24。_L平面ABCD,平面PCD1.

平面A2CZ),平面E4D与平面夹角为45°.

A

(1)点尸，A,B,C,。均在同一球面上，求该球的体积；

(2)点E,F,G分别在棱AB,BC,PB上,当AEFG为等边三角形时，求直线A。与平面EEG所成角的

正弦值

18.（17分）

已知函数〃%)="+尸—2—4(a〉0且awl),当左=0时，/(x)^0.

(1)求a；

(2)若/⑼为的极小值，求上的取值范围；

16、历,广

(3)证明：8——^<(ln2)"<672-8.

19.(17分)

如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，或是对这些结果继续进

行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和余弦值都是可解

数，则称这个角为可解角.如：30°,45°,120°角都是可解角.

(1)判断2+6，孤是否为可解数(无需说明理由)；

(2)证明：72°角是可解角；

(3)已知每个可解数。都是某些整系数多项式函数〃耳=%+。逮+4必+~+。/'(«eN)的零点，

这些多项式中，尤的最高次数"最小，且系数4，%，/，…，4的最大公约数为1的多项式函数称为a

的最小多项式函数.任一可解数a的最小多项式函数中x的最高次数"必为2m(根eN).例如：血的最

小多项式函数不是g(x)=(炉-2^X=X3-2X,而是/(x)=x2-2.

证明：20°角不是可解角，并求整数度数的锐角中最小的可解角.

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数学参考答案及评分标准

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1-8：CBDAACBB

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.AD10.ABD11.BC

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.

2

12.25或13；13.-；14.〃（a+5）x2”-3

四、解答题：本题共5小题，共77分.

15.（13分）

解：（1）由正弦定理得2sinAcosC+GsinC=2sinB

因为B=TI-(A+C),所以sinB=sin(A+C)

所以2sinAcosC+百sinC=2(sinAcosC+cosAsinC)

即cosA=、一,且Ae(0,7t),所以A=P

26

(2)S^BC=1(a+Z?+c)r=|(a+Z?+2)r

又因为S^=~bcsvaA=­b

BC22

ii卜一、

所以—b=—(o+Z，+2)r,即r=-------=——

22V'a+b+22

所以。=收一2①

由余弦定理得/=/+4-2扬②

解得。=1

16.（15分）

解：（1）由题知：.=

n+12\n

因为幺=工00,所以数列[%]是以工为首项，工为公比的等比数列

12[n]22

所吟V，所以

、12〃ie12n

(2)因为g4=万+齐+…+吩，或4=齐+百+…+诃

J___1

H4.WE11S1111«22"

两式作差得—/——I—TH—rH---1--------7=----7"

2tfk222232"2"+i」

~2

所以fa*=2-n+2

k=\2"

13

易求得a二—,2=0,b=-

238

〃+3n+2n+3-2n-4士2<0,所以1叶2］是递减数列,

因为万丁一亍

2n+12n+12nI

、t,t八九+2,<czrn+2t

当〃22时，0<----Wl,0W1------<1

2nT

LL1I7C"+2n+2n+2,,n+2n+2

所以£=2--—2-----=2----1--+1-----=1-----

2"2"2”2"

1

n=\

27

综上，bn=<

n+2

1-〃三2

17.（15分）

解：（1）因为底面ABCD为矩形，所以A。LCD

又因为平面PCD，平面ABCD,且平面PCDfl平面A5CD=CD,A£>u平面ABCD,

所以平面尸CD,所以同理：CD工PD

又因为ADp|CD=。，所以PD1■平面ABC。

由题知NADB=45°,由平面ABC。为矩形知：ZDAB^90°,

所以乙43。=45°,所以AD=A8=1,ABC。为正方形，

记尸8中点为0,可求得：0P=0A=0B=0C=0D=2,

V3

所以O为该球的球心，其半径R=OB=—

2

4、/3

因此，该球的体积v=—兀&=乙兀

32

（2）若平面EFG与平面PAC不平行，

依平行性，不妨将点G放在点P的位置，不妨设E不在A的位置，

22

则GE=’尸。2+力后2,EF=^BE+BF<V2,不合题意

若平面用G//平面点则普嘿/书FGEG

~CP~~AP

所以EF=FG=EG,所以AEFG为等边三角形，

又因为平面EEG〃平面E4C,两平面的法向量共线，

所以直线AD与平面EFG所成角等于AD与平面PAC所成角

下面提供向量法和几何法两种参考解法：

（法1）以。为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。-孙z,则

尸（0,0,1）,£>（0,0,0）,0,0）,C（0,1,0）,

_/\n,PA=0

设平面南C的一个法向量为〃=（x,y,z）,贝_____.,

n-PC=0

x-z=0-/、

所以《，令z=l,得〃=（1,1,1

j—z=0

显然而=（1,0,0）,设AO与平面出C所成角为凡

\DA-I^i73

V33

（法2）连结AC,BD交于点。,在直角APDO'中，过。做

因为ACJ.3。，AC1PD,PDC\BD=D,PD,BDu平面PBO,

所以AC,平面尸友），

所以AC，。“，又因为DH_LPO',ACC\PO'=O',

所以。4_L平面PAC,

所以ZDAH为AD与平面PAC所成角

在直角APDO'中，DHPO'=PDDO',解得DH=好

3

DH43

设AD与平面E4C所成角为凡则sin9=

AD-V

18.（17分）

解：(1)/(x)=ax\na-c~x

由〃0)=0知，的最小值为〃0)

所以/(0)=0

解得In〃=1,即a=e

(2)显然/(力为偶函数，只需研究冗20的情况，

/(x)=ex-e-x-2kx

若kWL贝ij/(x)2e?—。一“一2%,令"(%)=e*—6一"一2九，

则"(尤)=ex+e"-222je-7—220,

所以〃(x)在(0,+oo)上单调递增

所以〃x)N〃((x)>〃⑼=0,在(0,+oo)上单调递增，

依对称性，“X)在(-oo,0)上单调递减，

故/(0)为极小值

2x_2kex+1

若k>l,f(x)=e-e-x-2kx,令g(x)=〃x),g\x)=e-2k=-e一

e

令g'(x)=0,即e2*-2左1+1=0,

me=k+y]k2-1(e*=Z-42—1<0舍),所以x=ln(0+J12—1)

因为g<0)=2—24<0,7r(0)=0

当xe(0,In(左+J/时,g<x)<0,在(0,ln(1+“，-1))上单调递减,

所以〃x)在(0,ln(左+“2_3上均小于0

所以/(x)在(0,ln(%+后可上单调递减，而/(0)=0,故不合题意，

综上，左的取值范围为左W1

(3)结合(2)：令人=1,则/(lnJ5)=浮一2—(in收丁〉0,

解得(In2)2<68-8

,

令ln0=ln(左+J/2一11gpg(lnV2)=0,得左=『>1,

则/(lnV5)=孚一2—孚(in后『<0,解得(也2)2〉8—^^,

所以8—^^^<(ln2)2<6行—8

19.(17分)

解：(1)2+百是可解数，)汨5是可解数,次不是可解数

(2)设e=72。，则sin5a=sin360°=0

又sin5a=sin+4。)=sin。cos4。+cosasin4a

=sin6z^2cos22a-l)+2cosasin2acos2a

22

=sina(2(l—2sin2-ij+4sin6Z^i-sincif^l-2sma)

=sina(16sin，。—20sin?。+5)=0

因为sinawO,所以16sin4a—20sin2a+5=0,

解方程16sin,a-20sin2a+5=0,得sin72°=血+2也是可解数，

4

又cos72°=Jl-sii?72。显然是可解数,所以72°角是可解角

(3)先证明20°角不是可解角.

因为cos3x=cosxcos2x-sinxsin2x

=cosx(2cos2x-lj-2sin2xcosx

=cosx(2cos2x-l)-2(l-cos2x)cosx

=4cos3x-3cosx

1R

所以一二cos60°=4cos3200-3cos20°,

2

BPcos20°是/(x)=8/一6%—1的零点

根据已知结论，若cos20。是可解数，那么它的最小多项式函数最高次项次数只能是1或2,

即/(%)=8丁—6%—1有整系数一次或二次因式，

(法1)