2025高考数学复习必刷题：直线与圆锥曲线的位置关系

第69讲直线与圆锥曲线的位置关系

知识梳理

知识点一、直线和曲线联立

22

(1)椭圆斗=l(a>b>0)与直线/:y=丘+相相交于AB两点，设A(%,%),

ab

5(%，%)

2222222

<ah,(b+ka)x+2akmx+a2M_〃282_Q

y=kx+m

22

椭圆一+4=1(。>0方>0)与过定点(〃?，0)的直线/相交于A3两点，设为》=h+机，

ab

[22

土—1

如此消去X,保留y,构造的方程如下：>(«2+t-b1)y2+2b2tmy+b2^-a2b2=0

x=ty+m

注意：

①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都

需要摆出A>0,满足此条件，才可以得到韦达定理的关系.

②焦点在y轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似,不在赘述.

(2)抛物线丁=2*(p>0)与直线x=?+〃z相交于A8两点，设4(占，%),

B0,%)

联立可得可=2p((y+m),A>0时，1%+为一20

[K%=-2pm

2=2

特殊地，当直线回过焦点的时候，即机，y^i=-2pm=-p,xtx2=-^~■P'

因为他为通径的时候也满足该式，根据此时A、8坐标来记忆.

抛物线f=2py(p>0)与直线y=fcr+〃z相交于C、。两点,设C(x「％),D(x2,y2)

联立可得X?=2,(后+〃0,△>()时，|,2

[司电=-2Pm

注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计

算量.开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分

析.

总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积

问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表

达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式.

知识点二、根的判别式和韦达定理

22

—r+—r=\{a>b>G)与y=kx+m联立，两边同时乘上a2b2即可得到

ab

(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2(m2-Z?2)=0,为了方便叙述，将上式简记为+及+。=().该

式可以看成一个关于X的一元二次方程，判别式为△=4〃282(/%2+/—加2)可简单记

4a2/72(A-m2).

22

22

同理=+与=1(。>匕>0)和尤=9+相联立(。2+//)y2+2/加q+力2根2-ab=0,为了

ab

方便叙述，将上式简记为Ay2+5y+C=0,\=4a2b\a2+t2b2-m2),可简记4//(A—加2).

/与。相离oAvO;/与。相切oA=0；/与C相交oA>0.

注意：(1)由韦达定理写出玉+%2=-0，石%2=C，注意隐含条件A>0.

AA

(2)求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意.

(3)如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把从互换位置即可.

(4)直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把匕2换成-廿即可；

焦点在y轴的双曲线，把/换成-廿即可，户换成/即可.

(5)注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用△判断根的关系，

因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根(一般为交点横纵坐标的范

围限制)，所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，

真正算出具体坐标.

知识点三、弦长公式

设%),N(X2,%)根据两点距离公式I跖V|=-%)2+(X.

(1)若M、N在直线>=区+机上，代入化简，得|MN|=J1+4［西一羽］.

(2)若M、N所在直线方程为x=?+:〃，代入化简，得|ACV|=J1+产帆

(3)构造直角三角形求解弦长，|MN|J尤2-八」为711.其中左为直线斜率，

|cosaIIsinaI

a为直线倾斜角.

注意：(1)上述表达式中，当为上工0,时，mk=1.

(2)直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用.

(3)直线和曲线联立后化简得到的式子记为Ax2+8x+C=0(Aw0),判别式为

A=B2-4AC,A〉。时，悦一司="（石+分）2—=3-£）2-4。=：&广=音,

利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率.

（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会

更加简单.

（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式.

知识点四、已知弦4?的中点，研究钙的斜率和方程

22

（1）钻是椭圆1r+方=1（。＞力.0）的一条弦，中点则AB的斜率为

〃无0

2，

〃为

运用点差法求的斜率；设4（再,％）,B（x2,y2）（x,^x2）,A,8都在椭圆上,

2_22_2

,两式相减得为T2-%二二=o

ab

（百+%）（占一尤2）+=°

a2b1一

2

gn（^i--V2）_b\Xl+x2）_bx=_b\

2AB

（%-%）〃（%+%）ay0a2yo

22

（2）运用类似的方法可以推出；若AB是双曲线a-卓=1（。＞40）的弦，中点

M（x0,y0）,贝隈旗="；若曲线是抛物线y2=2px（p＞0）,贝痔B=2.

a%%

必考题型全归纳

题型一：直线与圆锥曲线的位置关系

丫2

例L（2024・全国•高三对口高考）已知椭圆C:5+y2=i的两焦点为%工，点P（%,%）满

足0〈耳+弁＜1,则直线乎+%y=l与椭圆C的公共点个数为（）

22

A.0B.1C.2D.不确定，与P点的

位置有关

【答案】A

【解析】因为0〈与+y；＜l,所以片+2y：＜2,

fx22।

——+y=1

由，2可得（x：+2y：）f_4孙,+4-4y=0,

手+皿=1

所以△=16x；-41；+2火）（4一4M）=16^（片+2北一2）＜0,

所以直线警+为y=l与椭圆C的公共点个数为0.

故选：A.

例2.（2024・全国•高三对口高考）若直线/被圆C:/+y2=2所截的弦长不小于2,则/与

下列曲线一定有公共点的是（）

A.（%-1）2+y2=1B.——Fy2=1

2

C.y=x2D.x2-y2=l

【答案】B

【解析】由题意，圆C：Y+y2=2的圆心为（0,0）,半径为

设直线方程为改+6y+c=。，直线/到圆心（0,0）的距离为d,

由弦长公式得k*所以小.

a-O+6-O+c

由点到直线的距离公式得,,----'<1,^c2<a2+b2.

yja2+b2

\a+c\

对于选项A,直线/到该圆圆心的距离为,।

7a2S

\a+c\

取〃=0,，=c=l,满足条件，而。［=2＞1,直线与圆没有公共点，故A排除;

对于选项B,当万=。时，对于直线/有x=--,c2＜a2,

a

联立椭圆方程得y2=1一与21=L所以必有公共点；

a22

当6w0时，联立直线/与椭圆方程得（〃+2/）f+4acx+2c2-2b2=Q,

221

A=（4AC）-4仅2+2a2）（2c-2b）=862c?+幼，+i6a^>Q,

所以必有公共点；故B正确;

对于选项C,联立直线/与抛物线方程得法2+依+c=o,

若b=0时，则awO,有解x=-£；

a

若bwO时，△=/_4反，^a=b=c=l,则AvO,方程无解，此时无公共点，故C错

误；

对于选项D,当〃=0时，对于直线/有x=~—,c2<a2,

a

联立双曲线方程得:-141-1=0,

a

取。="|,则直线/：x=-p与双曲线不存在公共点，故D排除.

故选：B.

2

例3.（2024・重庆•统考二模）已知点P。,2）和双曲线C:/一q=1,过点尸且与双曲线C

只有一个公共点的直线有（）

A.2条B.3条C.4条D.无数条

【答案】A

2

【解析】由题意可得，双曲线/一3=1的渐近线方程为>=±2"点（1,0）是双曲线的顶

点.

①若直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=l,此时，直线/与双曲线C只有一个公共

点，合乎题意；

②若直线/的斜率存在，则当直线平行于渐近线y=-2x时，直线/与双曲线只有一个公共

点.

若直线/的斜率为2,则直线/的方程为y=2x,此时直线/为双曲线C的一条渐近线，不合

乎题意.

综上所述，过点P（l,2）与双曲线只有一个公共点的直线/共有2条.

故选：A.

变式1.（1999•全国•高考真题）给出下列曲线方程：

①4x+2y—1=0；

②x?+y2=3；

@-+y2=1；

2

④y2=1.

2

其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线方程是（）

A.①③B.②④C.①②③D.②③④

【答案】D

【解析】直线，=一2彳-3和4x+2y-l=0的斜率都是—2

，两直线平行，不可能有交点；

把直线>=-2》-3与/+_/=3联立消去y得5*2+12*+6=0,A=144-120>0,，直线与

②中的曲线有交点；

把直线V=-2X-3与1+y2=l联立消去）得9/+24X+12=0,A=24X24-18X24>0,

直线与③中的曲线有交点；

把直线y=-2x-3与］-y2=i联立消去y得7/—24X-12=0,A=24x24+4x7x12>0,

直线与④中的曲线有交点.

故选：D.

变式2.（2024.辽宁沈阳.统考一模）命题）：直线、=去+。与抛物线Y=2py有且仅有一个

公共点，命题q：直线丫=辰+6与抛物线/=2py相切，则命题p是命题q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

【答案】C

【解析】•••抛物线炉=2处的对称轴为y轴,

一条直线与抛物线f=2py有且仅有一个公共点，则该直线与抛物线相切或者该直线与

x轴垂直，

:直线>=履+万存在斜率，与x轴不垂直，

“直线V=履+》与抛物线炉=2py有且仅有一个公共点”等价于“直线y=kx+b与抛物线

V=2py相切”，则命题p是命题q的充要条件.

故选：C.

变式3.（2024・全国•高三专题练习）过点（1,2）作直线，使它与抛物线丁=4x仅有一个公共

点，这样的直线有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】B

【解析】当直线的斜率不存在时，直线x=l,代入抛物线方程可y=±2,故直线x=l与抛

物线有两个交点.不满足要求，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为y-2=上(3-1),

由,消x得，切-分-必+8=0,

当左=0时，解得尤=l,y=2,直线y=2与抛物线有且只有一个交点，符合题意；

当％中0时，由△=(一4)2—4左(8—4左)=0,可得％=1,

即当k=1时，符合题意.综上，满足条件的直线有2条.

故选：B.

【解题方法总结】

(1)直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程

联立方程消元后得到一元二次方程，其中△>();另一方面就是数形结合，如直线与双曲线

有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到.

(2)直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛

物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切.

题型二：中点弦问题

方向1：求中点弦所在直线方程问题；

22

例4.(2024・新疆伊犁•高二统考期末)过椭圆±+±=1内一点尸CM)引一条恰好被尸点平

54

分的弦，则这条弦所在直线的方程是

【答案】4%+5,-9=。

22

【解析】椭圆三+上=1即4/+5/=2。，

54

设弦的两端点分别为4为，乂)，B(x2,y2),则七三=1,入产=1,

贝I]4x；+5犬=20,4年+5代=20,

两式作差可得：4(、-%)(而+%)=-5(%-%)(%+%)，

.4（芭+三）_4

,,占一%5（%+%）5,

直线过点PCM）,

，这条弦所在直线的方程是y-1=-43尤-1）,

即4x+5y—9=0.

故答案为：4尤+5y-9=0.

22

例5.（2024・重庆•统考模拟预测）已知椭圆C：上+匕=1,圆O：x2+y2=4,直线/与

124

圆。相切于第一象限的点4与椭圆C交于尸，。两点，与x轴正半轴交于点3.若

\PB\=\QA\,则直线I的方程为.

【答案】x+y-2y/2=0

【解析】取AB中点M,连接ON,由于|冏=|洌，所以|刖=忸0,进而1PMi=|随，

设4尤0，兄），设直线上任意一点N（x,y）,

由于N4是圆的切线，所以OA.AN=0,所以

（*_%）%+（=_%）%=0=对）+戏=君+y=4,

<4>

4/4\九。---

令y=0,贝"=一,所以8—,0,由中点坐标公式可得M--^，4，

尤。）22

\7

2222

设P&,%,则工+支=1,迤+近=1，两式相减可得

124124

,―尤。0二二4X]+4=]尤”，

124xx-x212%+%3%'

所以原见=_：，又％=-1-=寸，k°M±,

3kOA%七+r

Ao

%（飞）_1

所以4IyQ\3，解得x；=2,x0>0,：.X。=6,进而为=血

%

故直线/的方程为缶+&y=4,即x+y-2后=0,

故答案为：x+y-2立=0

例6.（2024•陕西榆林•高二统考期末）已知48为双曲线/一］=i上两点，且线段A3的

中点坐标为（-L-4）,则直线A3的斜率为.

9

【答案】:/2.25

4

【解析】设4（%,乂）,3（々,%），

=1

=1

两式相减得（%+工2）（%一%）=（"+__y2l,

由线段AB的中点坐标为（-1,T）,

即-2（项-%）=巴”，

x{-x24

故答案为：49

4

变式4.（2024.全国•高二专题练习）双曲线9/_16尸=144的一条弦的中点为A（8,3）,则

此弦所在的直线方程为.

【答案】3x-2y-18=0

【解析】由双曲线的对称性可得此弦所在的直线斜率存在，

设弦的两端分别为8（%,%）,C（W，%）,

则有（it：；；Ij两式相减得9（4一只）一16（弁一£）=0,

所以9(%+々)(9-x2)-16(y1+>)(y1-y2)=0,

/、fx+x,=16

又因为弦的中点为A（8,3）,所以［；+；=6

9（玉+工2）

故直线斜率心二3

16（%+必）2

3

则所求直线方程为>-3=9-8）,整理得3x-2y-18=0,

3x-2y-18=0

由得V-6y-15=0,

9/一16y2=144

A=（-6）2-4xlx（-15）=96>0,故该直线满足题意,

故答案为：3x-2y-18=0

变式5.（2024.陕西宝鸡.高二校联考期末）抛物线C：产=6x与直线/交于A,8两点,

且A3的中点为（根,-2）,贝心的斜率为.

【答案】.3

【解析】已知AB的中点为（根,-2）,设A,B两点坐标分别为（花,匕），（孙无），

则，可得货一代=6（%,-百），

ox2

即（%+乂）（%一%）=6（々一玉），

%一%6

即

x2一罚

玉+兀2=2m

%+%=一4

3

所以勺=

x2一再2、

3

故答案为：.

变式6.（2024.高二课时练习）已知抛物线。的顶点为坐标原点，准线为犬=-1,直线/与

抛物线。交于M，N两点，若线段MN的中点为（1,1）,则直线/的方程为

【答案］2%_yT=0

【解析】因为抛物线。的顶点为坐标原点，准线为x=-1,

所以易得抛物线的方程为^=4%,

设（孙％），

因为线段MN的中点为。（1,1）,

故玉+毛=2,必+%=2,

靖=4%

则x尸无2，由

坛=4%

°°/、y,-y4-

两式相减得犬-货=4（玉-马），所以上久0=二^=2,

X1~X2%+%

故直线/的方程为y—l=2（x—l）,即2x-y-1=0.

方向2：求弦中点的轨迹方程问题；

变式7.（2024•全国•高三专题练习）直线/与椭圆《+y2=i交于a,8两点，己知直线/的

4-

斜率为1，则弦A8中点的轨迹方程是.

【解析】设4（小乂），*心为），线段的中点为M（x,y）,连接QW（。为坐标原

£,则—・牛=一"七屋%=1

•/V[人]।人,人

...点M的轨迹方程为x+4y=0.

又点M在椭圆内,

2

一十<1,

4

解得:一竽《竽,

故答案为:

变式8.（2024.上海浦东新•高二上海市实验学校校考期末）已知椭圆尤2+4;/=16内有一点

弦尸。过点A,则弦尸。中点/的轨迹方程是.

【答案】x2+4y2-x-4y=0

【解析】设解西,％）,。（々，必），中点服（苍＞），

则［AI：3］；：，相减得（为-9）（占+%）+4（y,+%）（M-%）=0，

PQ斜率存在时，

.”一%一一+无2

,•占一/4（%+%）'

又M是尸。中点，且直线PQ过点ACU）,

所以⑥°=——比=_/2：,化简得Y+4/_了_4y=0,

xx-x24x2yx-1

PQ斜率不存在时，方程为左=1,中点为N（l,0）适合上述方程.

.,.点Af的轨迹方程是Y+4y2-x-4y=0.

故答案为：x2+4y2-x-4y=0.

变式9.（2024.全国•高一专题练习）斜率为2的平行直线截双曲线V-丁=1所得弦的中点

的轨迹方程是.

【答案】尤-2y=0（工＞亚或一毡）.

33

【解析】设直线为y=2x+相，与双曲线交点为（』,%）,（%,%），

联立双曲线可得：3x2+4mx+m2+1=0,则A=16m2-12（m2+1）=4m2-12＞0,即机〉百

或加＜-\/3，

4m〜、c2m/2mtn、

所以芭+兀2=—“，故y+%=2（%+%2）+2根=—屋，则弦中点为sr（一--,一~-）,

所以弦的中点的轨迹方程为元-2y=0（x>2叵或x<-2叵）.

33

故答案为：尤-2y=0（x>亚或天<-型）

33

变式10.（2024・全国•高三专题练习）直线/:衣-y-（。+5）=0是参数）与抛物线

/:y=（x+11的相交弦是A3,则弦的中点轨迹方程是.

【答案】y=2x2-7（-2<x<4）

【解析】设A（队瞽）、3（%,%）,AB中点”（x,y）,

则x1+x2=2x,

I:«（x-l）-（y+5）=0,

.•./过定点N。,-5）,

,_y+5

一^kAB=^MN=r-

x-1

又M=（%+1）2，（1）%=（%2+1）2，⑵

（1）-⑵得:%—%=（再+1）2—（/+1）2=（%—%2）（%+4+2），

=

^AB~~~—=xx+x2+2于是y+5=2丁+2,即丁=2X2一7.

国一兀2X—1

又弦中点轨迹在已知抛物线内，

1=2尤2—7

联立<.这,占=-2,々=4

卜=（尤+1）-

故弦AB的中点轨迹方程是y=2x2-7（-2<x<4）

2

变式11.（2024・全国•高三专题练习）设椭圆方程为炉+亍=1,过点"（0」）的直线,交椭

圆于点A、B,。是坐标原点，点P满足OP=（（OA+OB）,当/绕点M旋转时，求动点P

的轨迹方程.

【解析】直线/过点设其斜率为左，则/的方程为y=^+L

记A（"i）、3（々，%），

y=fcr+1

2y2化简得，（4+广卜2+2版一3=0,

XH-1

4

2k

x,+x=------

1?-4+F,,,8

所以3，yi+yi=kxl+l+kx2+l=^-—I

12=--4+-f-c27

于是。尸三（3+。2）=〔号'二卜〔£-$]

一k

..X=7+e

设点P的坐标为（X,y）,则；，消去参数上得4必+'2->=0③

当人不存在时，A、8中点为坐标原点（0,0）,也满足方程③,

22

所以点P的轨迹方程为4X+y-y=0.

方向3：对称问题

22

变式12.（2024•江苏•高二专题练习）已知椭圆E:1+与=1（°>》>0）的焦距为2c,左右

ab

焦点分别为耳、F2,圆瑞：（x+c）2+y2=i与圆工：（尤_=+>=9相交,且交点在椭圆E

上，直线/：y=x+根与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M,直线OM的斜率

1

73.

4

（1）求椭圆£的方程；

（2）若〃?=1,试问E上是否存在尸、。两点关于/对称，若存在，求出直线尸。的方程，若

不存在，请说明理由.

【解析】（1）因为圆居：（工+土+1=1与圆工：（工-»+丫2=9相交,且交点在椭圆因上,

所以2a=1+3,。=2,

设即%，％），AB的中点〃（&；,九）,

2

+1①

J1F-1

-O

22

1②

+22-1

。

2

。

+

一-

2A.21

aJIX

1上n"=l,

=>——

4a

则椭圆E的方程：—+/=i；

4.

（2）假设存在尸、。两点关于/对称，设直线尸。的方程为＞,

尸（七,%），。（为4，%）,P。中点"（4,〃），

y=-x+tO°

=>5f一8%/+4产一4=0,

八4/=4

A=64r2-20（4r-4）>0^-V5</<V5,

x+xt

3441即N

2w，

由N在/上，-1=-y+l^＞/=-^,此时方6（-正,6）,

故存在尸、。两点关于/对称，直线尸。的方程为y=-兀-

22

变式13.（2024•江苏南通・高二统考期中）已知椭圆C:》+春=1伍＞匕＞0）的离心率为e,

且过点（l,e）和

（1）求椭圆C的方程;

⑵若椭圆C上有两个不同点A,2关于直线了=尤+）对称，求|A口.

1e2_1c2_1a2-b2_1

【解析】（1）由题意知:**•Z?2=1

Iflf_x「.•一’所以椭圆Qi

a2+1-2a2+4-1

（2）法一设4（%,%）巩孙为）及42中点〃（而，几），由题意知L=T

，+才=1，£+贤=1，以上两式相减得：+货-犬=。，

可化为：:+当一*=0即j+=0,故如"=；,

2写-无；2x0x02

又在直线y=x+1■上，所以%=%+；,解得：x0=-l,%=-；

即加（一1,一£|,直线AB:y+：=-（x+l）,化简为：y=-x-|

3%+%=-2

v——x—

联立’2整理得:6/+12X+5=0，由韦达定理知彳5

Y+2y2=2

由弦长公式得：AB=J1+式[为一%|=0J(X]+/『_4%%=3J(_2『-4x：=.

法二设直线AB:y=-x+〃z,

y=—x+m

联立整理得：3x2—4mx+2m2—2=0

x2+2y2=2

士+马=4等m，则中点MI2工n7-，Y大YIi，满足直线方程y=x+1g,解得机=3

J\JJ/4乙

-3

所以Ai5：y=-x—

2

3fX.+x=—2

y=­x----9

联立｛2整理得：6尤2+12X+5=0,由韦达定理知(5

炉+29=2r%2=6

222-

由弦长公式得：AB=A/1+k[%1-x21=+x2)-4X]X2=V2^(-2)4X-1=■

变式14.（2024・全国•高三专题练习）已知。为坐标原点，点1,在椭圆C：

二+与=1（。>6>0）上，直线/：y=x+机与C交于A,8两点，且线段A8的中点为

ab

直线的斜率为一;.

⑴求C的方程；

⑵若加=1,试问C上是否存在P,。两点关于/对称，若存在，求出P,。的坐标，若不

存在，请说明理由.

【解析】⑴设4（）,5（孙力）,则

%+%

=2=%+%=1

k二Mf

M^AB=Lk°M

2'2%+%2玉+/2

2

+A

1.*AR,%）,3（格为）在椭圆上,22

-1

L2b2

两式相减得靖了2?+城工=0,整理得21二±=2L±&X上①=-与

ab玉-x2xx+x2x1-x2a

A214

=-9-9

^AB'^OM-2即一不=-2贝UQ2=2Z?2

a2a

又・••点[1整）在椭圆c，十a1上,贝1+瓢1

联立解得/=4,〃=2

22

•••椭圆C的方程为匕+工=1

42

（2）不存在，理由如下：

假定存在P，。两点关于/：y=x+l对称，设直线尸0与直线/的交点为M则N为线段产。

的中点，连接ON

vPQ^-i,则原-原2=-1，即％=一1

由（1）可得以•%=—；，贝UG=g，即直线ON:y=；x

[1「_°

y=—xx=—2

联立方程,2,解得，

尸+1〔尸T

即N（-2,-1）

•.•q_+C?）_=m>i，则N（-2,-l）在椭圆C外

假定不成立，不存在P,。两点关于/对称

变式15.（2024•上海浦东新•高二上海南汇中学校考期中）已知曲线C的方程是

（l—a2^x2+y2+a2—l=0,其中a>0,awl,直线/的方程是y=—a.

⑴请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线；

（2）若直线/交曲线C于两点M,N,且线段中点的横坐标是-2,求a的值；

（3）若a=0,试问曲线C上是否存在不同的两点A,B,使得A,8关于直线/对称，并说

明理由.

2

【解析】（1）（i-«2）x2+r+«2-i=o,即=

当。<“<1时，曲线表示焦点在X轴上的椭圆；

当时，曲线表示焦点在X轴上的双曲线；

222

（2）设加（石,弘），N（x2,y2）,（1-a）%+/=l-a,

则（l_q2）W+y；=]_/,0_q2）x；+,；=]_/,

两式相减得到：（1—6（为+马）（为一%）+（%+%）（%—%）=。，

即一4（1一+5（％+当）=0,故%+%=40（1-片），

故肱V的中点为卜2,20（1-1）），代入直线得到20（1-叫=^x（-2）-°，

解得a=e'或。（舍），故a=6..

（3）假设存在，直线方程为y=双曲线方程为/-必=1,

设4（电，%），8（4％），A3中点为（％,%）,则后一y；=l,x：-y：=l,

两式相减得到（毛+%4）（七一%4）-（为+，4）（，3-％）=。，

即（忍+兀4）++%）=0，%o+V^%=。，又yg=~^X「丘,

解得%0=l,y=—

此时直线A3方程为：?=-V2（x-l）-^,即y=-0x+等，

v=-\f2x+④3

.2，化简得到Y-2x+：=0,方程无解，故不存在.

/_/=1?2

变式16.（2024•江苏•高二假期作业）双曲线C的离心率为更，且与椭圆三+汇=1有公

294

共焦点.

（1）求双曲线C的方程.

（2）双曲线C上是否存在两点A,B关于点（4,1）对称？若存在，求出直线A3的方

程；若不存在，说明理由.

22_

【解析】（1）椭圆工+匕=1：a=3,5=2,。=石，

94

0=45

c下

所以双曲线--=------=>tz=2,Z?=l,c=.

a2

c2=a2+b2

2

所以双曲线的方程为r上-y2=l.

4

（2）画出图象如下图所示，设4（%,％）,3（%2，%），

22

X1,2_1X22_i

丁％A，丁%_1，

两式相减并化简得曰于•=；，即3B：n七8=1，

所以直线A3的方程为y-l=lx（x—4）ny=x-3.

变式17.（2024・高二课时练习）已知直线/与抛物线/=8x交于A,B两点，且线段A3恰

好被点P（2,2）平分.

（1）求直线/的方程；

（2）抛物线上是否存在点C和。，使得C,。关于直线/对称?若存在，求出直线C。的方

程；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）依题意，直线/的斜率存在，且不为0,设直线/的方程为％-2=机0-2）,

即兀=切-2根+2,

由12消去工得：V_8冲+1616=0,

U=8x

A=(-8m)2-4(16m-16)=64(m2-m+1)>0,设A4,%),5(%2,为)，则有M+%=8m，

由4机=2,得m=g,于是直线/的方程兀一2二；(丁一2),即2'-丁一2=0,

所以直线/的方程为2x—y—2=0.

(2)假设抛物线上存在点C,D满足条件，由(1)设直线CD的方程为>=x+”,

I1

y=尤+72

由，一一2消去尤得：y2+16y-16«=0,有△'=256+64〃>0,解得a>T,

y2=8x

设(?区,％)，。。4，%)，则%+%=T6,于是线段CZ)的中点坐标为(2〃+16,-8),

显然点(2"+16,-8)在直线/:2x-y-2=0上，即2(2〃+16)+8-2=0,解得〃=一1上9<一4,

2

所以抛物线上不存在点C,D,使得C,。关于直线/对称.

变式18.(2024.全国•高三专题练习)已知抛物线C：>2=4尤的焦点为F,直线/：

y=2x+a与抛物线C交于A,8两点.

(1)若a=—1,求“E4B的面积；

(2)若抛物线C上存在两个不同的点M,N关于直线/对称，求。的取值范围.

【解析】(1)抛物线C：V=4x的焦点为尸(1,0),

4=—1时，直线/：y=2x_l,

联f立y-2一x-l，可得i,+iL，

设A&,%),B(X2,%),

则xx+x2=2,xxx2=-.

|AB|=A/1+F-J(无］+x)2—4卒2='s/1+4-A/4^1=A/15,

点F到直线l的距离距离d=,

V?Tl5

•••曲的面积s=3叫*x后44.

（2）,・,点M,N关于直线/对称，，直线肱V的斜率为-；，

・••可设直线MN的方程为y=——x+m,

1

V=X+JTL

联立12,整理可得炉-（4根+16口+4加2=0,

y2=4.x

由A=（4，〃+16）2-16”/>0,可得〃z>—2,

设M（%，%），Ng,y4）,则退+%=4"?+16,%+弘=-；（电+%）+2机=-8

故MN的中点为（2机+8,-4）,

•.•点M,N关于直线/对称，，肱V的中点（2根+8,-4）,在直线y=2无+。上，

-4=2（2根+8）+。，得a=T"z—20,°；m>—2,a<—12.

综上，。的取值范围为（Y°，T2）.

方向4：斜率之积问题

2

变式19.（2024•云南昭通・高二校考期中）已知斜率为《（匕H0）的直线/与椭圆V+北=1

交于A,8两点，线段的中点为C,直线OC（O为坐标原点）的斜率为履，则左“=

（）

A.-4B.--C.--D.-16

416

【答案】D

【解