2024学年上海某中学高二数学第一学期期中考试卷（附答案解析）

2024学年同济大学二附中高二数学第一学期期中考试卷

满分：150分，完成时间：120分钟

一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）

1.在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是.

2.半径为2的球的表面积为.

3.已知长方体4sCD-ZHCQI的棱=AB=2,则异面直线8。与qG所成角的余弦值

为.

4.在四面体尸一48c中，若底面48c的一个法向量为且CP=（2,2，T）,则顶点尸到底

面48c的距离为.

5.已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为.

6.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形0HBe',且047/8'。'，

OA'=2B'C=4（A'B'=2,则该平面图形的面积为.

7.三棱锥尸一Z5C中，三条侧棱上4=PB=PC,则顶点尸在平面N8C内的射影。是V4BC的

.（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）

8.在空间四边形ABCD中，E,EG,8分别是边48,BC,CD,Z）/的中点，若四边形对角线=2,

71

对角线AC与BD所成的角为1,则FH=______.

9.如图，在圆柱a0i内有一个球”该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱a01的体积为

匕

匕，球。的体积为达，则匕的值是

10.已知二面角0一4s一6为30。，尸是半平面a内一点，点尸到平面厅的距离是1,则点尸在平面厅内

的投影到4B的距离是.

11.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆

锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为

12.如图，正方体48。。—481G3的棱长为%点P在正方形4BCD的边界及其内部运动.平面区域

W由所有满足444P区之下的点p组成，则四面体尸一48C的体积的取值范围.

二、选择题（共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分）

13.已知直线/和平面则“/垂直于。内的两条直线”是“‘工夕”的（）.

A,充分非必要条件B,必要非充分条件C.充要条件D,非充分非必要条件

14.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4,母线（原圆锥母线在圆台中的部分）

长为12,则原圆锥的母线长为（）

A.16B.18C.20D.22

15.加、〃为空间中两条直线，a、力为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（）

①二面角的范围是［0,句；

②经过3个点有且只有一个平面；

③若加、〃为两条异面直线，mua,〃u/3,mlI/3,贝

④若加、〃为两条异面直线，且加//a,〃//a,加//，,“//£,则a//，.

A.0B.1C.2D.3

2

16.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱

垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖席”.如图，在堑堵

45C—481G中，2。，8。，且24=43=2.下列说法第诺的是（）

A.四棱锥B—Z/CG为“阳马”

B.四面体4GCS为“鳖腌”

2

C.四棱锥8-Z/CG体积的最大值为§

D.过/点作于点E,过£点作EEL48于点凡则面/昉

三、解答题（本题满分78分，共5小题）

17.如图，棱长为2的正方体4BCD—481G2中，M、N、P分别是GA、CCP的中点•

（1）证明："N//平面4a8/1.

（2）求异面直线尸已与儿W所成角的大小.（结果用反三角表示）

18.如图，已知E4=/C=PC=/8=a,PA1AB,NC_L48,M为/C的中点.

3

（1）求证：平面NBC;

（2）求直线尸8与平面48c所成角的大小.

19.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥尸-4片G。一下部的形状是

正四棱柱4BCD-（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高产。।的4倍.

（1）若4B=6m,POX=2m,则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m,当尸。为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？

20.如图，45是圆柱的底面直径，AB=2,尸Z是圆柱的母线且尸2=2,点。是圆柱底面圆周上的点.

P

（1）求圆柱的表面积；

（2）证明：平面平面R4C；

（3）若ZC=1,。是尸3的中点，点E在线段尸”上，求CE+E。的最小值.

21.已知点尸是边长为2的菱形48CD所在平面外一点，且点P在底面48CD上的射影是NC与AD的

交点。，已知NA4£>=60°,△PD8是等边三角形.

（1）求证：AC1PD-

4

（2）求点。到平面尸8C的距离；

（3）若点E是线段40上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面P8C所成的角最大？求出最大

角的正弦值，并说明点E此时所在的位置.

同济大学第二附属中学2024学年第一学期期中考试

高二年级数学学科试卷

满分：150分，完成时间：120分钟

一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）

1.在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是.

【答案】平行或异面

【解析】

【分析】根据空间中两直线的位置关系即可判断.

【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线.

故答案为：平行或异面

2.半径为2的球的表面积为.

【答案】16%

【解析】

【分析】代入球的表面积公式：S表=4加废即可求得.

【详解】•;R=2,

，由球的表面积S表=4兀叱公式可得，

S球表=4X〃X22=16〃，

故答案为：16万

【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.

3.已知长方体48co-4B1G2的棱=力4=1，AB=2,则异面直线8。与耳G所成角的余弦值

为.

【答案】^##-45

55

【解析】

【分析】由定义说明ND8c是异面直线AD与耳G所成角或其补角，然后计算.

5

【详解】因为BQJ/BC,所以NDBC是异面直线AD与4G所成角或其补角,

BC_1_#>

在直角ABDC中，BD=yJCD2+CB1=V5，cosNCBD=

茄—71—7

故答案为：叵.

5

4.在四面体尸—4BC中，若底面4BC的一个法向量为万=(1,1,0),且丽=(2,2,—1),则顶点尸到底

面ABC的距离为

【答案】2亚

【解析】

【分析】根据点面距公式代入计算即可得.

\n-CP\|2+2|4l

【详解】由点面距公式得।=0=2框.

MlA/FTFV2

故答案为：2亚.

5.已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为.

【答案】2〃

【解析】

【分析】根据圆锥侧面展开图与圆锥侧面的关系求出圆锥底面圆半径即可计算得解.

【详解】设圆锥底面圆半径为厂，则该圆锥底面圆周长为2万r,

因圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则半圆弧长为2〃，

依题意，2"尸=2"，解得厂=1,

显然圆锥的母线长/=2,则圆锥侧面积S=m7=2〃,

所以圆锥的侧面积为2〃.

故答案为：2〃

6.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O/'B'C',且。47/5'。'，

OA'=2B'C=4,AB'=2,则该平面图形的面积为.

6

【答案】120

【解析】

【分析】首先求出0C,再画出平面图形，从而求出其面积.

【详解】因为。4'=28'。'=4,A'B'=2,所以0C'=J（4—2『+22=2血，

由直观图可得如下平面图形，则。4=2BC=4,0C=20C=4A/2;

所以S/BC=1X（2+4）X4A/2=12^.

故答案为：1272

7.三棱锥尸―Z8C中，三条侧棱上4=P8=PC,则顶点尸在平面Z8C内的射影。是VZ8C的

.（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）

【答案】外心

【解析】

【分析】由已知可得顶点P在底面4BC上的射影。到底面三角形三个顶点的距离相等，即。为V48c

的外心.

【详解】如图，设顶点P在底面4SC内的射影为。，则PO1•平面4SC,

连接。4,OB,0C,

•••OA,OB,0C在平面ABC内,

7

，POLOA,POVOB,POIOC,

•••^POA,\POB,△R9C都是直角三角形，

PA=PB=PC,

，APOA,VPOB和4Poe三个三角形全等，

从而有。4=O5=OC,

所以。为VZBC的外心.

故答案为：外心.

8.在空间四边形中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，若四边形对角线ZC=BZ)=2,

7T

对角线/C与AD所成的角为1,则FH=

【答案】1或百

【解析】

J727r

【分析】由题意可知四边形EEG/f为菱形，且知菱形相邻的两个角分别为女,三，再由所给边长即可求

33

得FH的长.

【详解】如图,

由分别是血,3C,CD,D4的中点，得EFIIACIIHG,EF=HG==AC=\,

2

1兀

EH//BDI/FG,EH=FG=-BD=\,则四边形ENG笈为菱形，又ZC与5。所成的角为g,

7T7r27r

于是直线EE与£笈所成角为二，即菱形ENG//的边长为1,相邻两个内角分别为乌,」，

333

712.717T

即NFEH=—或NFEH=—,当=—时，FH=EF=1,

333

2兀

当ZFEH=§时，FH=2£Fsin60°=色，

所以FH=1或FH.

故答案为：1或6

9.如图，在圆柱a。内有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱aOi的体积为

8

匕，球。的体积为V2,则的值是

【解析】

【详解】设球半径为厂，则V=4=|・故答案为1.

点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、

锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则

常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.

10.已知二面角&-48-6为30。，P是半平面。内一点，点P到平面厅的距离是1,则点尸在平面。内

的投影到AB的距离是.

【答案】V3

【解析】

【分析】设点尸在平面厅内的投影为点。，作尸于点0,连接。。，证明N尸即为二面角

a—28—，的平面角，再解Rt△尸。。即可.

【详解】如图，设点尸在平面厅内的投影为点。，则尸。，尸，尸。=1,

作尸0,48于点。，连接O。，

因为产。,尸，OQ,ABu(3,所以尸0，/8,尸0，。。，

又POLAB,POcPQ=P,PQ,POu平面POQ,

所以48,平面产

又O0u平面产所以48，。。，

所以APOQ即为二面角a-AB-13的平面角，

9

所以/尸。。=30°,

在RtZ\POQ中，ZPOQ=30°,PQ=\,

所以00=百，

即点P在平面B内的投影到AB的距离是V3.

故答案为：V3.

11.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆

锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为

【答案】12

【解析】

【分析】设圆锥的母线长为/,求出以S为圆心，”为半径的圆的面积以及圆锥的侧面积，根据题意，列

出方程即可求得答案.

【详解】设圆锥的母线长为/，则以S为圆心，为半径的圆的面积为兀/，

又圆锥的侧面积为兀X3X/=3JI/,

因为当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，

所以兀尸=4*3兀/,解得/=12,

故答案为：12

12.如图，正方体4BCD-ZQIGA的棱长为4,点尸在正方形48CD的边界及其内部运动.平面区域

少由所有满足4引4P区2店的点P组成，则四面体尸-4BC的体积的取值范围.

10

【解析】

【分析】连接/P,由线面垂直的性质得到42,4P，再由勾股定理求出094P区2,即可得到尸以A

为圆心2为半径的;圆面上，再根据腺NBC=%咏4PBe，得到当「在边上时四面体的

A1zli1Jzii1ClJIAxlJ\,y

体积最大，当P在边48的中点时四面体的体积最小，再根据面体的体积公式计算可得取值范围.

【详解】连接/尸，如图所示，

因为2/J■平面48cD,4Pu平面48cD,所以

2

•••|4川=4,由444Pl<2若，\AXP\=AP\+\AA^，则区2；

所以尸在以A为圆心2为半径的9圆面上，由题意可知，VPABC=VA=-\AA\S^,

A1ZliLJLzli1PljBy^CCl1IA22B?CL

1132

所以当尸在边上时，四面体尸—48C的体积的最大值是一x—X4X4X4=L.

323

所以当尸在边48的中点时，邑尸况的面积取得最小值，此时SxBc=gx4x2=4,

所以四面体尸—48C的体积的最小值是:x4x4=?,所以匕>一四€,

「1632

故答案为：•

【点睛】思路点睛：

求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式「=」S/z,

3

通常会有以下两种：

①如果底面积固定，则通过找高的最值来进行求解;

11

②如果高已知确定，则求底面积的最值来进行求解（如本题）.

二、选择题（共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分）

13.已知直线/和平面则“/垂直于a内的两条直线”是”的（）.

A,充分非必要条件B,必要非充分条件C.充要条件D,非充分非必要条件

【答案】B

【分析】利用直线与平面垂直的判定定理，即可得出结论.

【详解】根据直线与平面垂直的判定定理可知：

如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面.

而“/垂直于0内的两条直线”，没有满足相交，

所以不一定能推出直线与平面垂直，

但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线，

即可得：”/垂直于。内的两条直线”是“/_La”的必要不充分条件.

故选：B.

14.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4,母线（原圆锥母线在圆台中的部分）

长为12,则原圆锥的母线长为（）

A.16B.18C.20D.22

【答案】A

【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.

【详解】由题意可得，几何体如下图所示：

CD1

取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为——=—,且CD/IAB,BD=12,

AB4

7~»T~\1[o-i

设圆锥的母线长为/，根据相似比可得J=——=解得/=16,

ABEBI4

即原圆锥的母线长为16.

故选：A.

15.m、〃为空间中两条直线，a、夕为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（）

12

①二面角的范围是[0,兀）；

②经过3个点有且只有一个平面;

③若加、〃为两条异面直线，mua,nu/0,则〃//a.

④若加、〃为两条异面直线，且加///〃///加//，,〃//夕，则a///.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】利用二面角的取值范围可判断①，当三点共线时可判断②，利用线面平行的判定方法可判断③,

利用线面平行的性质以及面面平行的判定定理可判断④

【详解】对于①，二面角的范围是[0,可，①错；

对于②，若三点共线，则经过这个点有无数个平面，②错

对于③，若加、〃为两条异面直线，mua,nuB，mlI[3,则〃与。可能平行也可能相交，故③错误；

对于④，因为m//%加//6，过直线加作平面7,使得/Pla="万口/=。，

由线面平行的性质定理可得mlla,ml1b,则a//6,

因为a<Za,bua,则a//a,

因为“//a,”//，，过直线”作平面。，使得eCla=d,»n0=c,

由线面平行的性质定理可得〃//c,〃//d,则c//d,

因为c<za,dua,贝i]c//a,

若a//c,则加〃〃，这与加、〃为两条异面直线矛盾，故。相交,

又因为a,cu万，所以&//6，故④对，

故选：B

13

16.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱

垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖席”.如图，在堑堵

45C—481G中，2。，8。，且24=43=2.下列说法惜误的是（）

A.四棱锥B—Z/CG为“阳马”

B.四面体4GCS为“鳖席”

2

C.四棱锥8-Z/CG体积的最大值为§

D.过/点作AE±A{B于点E,过E点作EF±A1B于点F,则AXB±面AEF

【答案】C

【解析】

【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A,B的正误；当且仅当/C=5C时，四棱锥B-Z/CG

体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证48,平面进而判断D的正误.

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，

在堑堵NBC—481G中，ACLBC,侧棱力4,平面Z8C,

A选项，Z4,8C，又/CL8C,且24nze=2,则平面Z/CG，

四棱锥8—Z/CG为“阳马”，故A正确；

B选项，由ZCLBC,即4G，BC，又4G，GC且3Cccc=c,

4G1平面BBgc,：.4G±Be-则v48G为直角三角形，

又由3C_L平面44CC，得A48C为直角三角形，由“堑堵”的定义可得A4CC为直角三角形，ACCIB

为直角三角形，，四面体4cle5为“鳖膈”，故B正确;

14

C选项，在底面有4=2。2+8。222ZC.BC，即NC4CV2,当且仅当ZC=BC=亚时取等号，

11244

V

B-AACC^-SAAccxBC=-AA^xACxBC=-ACxBC<-,最大值为一，故C错误；

D-33，333

D选项，因为EF上A1B,AEcEF=E,所以/田，平面4EE，故D正确；

故选：C

三、解答题（本题满分78分，共5小题）

17.如图，棱长为2的正方体4BCD—481GA中，M、N、P分别是GA、力4的中点.

（1）证明：MV//平面48用4.

（2）求异面直线「已与"乂所成角的大小.（结果用反三角表示）

【答案】（1）证明见解析

中屈

（2）arccos-----

10

【解析】

【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行.

（2）根据线线平行，找出异面直线所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦.

【小问1详解】

如图：连接2逐，D©.

因为48c0—ZnCQi为正方体，所以48//CR•

15

又，M、N分别是G。、CG的中点，所以儿W//C。，

所以MN//A[B,Z0u平面45与4，W平面所以跖V//平面48片4.

【小问2详解】

如图：连接PC、PD,

因为儿W//C2,所以/PRC即为异面直线儿w与尸〃所成的角，设为e.

在VPCD]中，PDl=y/PAf+AxDl=Vl+4=75，CDX=272,

PC=YIPA^+AB^+BC2=Jl+4+4=3-

所以c°se=*"LPJ5.-9回.

2xD[P-D[C2x75x27210

Vio

所以异面直线尸〃与儿W所成的角为:arccos---

10

18.如图，已知％=4C=PC=N8=a,PA1AB,NC48,M为/C的中点.

(1)求证：PM,平面/5C；

(2)求直线尸8与平面/5C所成角的大小.

【答案】(1)见解析(2)arcsin—

16

【解析】

【分析】（1）推导出PM_L/C,PMVAB,由此能证明PM_L平面/8C；

（2）连结BM,则ZPBM是直线PB和平面ABC所成的角，由此能求出直线PB和平面ABC所成的角.

【小问1详解】

证明：因为APZC为等边三角形，且M为ZC的中点，

所以

又PA_LAB,ACLAB,且

所以氏4,平面P/C.

又PM在平面上4C内，所以氏

因为Z8c/C=/,且BZLPAf,PMX.AC,

所以PM，平面ABC.

【小问2详解】

解：连结W,由（1）知PM_L平面48C,

所以NPBM是直线尸8和平面48。所成的角.

7T

又△尸48为等腰直角三角形，且NR4B=—,

2

所以PB=Qa-

PMV6

因为PA/LBN,所以Tn/P/?”=

PB一4

则/PBM=arcsin

4

17

所以直线网和平面45c所成的角的大小等于arcsinJ.

4

19.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥尸-4片4。一下部的形状是

正四棱柱4BCD-（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高尸。।的4倍.

（1）若48=6m,POX=2m,则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m,当尸。为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？

【答案】（1）312m3

（2）3拒，288V2m2

【解析】

【分析】（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解;

（2）先根据面积关系建立函数解析式，5（X）=16V2-^X2（36-X2）,然后利用二次函数性质求其最值.

【小问1详解】

由尸。］=2知OO］=4尸。］=8.

因为44=AB-6,

所以正四棱锥尸—4AGA的体积%=；・.Pq=；x62x2=24(m3);

正四棱柱ABCD—48］G。］的体积=AB"-00=6x8=288(m^).

所以仓库的容积%=曝+%=24+288=312(m3).

【小问2详解】

设尸&=xm,下部分的侧面积为S(x),

则00,=4xm,4G=J36-=也.,367,

18

S(x)=44耳.00]=16缶，36-f=16A/2-^X2(36-X2),(0<x<6),

iS/(x)=x2(36-x2)=-x4+36x2=-(X2-18)2+324，

当/=18,即x=3后时，/(初皿=324,S(x)max=288^2.

即当P。为3®时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是288cm2.

20.如图，48是圆柱的底面直径，AB=2,P4是圆柱的母线且尸2=2,点。是圆柱底面圆周上的点.

（1）求圆柱的表面积；

（2）证明：平面PBCL平面P/C；

（3）若NC=1,。是网的中点，点E在线段尸/上，求CE+ED的最小值.

【答案】⑴6兀

（2）证明见解析（3）V5

【解析】

【分析】（1）根据圆柱求表面积公式即可求解.

（2）先证3cL平面P/C,再利用面面垂直的判定定理判定即可.

（3）先分析得将AP/C绕着尸/旋转到尸c',使其与尸48共面，且C'在48的反向延长线上，当。,

E,C三点共线时，。£+即的最小值为。'。，通过解三角形求C'。即可.

【小问1详解】

根据题意，圆柱的底面半径厂=——=1,圆柱的高场=P2=2,

2

圆柱的上下底面积和为2s底=如r=2兀，圆柱的侧面积为S恻=2兀＞耳=4兀，

所以圆柱的表面积为S=2S底+5侧=6兀

【小问2详解】

由题意可知，尸2，底面45。，5Cu底面48C,则

19

由直径所对的圆周角为直角，可得8C±AC,

又产2口2。=2,P4u平面P/C，NCu平面上4C,

所以平面R4C,又因为3Cu平面尸8C,

所以平面PBC1平面PAC

【小问3详解】

C

将AP4c绕着PA旋转到PC',使其与PAB共面，

且C'在48的反向延长线上，当D,E,C'三点共线时，

CE+EZ）的最小值为CQ,

因为尸2=2，AB=2,PA1AB,PB=>JpA2+AB2=272'

DA7711I—

tanAPBA=——=-=l,所以=—,BD=-BP=y/2,BC=BA+AC=2+1=3,所以在

AB242

三角形C'5£>中，

由余弦定理可得CZ>=+2x3xg_x*=6，

所以CE+ED的最小值为V5.

21.已知点尸是边长为2的菱形48CD所在平面外一点，且点P在底面48CD上的射影是NC与AD的

交点。，已知NA4£>=60°,△PD8是等边三角形.

（1）求证：AC1PD-