2025高考数学复习必刷题：直线、平面垂直的判定与性质（学生版）

第49讲直线、平面垂直的判定与性质

知识梳理

知识点1：直线与平面垂直的定义

如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直,那称这条直线和这个平面相互垂直.

知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语

图形语言符号语言

言

一条直

1

线与一个平

面内的两条a,bua

判断定aLI

相交直线都7>=>I-La

理bLl

垂直，则该acb=P

直线与此平

面垂直

两个平

面垂直，则

在一个平面a1/3

面_L面aryp=a

内垂直于交>=>Z7_La

bu/3

=＞线_1面

线的直线与bLa

另一个平面

垂直

一条直

线与两平行ZZZZ7

平面中的一

平行与

a//yffl八

个平面垂

垂直的关系aLa\

直，则该直

线与另一个

平面也垂直

两平行ab

直线中有一

平行与条与平面垂a//b]

\^>bLa

垂直的关系直，则另一a-La]

条直线与该

平面也垂直

知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

垂直于同?b

性质定alia

au(3>=>〃//〃

一平面的两条7

理ac(3=b)

直线平行

文字

图形语言符号语言

语言

垂直

垂直与于同一直a-La]

_/a//B

aL(3\"

平行的关系线的两个/

平面平行/

如果

一条直线

垂直于一

线垂直个平面，则

I-La,a(^a=>l-La

于面的性质该直线与工V

平面内所

有直线都

垂直

知识点4：平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两

条交线互相垂直.（如图所示，若ac0=CD,CD1y,且ac7=筋,万门7=3瓦,

则a，/3）

一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

知识点5：判定定理(文字语言、图形语言、符号语言)

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面b

卜=a-L尸

bu队

过另一个平面b

的垂线，则这两Z：/

个平面垂直

知识点6：性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)

文字语言图形语言符号语言

性质定理两个平面垂直，a-LJ3

a(~\B-a

则一个平面内垂直>=>bLa

<bu/3

于交线的直线与另bLa

一个平面垂直

【解题方法总结】

判定定理,判定定理)

线，线,性质定理线_1面<性质定理面,面

(1)证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形对角线互相垂直；

④直径所对的圆周角是直角；

⑤向量的数量积为零；

⑥线面垂直的性质(a_La,>ucr=>a_LZ?)；

⑦平行线垂直直线的传递性(a1c,a〃bnbLc).

(2)证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②线面垂直的判定(a_L8,a_LGCU6Z,butz,bcc=P=>a_La)；

③面面垂直的性质(a，/3,ac/3=b,a，b,aua=a，0)；

平行线垂直平面的传递性QaLa,bIla=>bLa)；

⑤面面垂直的性质(a_L7,尸_L/,ec£=/n/_L/).

(3)证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理(a_L〃,aua=>a_L£).

空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系

中处于核心位置.

必考题型全归纳

题型一：垂直性质的简单判定

例1.(2024•甘肃兰州•校考模拟预测)设相，"是两条不同的直线，a,尸是两个不同的平

面，则下列说法正确的是()

A.若根则机_La

B.若m〃0,。La,则m_La

C.若根则机_La

D.若机_L尸,则用_La

例2.(2024•重庆•统考模拟预测)已知/,m,〃表示不同的直线，。，/，/表示不同

的平面，则下列四个命题正确的是()

A.若/〃er,旦mlla,贝!!B.若e，，，mlla,nY/3,贝）|加〃〃

C.若“〃//,且m_La,则/_LaD.若m±a,nil（3,则a_Lp

例3.（2024•陕西咸阳•统考二模）已知加，”是两条不同的直线，a,夕是两个不同的

平面，有以下四个命题：

①若m//n,nua,则加〃a,②若mua,mL（3,则<z_L/，

③若M7_L（Z,mL（3,则a〃。，④若aJ_p,mua,“ua,则机_1_〃

其中正确的命题是（）

A.②③B.②④C.①③D.①②

变式1.（2024•河南•校联考模拟预测）已知a,夕是两个不同的平面，根，"是两条不同的

直线，则下列命题中正确的是（）

A.若a_1_/?,/〃_!_a,〃z_L”,则〃_1_尸B.若a〃/3,mua,nu0,则

C.若m工n,mua,nu0,则a_L#D.若m1a、ni〃n,n〃0,则

变式2.（2024•陕西咸阳•统考模拟预测）如图所示的菱形ABCZ）中，

=2,NBA。=60。,对角线AC,8。交于点。，将△AS。沿折到△A3。位置，使平面

ABD_L平面BCD.以下命题:

①BE>_LAC；

②平面AOCJ_平面BCD；

③平面A_BC_L平面ACD;

④三棱锥A-BCD体积为1.

其中正确命题序号为（）

A.①②③B.②③C.③④D.①②④

变式3.（2024•广西南宁•武鸣县武鸣中学校考三模）已知/,山，〃是三条不同的直线,

a,夕是不同的平面，则下列条件中能推出的是（）

A.Iua,mu（3,且

B.lea,mu(3,nu/3,且/!.机，ILn

C.mua,nuB,mlln,且/_L〃？

D.Iua,UIm,且_L£

【解题方法总结】

此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除.

题型二：证明线线垂直

例4.（2024•贵州黔东南•凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱ABC-44G中,

AB=BC,AB[=B©.

4C

B

(1)证明：AC±BtB.

例5.（2024•广东深圳•统考二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为矩形,

PA±ABCD,PA=AD=72AB,点M是PD的中点.

（1）证明：AM±PC；

例6.（2024•河南•校联考模拟预测）己知三棱柱4BC-A4G中，

AB=AC=2,AA=AB=AC=2,ABAC=90°,E是BC的中点，F是线段AG上一点.

（1）求证：AB±EF；

变式4.（2024•福建宁德•校考模拟预测）图1是由直角梯形ABC。和以C。为直径的半

圆组成的平面图形，AD//BC,ADJ.AB,AD=AB=^BC=1.E是半圆上的一个动

点，当周长最大时,将半圆沿着C。折起，使平面PCD,平面48CZ）,此时的点E

到达点尸的位置，如图2.

（1）求证：BD±PD；

变式5.（2024•河南•校联考模拟预测）如图，已知三棱柱ABC-\BXCX中，

AB=AC=2,AA=A3=4C=2jLN54C=90。，E是BC的中点，歹是线段AG上一

点.

⑴求证：ABYEF；

⑵设P是棱4A1上的动点（不包括边界），当APBC的面积最小时，求棱锥P-ABC的体积.

变式6.（2024•贵州毕节•校考模拟预测）在梯形ABCD中，AB//DC,ZZMB=90°,

CD=2,AC=AB=4,如图1.沿对角线AC将△ZMC折起，使点。到达点尸的位置，E

为BC的中点，如图2.

图1图2

（1）证明：PELAC.

【解题方法总结】

三线合一（有等腰三角形就必用）

共面n勾股定理（题目中线段数据多）

证明414先看两直线位置关系

其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）

异面n考虑用线面垂直推导异面垂直n找重垂线n在重垂线对应平面内找1

题型三：证明线面垂直

⑴求证：超1平面人。。14；

（2）求四棱锥c-的体积.

例7.（2024•云南•校联考模拟预测）如图，在四棱锥尸-Q4BC中，已知

TTTTTT

OA=OP=l,CP=2,AB=4^CPO=-,^ABC=-fZAOC=~.

例8.（2024•云南昭通•校联考模拟预测）如图，在三棱锥C-中，平面

ABD,E为A3的中点，AB=BC=AC=2,CG=2EG.

⑴证明：AB上平面CEO；

例9.（2024•内蒙古赤峰•赤峰二中校联考模拟预测）如图1,在五边形ABCQE中，四边

形ABCE为正方形，CDA.DE,CD=DE,如图2,将A/WE沿BE折起，使得A至4处，

且48，”.

图1图2

（1）证明：Z）E2平面48E；

变式7.（2024•重庆巴南•统考一模）如图所示，在三棱锥P-ABC中，已知平面

ABC,平面PAB_L平面P3C.

p

⑴证明：3C/平面R4B；

变式8.（2024•广东广州•统考三模）如图，在几何体ABCDEF中，矩形BDEF所在平

面与平面ABCO互相垂直，S.AB=BC=BF=1,AD=CD=5EF=2.

⑴求证：2（7，平面。。&

变式9.（2024•天津津南•天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱

A8C-A|BCi中，平面ACC4,平面ABC,AC=8C=CC；=2,。是的中点，且

NACB=90",NDAC=60；

（1）证明：平面C8D；

【解题方法总结】

垂直关系中线面垂直是重点.

'①垂直两条相交线；

心②垂直里面作垂线；

线垂面哪里找《…田’十、士士—附/E*土日K及

③直（正）棱柱的侧棱是垂线；

、④正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线.

E[①垂直面里所有线（证线线垂直）；

线垂面有何用

[4②过垂线作垂面（证面面垂直）.

证明线面垂直常用两种方法.

方法一：线面垂直的判定.

线线垂直二线面垂直，符号表示为：aLb,aLc,bua,cua,bcc=P,那么aJ_e.

方法二：面面垂直的性质.

面面垂直二线面垂直，符号表示为：a±/3,a^/3=b,a^a,a±b,那么a_l_尸.

题型四：证明面面垂直

例10.（2024•山西运城•山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱ABC-AB。1中，

侧面为菱形，ZCBBj=60°,AB=BC=2,AC=ABt=72.

(1)证明：平面AC4,平面BBCC；

例11.(2024•贵州贵阳•校联考三模)如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为

直角梯形，AB//CD,AB=^CD,CDA.CE,ZADC=NEDC=45。,AD=&.，

BE=6

(1)求证：平面平面ABCD；

例12.（2024•西藏日喀则•统考一模）如图，已知直角梯形ABCD与ADEF,

2DE=2BC=AD=AB=AF=2,AD±AF,ED//AF,ADLAB,BC//AD,G是线段

8尸上一点.

(1)平面ABCD_L平面ABF

变式10.（2024•广东梅州•统考三模）如图所示，在几何体PABCO中，AD_L平面

上4B,点C在平面PAB的投影在线段PB上（8C<PC）,BP=6,AB=AP=2栏,

DC=2,CD〃平面A4B.

（1）证明：平面PCD_L平面PAD.

变式11.（2024•河北张家口•统考三模）如图，在三棱柱ABC-AqG中，侧面3耳GC

为菱形，/CBBi=6ff,AB=BC=2,AC=ABi=也.

(1)证明：平面AC4,平面BBCC；

变式12.(2024•陕西西安•西安市大明宫中学校考模拟预测)如图，在长方体

ABCD-ABCD中，AB=2BC=2,=4,尸为棱A3的中点.

APB

(1)证明：平面PC，J_平面尸〃2；

(2)画出平面2PC与平面AADR的交线，并说明理由；

⑶求过。,P，C三点的平面a将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比.

变式13.(2024•云南•云南师大附中校考模拟预测)如图，尸为圆锥的顶点，A,3为底

2兀

面圆。上两点，ZAOB=~,E为PB中点，点尸在线段AB上，且AF=2FB.

p

（1）证明：平面AOP_L平面0£尸；

变式14.（2024•江苏南京•南京市第一中学校考模拟预测）在如图所示的空间几何体

中，AACE）与AACB均是等边三角形，直线瓦＞，平面ACD,直线平面A3C,

DE1BE.

【解题方法总结】

主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直二面面垂直）.证明时，先从现有

的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决.

题型五：垂直关系的综合应用

例13.(2024•贵州铜仁•统考二模)如图，在直三棱柱4BC-4耳£中，ABAC=90°,

AB=AC=1.

B]

(1)试在平面ABC内确定一点“，使得AHJL平面ABC,并写出证明过程;

例14.(2024•全国•校联考模拟预测)如图，在正三棱柱ABC-A4G(侧棱垂直于底

面，且底面三角形ABC是等边三角形)中，BC=CQ,M、N、尸分别是CG，AB,

的中点.

(1)求证：平面NPC〃平面；

(2)在线段8月上是否存在一点。使A4,平面4MQ?若存在，确定点。的位置；若不存

在，也请说明理由.

例15.（2024•天津•耀华中学校考二模）如图，在三棱锥A-BCD中，顶点A在底面

BCD上的射影。在棱8。上，AB=AD=y/2,BC=BD=2,ZCBD=90°,E为CO的中

点.

（1）求证：